Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости, страница 4

Òåîðèÿ, ïîçâîëÿþùàÿ íàõîäèòü ãðóïïûìîíîäðîìèè, ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè åùå íå ïîñòðîåíà, ÷òî ñâÿçàíî ñ íåðåøåííîñòüþ â ïîëíîé ìåðå ïðîáëåìû èìàíàèëüáåðòà [55].Äëÿ òîãî ÷òîáû äàòü îïðåäåëåíèå ãðóïïû àëóà, íóæíî ââåñòè ïîíÿòèåðàñøèðåíèÿ ÏèêàðàÂåññèî.Îïðåäåëåíèå: àñøèðåíèåì ÏèêàðàÂåññèî (.Ï.Â.) äëÿ óðàâíåíèÿ (2.13)íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîå ïîëå, ñîäåðæàùåå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.13),çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè äèåðåíöèðîâàíèÿ:P V = K0[X1,1, X1,2, .., Xn,n, det−1(X)]/I,I = {max äèåðåíöèàëüíûé èäåàë óðàâíåíèÿ}, X1,1, X1,2, .., Xn,n, X óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé (n = 2m).Òàêæå ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ áàøíþ êîíå÷íûõ ðàñøèðåíèé ïîëåé, ïî20ëó÷àþùèõñÿ ïðèñîåäèíåíèåì îäíîãî ýëåìåíòà:K0 ⊆ K1 ⊆ .. ⊆ Km ,Ki+1 = Ki(ti ),ti ∈ Ki+1(2.14)Îïðåäåëåíèå: àñøèðåíèå (2.14) íàçûâàåòñÿ(1) Àëãåáðàè÷åñêèì: ti − àëãåáðàè÷åñêèé íàä Ki;(2) Ïðèñîåäèíåíèåì èíòåãðàëà:t′i ∈ Ki;(3) Ïðèñîåäèíåíèåì ýêñïîíåíòû: t′i /ti ∈ Ki .Îïðåäåëåíèå: àñøèðåíèåì Ëèóâèëëÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (2.13) íàçûâàåòñÿðàñøèðåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ñâîéñòâàì (1)-(3) äëÿ (2.14).Îïðåäåëåíèå: àñøèðåíèåì óíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ â êâàäðàòóðàõ, íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ñâîéñòâàì (2)-(3) äëÿ (2.14).Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå óíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ â êâàäðàòóðàõ â òåðìèíàõ ðàñøèðåíèÿ ÏèêàðàÂåññèî èìååò âèä:Îïðåäåëåíèå: Óðàâíåíèå (2.13) íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìûì â êâàäðàòóðàõ,åñëè äëÿ íåãî ðàñøèðåíèå ÏèêàðàÂåññèî ñîäåðæèòñÿ â ðàñøèðåíèè Ëèóâèëëÿ.Îò ðàñøèðÿþùèõñÿ ïîëåé ÏèêàðàÂåññèî ïåðåõîäÿò ê ñîîòâåòñòâóþùèìñóæàþùèìñÿ ãðóïïàì àëóà.Îïðåäåëåíèå: ðóïïîé àëóà óðàâíåíèÿ (2.13) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõäèåðåíöèàëüíûõ àâòîìîðèçìîâ ðàñøèðåíèÿ ÏèêàðàÂåññèî, êîììóòèðóþùèõ ñ äèåðåíöèðîâàíèåì.Ýëåìåíò ãðóïïû àëóà ïåðåâîäèò ðåøåíèå â ðåøåíèå, ïîýòîìó åãî ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå ìàòðèöû, ïðè÷åì ýòî ïðåäñòàâëåíèå èíâàðèàíòíî.

Ìåæäóïîëÿìè ÏèêàðàÂåññèî è ðàñøèðåíèÿìè àëóà ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.Òåîðåìà (Îñíîâíàÿ òåîðåìà òåîðèè àëóà) Ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó íîðìàëüíûìè ïîäãðóïïàìè H ãðóïï àëóà Gè ïîäïîëÿìè F ðàñøèðåíèé àëóà P V :21(1) H ⊂ G → P V H = {a ∈ P V |σ(a) = a, ∀σ ∈ H}(2) F ⊂ P V → Gal(P V /F ) = {σ ∈ G|σ(a) = a, ∀a ∈ F }(3) F ⊂ P V åñòü ðàñøèðåíèå àëóà ⇐⇒ Gal(P V /F ) íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G.Äëÿ ãðóïï àëóà ñóùåñòâóåò ðåçóëüòàò, àíàëîãè÷íûé ëåììå Çèãëèíà äëÿãðóïï ìîíîäðîìèè.

Ïðèâåäåì åãî îðìóëèðîâêó:Ëåììà Ìîðàëèñà-óèçààìèñà. Åñëè óðàâíåíèå (2.11) èìååò ìåðîìîðíûé èíòåãðàë â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U ∈ M2n , òî ãðóïïà àëóà G íîðìàëüíîãî óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ èìååò ðàöèîíàëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë: F (gξ) == F (ξ), ∀g ∈ G, F ∈ C(ξ).Òåîðåìà Ìîðàëèñà-óèçààìèñà ([72]) Åñëè ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà èìååòìåðîìîðíûå èíòåãðàëû â îêðåñòíîñòè ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ, òî ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ãðóïïû àëóà äëÿ Í.Ó.Â.

àáåëåâà.Òåîðåìà Ìîðàëèñà-óèçààìèñà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì òåîðåìû Çèãëèíà,ïîñêîëüêó ãðóïïà ìîíîäðîìèè ñîäåðæèòñÿ â ãðóïïå àëóà M ⊂ G.Äëÿ ìíîãèõ ñèñòåì îáùåãî âèäà (íàïðèìåð, äëÿ ðàöèîíàëüíûõ ñèñòåì)ñóùåñòâóþò öåëûå àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ ãðóïï àëóà [68], [69], [86], [87].Ìåòîäîì äèåðåíöèàëüíûõ ãðóïï áûëî ðåøåíî áîëüøîå ÷èñëî çàäà÷ìåõàíèêè: çàäà÷à Ñèòíèêîâà äëÿ òðåõ òåë [72], [74], òåëî ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé [78], îáîáùåííûé ñåðè÷åñêèé ìàÿòíèê [81], ñïóòíèê íà êðóãîâîé îðáèòå[79], ÷àñòíûå ñëó÷àè çàäà÷è N òåë [77], [76], ïëîñêàÿ êðóãîâàÿ îãðàíè÷åííàÿçàäà÷à òðåõ òåë [89], [88], [90], êåëüòñêèé êàìåíü [62], çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîéèçèêè [80].6.

Ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ ñåïàðàòðèñ (À. Ïóàíêàðå, Â.Ê. Ìåëüíèêîâ, Â.Â. Êîçëîâ, Ñ.Ë. Çèãëèí)àññìàòðèâàåòñÿ âîçìóùåííàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà, èìåþùàÿ â íåâîçìóùåííîì ñëó÷àå ãîìîêëèíè÷åñêîå ðåøåíèå. Ïðè âîçìóùåíèè ïåðèîäè÷åñêîåðåøåíèå ñîõðàíÿåòñÿ, íî ñåïàðàòðèñíûå ïîâåðõíîñòè â îáùåì ñëó÷àå ñîâïà22äàòü íå áóäóò. Äàëåå îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò äâà ðàçëè÷íûõ âàðèàíòà ìåòîäà- äåéñòâèòåëüíûé è êîìïëåêñíûé.  äåéñòâèòåëüíîì ìåòîäå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèå óñòîé÷èâûõ è íåóñòîé÷èâûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé,â êîìïëåêñíîì - èõ ñàìîïåðåñå÷åíèå.

 êà÷åñòâå ìåðû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè áåðåòñÿ òàê íàçûâàåìûé èíòåãðàë ÏóàíêàðåÌåëüíèêîâà. Åñëè îí ðàâåííóëþ, òî ïîâåðõíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ. Åñëè ñóùåñòâóþò äîïîëíèòåëüíûå èíòåãðàëû, òî îíè ïîñòîÿííû íà àñèìïòîòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ. Åñëè îíè ïåðåñåêàþòñÿ, òî ïåðåñåêàþòñÿ âñþäó ïëîòíî, îòêóäà è ñëåäóåò íåñóùåñòâîâàíèåèíòåãðàëîâ.1) Äåéñòâèòåëüíûé ñëó÷àé. Ïóñòü èìååòñÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà XH0 ñãàìèëüòîíèàíîì H0 (x, y), èìåþùàÿ ãèïåðáîëè÷åñêîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿñ ÷àñòíûì ðåøåíèåì (x0 (t), y0 (t)), àñèìïòîòè÷åñêèì ê ýòîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ.Âîçìóùåííîå óðàâíåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì:H(x, y, t, ǫ) = H0 (x, y) + ǫH1 (x, y, t) + O(ǫ2 ).Èíòåãðàë ÏóàíêàðåÌåëüíèêîâà:µ(t0 ) =∞Z−∞{H0 , H1}(x0(t), y0(t), t + t0 )dt.Òåîðåìà.

Åñëè óíêöèÿ µ(t0 ) èìååò ïðîñòûå íóëè â íåêîòîðîé òî÷êå, òîàñèìïòîòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ òðàíñâåðñàëüíî.2) Êîìïëåêñíûé ñëó÷àé.Ïóñòü M0 äâóìåðíîå êîìïëåêñíî àíàëèòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå è XH0 êîìïëåêñíîå ãàìèëüòîíîâî âåêòîðíîå ïîëå íà M0 ñ ãàìèëüòîíèàíîì H0 .

Ïóñòü âêîîðäèíàòàõ (x, y) íà M0 ñèñòåìà àìèëüòîíàẏ = −∂H0,∂x23ẋ =∂H∂y(2.15)èìååò ãèïåðáîëè÷åñêîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ (x0 , y0 ), ò.å. ñîáñòâåííûå âåêòîðû ±λ èìåþò íåíóëåâûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè.Òîãäà ñèñòåìà (2.15) èìååò ñåïàðàòðèñíîå ðåøåíèå:Γ0 : (x0(t), y0(t)) lim x0(t) = x0, lim y0(t) = y0t→∞t→∞(2.16)Ïóñòü1) óíêöèè (x0 (t), y0(t)) ìåðîìîðíû ïðè t ∈ C.2) H(x, y, t, ǫ) = H0 (x, y) + ǫH1 (x, y, t) + O(ǫ2 ) âîçìóùåíèå ãàìèëüòîíèàíà H0 (x, y).3) H(x, y, t) ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì ω ïî t. Ýòà óíêöèÿ îïðåäåëåíà íàìíîãîîáðàçèè M = M0 × Fω , ãäå Fω = C/ωZ - ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü.àìèëüòîíîâà ñèñòåìà, îïðåäåëåííàÿ óíêöèåé H(x, y, θ) íàä M , èìååòâèä:∂H0∂H, ẋ =, θ̇ = 1, (x, y, θ) ∈ M.∂x∂yÏðè ǫ = 0 äàííàÿ ñèñòåìà èìååò ãèïåðáîëè÷åñêîå 2π ïåðèîäè÷åñêîå ðåẏ = −øåíèå Π0 : (x0 , y0 , θ = 0 (mod 2π)).

Êàê èçâåñòíî, ïðè ìàëîì âîçìóùåíèèñóùåñòâóåò ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå Πǫ : (xp(t, ǫ), yp (t, ǫ), θ = θ0 + t (mod 2π)),òàê, ÷òî (xp(t, 0), yp (t, 0)) = (x0 , y0 ).àññìîòðèì êîìïëåêñíóþ óñòîé÷èâóþ ñåïàðàòðèñó Λ+ǫ íåâîçìóùåííîéñèñòåìû êàê ìíîæåñòâî èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ, àñèìïòîòè÷åñêèõ ê Πǫ ïðèt → ∞. Äëÿ èêñèðîâàííîãî ǫ ýòà ïîâåðõíîñòü äâóìåðíà è ìîæåò èìåòüñàìîïåðåñå÷åíèÿ.Íåâîçìóùåííàÿ ñåïàðàòðèñà åñòü Λ+0 = Γ0 × F2π ; îíà ðàññëàèâàåòñÿ íàîäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ Γθ0 : (x0 (t), y0 (t), t ++ θ0), θ0 ∈ F2π . Ïóñòü γ : [0, 1] → C åñòü çàìêíóòûé ïóòü íà êîìïëåêñíîìâðåìåíè ñ γ(0) = γ(1) ∈ R.

Îïðåäåëèì ñëåäóþùóþ óíêöèþ íà F2π :Zµ(θ0) = {H0, H1}(x0(t), y0(t), t + θ0)dt.γ24Òåîðåìà Åñëè óíêöèÿ µ(t0 ) èìååò ïðîñòîé íóëü â íåêîòîðîé òî÷êå, òîãäàäëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî ǫ 6= 0 ñåïàðàòðèñà Λ+ èìååò òðàíñâåðñàëüíîå ñàìîïåðåñå÷åíèå è ñèñòåìà (2.15) íå èìååò äîïîëíèòåëüíîãî ãîëîìîðíîãî ïåðâîãîèíòåãðàëà.3)Ñâÿçü ìåæäó âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëà ÏóàíêàðåÌåëüíèêîâà è äèåðåíöèàëüíîé òåîðèåé àëóà.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ÏóàíêàðåÌåëüíèêîâà èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä âû÷åòîâ.

Îáùàÿ îðìóëà âûðàæåíèÿ äëÿ èíòåãðàëà ÷åðåç âû÷åòû, â ïðåäïîëîæåíèè ìåðîìîðíîñòè óíêöèé, ïðèâåäåíà â ðàáîòå [23].Ñóùåñòâóåò ñâÿçü ìåæäó ìåòîäîì âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ÏóàíêàðåÌåëüíèêîâà è ìåòîäàìè äèåðåíöèàëüíîé òåîðèè àëóà.Âñåãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìåðîìîðíûå óíêöèè (x0 (t), y0(t)) ïåðèîäè÷íû ñ êîìïëåêñíûì ïåðèîäîì iω . Òîãäà x0 (t), y0 (t) ∈ M(Fiω ), ò.å. ïðèíàäëåæàòïîëþ ìåðîìîðíûõ óíêöèé íàä ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòüþ, ÿâëÿþùåéñÿ öèëèíäðîì.

Ýòî ñëåäóåò èç òîãî àêòà, ÷òî ïðè t → ±∞x0(t), y0(t) åñòü2πóíêöèè îò ýêñïîíåíòû ñ ïåðèîäîì ω = Re( |λ|).Êàê è â ìåòîäå ÏóàíêàðåÌåëüíèêîâà, ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå â âàðèàöèÿõ âäîëü îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà Γθ0 . Âîçìóùåííîå óðàâíåíèåâ âàðèàöèÿõ èìååò âèä:  ξH0xyd   η  = −H0xxdt   ν0H0yy−H0xy0 H1yξ  −H1x η  0ν(2.17)Çäåñü ν âñïîìîãàòåëüíàÿ ïåðåìåííàÿ, íóæíàÿ, ÷òîáû âîçìóùåííîå óðàâíåíèå â âàðèàöèÿõ áûëî îäíîðîäíûì. êà÷åñòâå èñõîäíîãî ïîëÿ äëÿ êîýèöèåíòîâ âûáåðåì K = C(eïîñêîëüêó x0 , y0 ∈ C(e2πtω2πtω, eit),), à H1 ∈ C(eit ). Äëÿ êàæäîãî θ0 ðàñøèðåíèå ÏèêàðàÂåññèî åñòü K ⊂ Lθ0 = K(u11, ..., u33), ãäå U óíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà25ðåøåíèé. Ïóñòü Gal åñòü ãðóïïà àëóà äëÿ äàííîãî ðàñøèðåíèÿ.Ïóñòü U - óíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2.17), òîãäà Uèìååò âèäHH0y δk(θ0) 0y1U = −H0x,−Hδµ(θ)0x0H0y001ZH0yyδ=2 (x0 (t), y0(t), t)dt,H0yZH1y− δ{H0 , H1}(x0(t), y0(t), t + θ0) dt.k(θ0) =H0yÒåîðåìà Ïóñòü K = C(e2πtω(2.18), eit ) ÿâëÿåòñÿ äèåðåíöèàëüíûì ïîëåì êîýèöèåíòîâ äëÿ (2.17) è âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ(1) Ôóíêöèè (x0 (t), y0(t)) ïðèíàäëåæàò ïîëþ K = C(e2πtω, eit ) è âîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí H1 çàâèñèò îò (x, y) êàê ðàöèîíàëüíàÿ óíêöèÿ, à îò t êàê óíêöèÿ îò eit ;(2) Ôóíêöèÿ δ ∈ M(C) ìåðîìîðíàÿ;(3) Ôóíêöèÿ δ ∈/ K.Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû Gal áûëà àáåëåâîé äëÿ èêñèðîâàííîãî θ0 ∈ F2π ,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû µ(θ0 ) ∈ L = K(δ).

Ê òîìó æå, íåîáõîäèìûìóñëîâèåì àáåëåâîñòè ýòîé ãðóïïû àëóà, ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èíòåãðàëàÏóàíêàðåÌåëüíèêîâà íàä F2π .4) Ñâÿçü ìåæäó âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëà Ïóàíêàðå-Ìåëüíèêîâà è ìåòîäîì ÊîâàëåâñêîéËÿïóíîâàÈîøèäû. ðàáîòàõ [65], [64] óêàçàíà ñâÿçü ìåæäó âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëà ÏóàíêàðåÌåëüíèêîâà è ìåòîäîì ÊîâàëåâñêîéËÿïóíîâàÈîøèäû. Âû÷èñëÿòüèíòåãðàë ÏóàíêàðåÌåëüíèêîâà ìîæíî ÷åðåç âû÷åòû, ïðè÷åì îíè áåðóòñÿ ïîöèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, îïðåäåëÿåìîé ÷åðåç ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå. Âóêàçàííûõ ðàáîòàõ ýòè âû÷åòû ïðåäñòàâëåíû êàê óíêöèè îò ñîîòíîøåíèé,26îïðåäåëÿþùèõ óñëîâèÿ ñîâìåñòèìîñòè äëÿ ïðîõîæäåíèÿ òåñòà Ïåíëåâå.7. Ìåòîä, îñíîâàííûé íà àíàëèçå ðåçîíàíñíîñòè íîðìàëüíîéîðìû (Â.Â.

Êîçëîâ, À.Ä. Áðþíî). îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ íîðìàëüíàÿ ãàìèëüòîíîâà îðìà. Ïóñòü îíà çàâèñèò îò êàêîãî-òî ïàðàìåòðà, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò íåçàâèñèìûå â òî÷êå äîïîëíèòåëüíûå èíòåãðàëû ïðèâñåõ çíà÷åíèÿõ äàííîãî ïàðàìåòðà. Òîãäà ìîæíî âûáðàòü ýòîò ïàðàìåòð òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èìåë ìåñòî ðåçîíàíñ, à óñëîâèå ðåçîíàíñíîñòè äàåò ðàâåíñòâî íóëþ ðåçîíàíñíîãî ÷ëåíà â ãàìèëüòîíèàíå.  èòîãå ïîëó÷àþòñÿ äâàóñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè.

Îñíîâíûå íåäîñòàòêè ìåòîäà: åãî ëîêàëüíîñòü èòî, ÷òî îí äàåò ëèøü äâà óñëîâèÿ (åñëè ïàðàìåòðîâ òîæå äâà, òî ìåòîä ðàáîòàåò).  îáùåì âèäå äàííàÿ òåîðåìà çâó÷èò òàê:Ïóñòü H = H2 + . . . + Hm−1 + Hm + . . . ðàçëîæåíèå â îêðåñòíîñòè ðàâíîâåñèÿ àíàëèòè÷åñêè çàâèñÿùåé îò ïàðàìåòðîâ óíêöèè àìèëüòîíà, ïðèâåäåííîé ê íîðìàëüíîé îðìå äî ñëàãàåìûõ (m − 1)-ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî.Òåîðåìà ([28], [11]) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî:(1) Ñóùåñòâóþò òàêèå ïàðàìåòðû (èõ áóäåì íàçûâàòü îñîáûìè), ïðè âñåõçíà÷åíèÿõ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò íåçàâèñèìûé äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë.(2) Îñîáûå ïàðàìåòðû ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû áûëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:< k, ω(ǫ) >= 0, |k| = mè < k, ω(ǫ) >6= 0, |k| < m,ω âåêòîð ÷àñòîò, k ∈ Zn.(3) Ïðè óñëîâèè (2) êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà íåçàâèñèìà ñ H2 .Òîãäà ðåçîíàíñíûé êîýèöèåíò â Hm îáðàùàåòñÿ â íîëü.Äàííûé ìåòîä äëÿ ãàìèëüîíîâûõ ñèñòåì ïðèìåíÿëñÿ â [28], äëÿ íåãàìèëüòîíîâûõ â ðàáîòå [11].278.