Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости, страница 3

Ìîæíî íàëîæèòü óñëîâèÿ, ÷òîáû îáùåå ðåøåíèå áûëî îäíîçíà÷íûì.  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ ïðîöåäóðà ÊîâàëåâñêîéËÿïóíîâà.Åñëè ó êâàçèîäíîðîäíîé ñèñòåìû èìååòñÿ êâàçèîäíîðîäíûé èíòåãðàë, òîãäà åãî ñòåïåíü áóäåò ðàâíà ïîêàçàòåëÿì Êîâàëåâñêîé (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿëó÷åé, îïðåäåëÿåìûõ êâàçèîäíîðîäíûìè ðåøåíèÿìè).  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿòåîðåìà Èîøèäû.Ïóñòü èìååòñÿ ñèñòåìà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ãîëîìîðíîé ïðà12âîé ÷àñòüþ, ïðåäñòàâèìàÿ â âèäåẋ = f (0) (x) + f (1) (x) + ...

+ f (m) (x) x ∈ Cn(2.2)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíà äîïóñêàåò ïåðâûé èíòåãðàë I(x) ∈ CÒåîðåìà ([31], [67], [91], [13], [16])10. Ïóñòü óíêöèè f (j) (x) êâàçèîäíîðîäíû, ò.å. èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé t → δ t, xi → δ pi +q(j)−1xi ,0 < q (i) < q (j) , i < j è óðàâíåíèåẋ = f (0) (x) èìååò íåíóëåâîå ÷àñòíîå ðåøåíèå(0)xj (t) = αj tpj , αj ∈ C, pj ∈ Z, j = 1, ..., n20. Ïðîèçâîäíàÿ èíòåãðàëà I(x) íå ðàâíà íóëþ íà ýòîì ðåøåíèè, à ñàì îíÿâëÿåòñÿ êâàçèîäíîðîäíûì ìíîãî÷ëåíîì.Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1) ìàòðèöà Êîâàëåâñêîé K =∂f (0)∂x (α)− diag(p) äèàãîíàëèçèðóåìà; α == (α1 , α2, .., αn), p = (p1, p2, .., pn)è åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ρi , íàçûâàåìûå ïîêàçàòåëÿìè Êîâàëåâñêîé, öåëûå;Ïóñòü β i ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû Êîâàëåâñêîé.2) ðåøåíèå ñèñòåìû (2.2) èìååò âèäxj (t) = tpjαj +X!cjs (ln t)t<ρ,s> , j = 1, ..., n,s(2.3)ãäå êîýèöèåíòû cjs ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè îò ln t.3) ñòåïåíü êâàçèîäíîðîäíîñòè ïåðâîãî èíòåãðàëà I(x) åñòü ïîêàçàòåëü Êîâàëåâñêîé.Çàìå÷àíèå.

Ìîæíî òðåáîâàòü, ÷òîáû îáùåå ðåøåíèå âèäà (2.3) áûëî îäíîçíà÷íûì, äëÿ ýòîãî íóæíû òàêæå óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè íà êîýèöèåíòûcjs . Òîãäà ñóììèðîâàíèå áóäåò âåñòèñü ïî íåêîòîðîé ðåøåòêå ïåðèîäîâ, ïîëó÷àþùåéñÿ èç óñëîâèé ðåçîíàíñà íà ïîêàçàòåëè Êîâàëåâñêîé.  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ ïðîâåðêà óðàâíåíèé (2.2) íà òåñò Ïåíëåâå [16].132) Êâàçèîäíîðîäíûå ñèñòåìû ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì.Ïóñòü èìååòñÿ ñèñòåìà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ãîëîìîðíîé èàíàëèòè÷åñêîé ïî ǫ ïðàâîé ÷àñòüþ (ǫìàëûé ïàðàìåòð)ẋ = f (0) (x) + ǫf (1) (x) + ǫ2 f (2) (x) + ...,x ∈ Cn(2.4)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíà äîïóñêàåò 0 < k ≤ n − 1 èíòåãðàëîâ, ïðåäñòàâëåííûõâ âèäåF = F(0) + ǫF(1) + ǫ2 F(2) + ..., F ∈ Ck(2.5)Ïóñòü I k èíòåãðàëîâ íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâóþùèå íóëåâîìóçíà÷åíèþ ǫ â ðàçëîæåíèè (2.5).Èçâåñòíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, âîñõîäÿùàÿ â èäåéíîì ïëàíå ê ðàáîòàì Êîâàëåâñêîé è Ëÿïóíîâà.Òåîðåìà ( [16] ñ.

245, ïðåäëîæåíèå (4.11)).10. Ïóñòü óíêöèÿ f (0) (x) êâàçèîäíîðîäíà, ò.å. íåâîçìóùåííàÿ ñèñòåìàèíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé t → δ t, xj → δ pj xj , è îíà èìååòíåíóëåâîå ðåøåíèå(0)xj (t) = αj tpj , αj ∈ C, pj ∈ Z, j = 1, ..., n20. Èíòåãðàëû F(0) (x) óíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûå íà ýòîì ðåøåíèèêâàçèîäíîðîäíûå ìíîãî÷ëåíû (ò.å. ðàíã ìàòðèöû ßêîáè äëÿ óíêöèé F(0)(x)ìàêñèìàëåí íà ðåøåíèè)30.

Ôóíêöèè f (i) (x) (i = 1, 2, ...) ìíîãî÷ëåíû.Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1) ìàòðèöà Êîâàëåâñêîé K =∂f (0)∂x (α)− diag(p) äèàãîíàëèçèðóåìà; α == (α1 , α2, .., αn), p = (p1, p2, .., pn)è åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ρi ïîêàçàòåëè Êîâàëåâñêîé, öåëûå;Ïóñòü β i ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû Êîâàëåâñêîé.142) ðåøåíèå ñèñòåìû (2.4) èìååò âèäx(t) = x(0) (t) + ǫx(1) (t) + ǫ2 x(2) (t) + ...ãäåx(i) (t) =i−ℓ+1Psij (t)lnj (t), åñëè i ≥ ℓ − 1j=0si0(t),(2.6)åñëè i < ℓ − 1è sij (t) ñóììû îäíî÷ëåíîâ ïî t, ℓ ïàðàìåòð, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ÷ëåíóíàèìåíüøåãî ïîðÿäêà ïî ǫ, ãäå òðåáóåòñÿ ëîãàðèìè÷åñêàÿ ïîïðàâêà (åñëèñîîòíîøåíèå (2.6) íå ñîäåðæèò ëîãàðèìîâ âîîáùå, òî áóäåì ñ÷èòàòü ℓ == ∞).3) âûïîëíåíû k óñëîâèé:<∂I (0)(x ), sℓ1 >= 0∂x(2.7)Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå (1) ñîñòàâëÿåò òåîðåìó Èîøèäû [91], êîòîðàÿâûòåêàåò èç óñëîâèé 10 , 20 (ñì.

ïðåäûäóùèé ïóíêò). Óòâåðæäåíèå (2) âûâîäèòñÿ ìåòîäîì âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ ïðè ó÷åòå ìàñøòàáíîèíâàðèàíòíîñòè óðàâíåíèé è óñëîâèÿ 30 . Óòâåðæäåíèå (3) ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé ðàçëîæåíèÿ (2.6) â èíòåãðàëû (2.5) è èõ ðàçëîæåíèåì â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ǫ. Òàì, ãäå âïåðâûå âñòðåòèòñÿ ëîãàðèì, áóäåò âåòâëåíèå ðåøåíèÿ,÷òî ïðîòèâîðå÷èò îäíîçíà÷íîñòè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ. Èç óñëîâèÿ 20 ñëåäóåò,÷òî ÿêîáèàí çàìåíû F = F(I) ñóùåñòâóåò è íåâûðîæäåí (det ∂F∂I 6= 0) íà ðåøåíèè, ïîýòîìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñîîòíîøåíèÿ äëÿ I âìåñòî F.

Îòñþäàè ñëåäóåò èñêîìîå óòâåðæäåíèå.3) Ñâÿçü ìåòîäà ÊîâàëåâñêîéËÿïóíîâàÈîøèäû ñ íîðìàëèçàöèåé îáûêíîâåííîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè.Çàìåíîé ïåðåìåííûõ (x, t) → (ξ, τ ), ãäå xj = tpj ξj , t = eτ ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü êâàçèîäíîðîäíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2.2) â óðàâíåíèå â15îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, èìåþùåå ñëåäóþùèé âèä:ξ ′ = Kξ + ...(2.8)ãäå K - ìàòðèöà Êîâàëåâñêîé.Âñå óòâåðæäåíèÿ ïðåäûäóùèõ òåîðåì ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü â òåðìèíàõ óðàâíåíèÿ (2.8).

 ÷àñòíîñòè, óñëîâèå âûïîëíåíèÿ òåñòà Ïåíëåâå áóäåòîçíà÷àòü ëèíåàðèçóåìîñòü ñèñòåìû (2.8).4) Àëãåáðàè÷åñêè âïîëíå èíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû, ñâÿçü ñ òåñòîì Ïåíëåâå.Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òàêèå ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, äëÿêîòîðûõ ñâîéñòâî Ïåíëåâå âñåãäà âûïîëíåíî.  îáùåì ñëó÷àå îíî íå âûïîëíÿåòñÿ, íàïðèìåð, äëÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì: H(p, q) =p22+ Vn (q), ãäåVn (q) - ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè áîëüøåé, ÷åì 4.Ñèñòåìû, äëÿ êîòîðûõ ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, íàçûâàþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèâïîëíå èíòåãðèðóåìûìè ñèñòåìàìè (à.â.è.ñ.).ẋ = {H, x},x ∈ Rn ,(2.9)H - äåéñòâèòåëüíûé ìíîãî÷ëåí ïî x.Ïóñòü F1 , ..., Fk - ïîëèíîìû Êàçèìèðà äëÿ (2.9) è íà èõ óðîâíå ñèñòåìàíåâûðîæäåíà.Òî÷íîå îïðåäåëåíèå òàêîâî:Îïðåäåëåíèå ([57]) àìèëüòîíîâà ñèñòåìà (2.9) íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèâïîëíå èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìîé (à.â.è.ñ.), åñëè:(1) Ïîìèìî ïîëèíîìîâ Êàçèìèðà F1 , ..., Fk ñèñòåìà èìååò m = (n −− k)/2 äîïîëíèòåëüíûõ íåçàâèñèìûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâFk+1, ..., Fk+m â èíâîëþöèè òàêèõ, ÷òî äëÿ a = (a1 , ..., ak+m) ∈ Rn èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèånCRa = {x ∈ R : Fi (x) = ai , i = 1, .., k + m}16ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì äåéñòâèòåëüíûõ òîðîâ;(2) äëÿ âåêòîðíîé ïîñòîÿííîé a ñóùåñòâóåò àáåëåâ òîð T2m ñ êîìïëåêñíûìè êîîðäèíàòàìè τ1 , ..., τm è n àáåëåâûìè óíêöèÿìè z = z(τ1 , ..., τm),ïàðàìåòðèçóþùèìè íåêîìïàêòíûå èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿnCCa = {z ∈ C : Fi (z) = ai , i = 1, .., k + m};(3) íà CCa êîìïëåêñíûé ãàìèëüòîíîâ ïîòîê ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì è ìîæåòáûòü çàïèñàí â âèäåτ̇i = µi , i = 1, ..., m (µi = const).Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèå à.â.è.ñ.

ãîâîðèò, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ çíà÷åíèéïîñòîÿííûõ µi ïîâåðõíîñòè óðîâíåé ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â äåéñòâèòåëüíîé îáëàñòè ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè àëãåáðàè÷åñêèìè òîðàìè è ÷òî ëþáîé äåéñòâèòåëüíûé òîð ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî òîðà, íà êîòîðîì äâèæåíèåàçîâîãî ïîòîêà ëèíåéíî.Òåîðåìà (î ñâÿçè à.â.è.ñ. è ìåðîìîðíîñòè ëîêàëüíûõ ðåøåíèé) ([58])Åñëè ñèñòåìà (2.9) ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìîé ñ k àáåëåâûìè óíêöèÿìè, òî ýòà ñèñòåìà äîïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé â âèäå ëîêàëüíûõ ðàçëîæåíèé â ðÿäû Ëîðàíà ñ âîçðàñòàþùèìè ñòåïåíÿìè è k − 1 ñâîáîäíûì ïàðàìåòðîì (ò.å.

k − 1 ïîëîæèòåëüíûì ïîêàçàòåëåìÊîâàëåâñêîé):xj (t) = tpjαj +∞Xs=1ãäå pj ∈ N,cjs - ïîñòîÿííûå.!cjs t<ρ,s> ,(2.10)5) Ñâÿçü ìåòîäà ÊîâàëåâñêîéËÿïóíîâàÈîøèäû ñ ìåòîäîì äèåðåíöèàëüíûõ ãðóïï àëóà. ìåòîäå Ìîðàëèñà-óèçààìèñà (ñì. ï.5) ïðè èçó÷åíèè íîðìàëüíîãîóðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèøü ëîêàëüíî, â îêðåñòíîñòè èõ îñîáûõ òî÷åê.

Òîãäà ìîæíî ÿâíî âûïèñàòü â êâàäðàòóðàõ ðåøåíèå17âîêðóã òàêèõ îñîáûõ òî÷åê. Ñ òî÷êè çðåíèÿ àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ðàññìàòðèâàåòñÿ ñåðà ñ äâóìÿ îñîáåííîñòÿìè: íîëü è áåñêîíå÷íîñòü. Ìåòîä äèåðåíöèàëüíûõ ãðóïï àëóà çäåñü íå ðàáîòàåò. Îäíàêî, íàëîæèâ óñëîâèÿ îòñóòñòâèÿ âåòâëåíèÿ, ìîæíî äîêàçûâàòü íå ìåðîìîðíóþ èíòåãðèðóåìîñòü (êàêâ ìåòîäå Ìîðàëèñà-óèçààìèñà), à òî, ÷òî ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèâïîëíå èíòåãðèðóåìîé.4. Ìåòîä, îñíîâàííûé íà èññëåäîâàíèè ãðóïïû ìîíîäðîìèè äëÿñèñòåìû, ëèíåàðèçîâàííîé â îêðåñòíîñòè èçâåñòíîãî òî÷íîãî íåñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ (Ñ.Ë. Çèãëèí) ðàáîòàõ Ñ.Ë. Çèãëèíà [21] ïðåäëàãàëñÿ ñëåäóþùèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåèíòåãðèðóåìîñòè.Ïóñòü äàíà ñèñòåìà êîìïëåêñíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:ẋ = XH (x),t ∈ C,x ∈ M2n ,H : M2n → C(2.11)(M2n êîìïëåêñíîå 2n-ìåðíîå àíàëèòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå).Ïóñòü x0 = ϕ(t) ÷àñòíîå ðåøåíèå, íå ÿâëÿþùååñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, è ïóñòü ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü Γ ýòîãî ðåøåíèÿ ïàðàìåòðèçîâàíà êîìïëåêñíûì âðåìåíåì t.

àññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå â âàðèàöèÿõ â îêðåñòíîñòèäàííîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ:′η̇ = XH(ϕ(t))η,"Ôàçîâûìïðîñòðàíñòâîì"ñèñòåìûη ∈ TΓ(2.12)(2.12)ÿâëÿåòñÿðèìàíîâàïîâåðõíîñòü Γ.Åñëè ñèñòåìà (2.11) èìååò äîïîëíèòåëüíûå èíòåãðàëû, íàõîäÿùèåñÿ â èíâîëþöèè, òî ìîæíî ïîíèçèòü ïîðÿäîê ñèñòåìû (2.11) íà ÷èñëî ýòèõ èíòåãðàëîâ è âìåñòî óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ (2.12) ìîæíî èññëåäîâàòü íîðìàëüíîåóðàâíåíèå â âàðèàöèÿõ (2.13) (Í.Ó.Â.).ξ˙ = A(t)ξ,A ∈ Mat(2m, K)18(2.13)Äëÿ óðàâíåíèÿ (2.13) ïîëåì êîýèöèåíòîâ âñåãäà ìîæíî ñ÷èòàòü K == M(Γ̄), ãäå Γ = Γ̄ ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ñ ìåðîìîðíûìè îñîáåííîñòÿìè äëÿ äàííîé ïàðàìåòðèçàöèè [72].Îïðåäåëåíèå: Ìàòðèöåé ìîíîäðîìèè M íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû M ∈ π(Γ̄, t0 ).Ñóùåñòâîâàíèå ìåðîìîðíûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà ãðóïïó ìîíîäðîìèè, à èìåííî: òðåáóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ó íåå èíâàðèàíòîâ.Ëåììà Çèãëèíà ([21]) Åñëè ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà (4.1) èìååò ìåðîìîðíûé èíòåãðàë â íåêîòðîé îêðåñòíîñòè U ∈ M2n òàêîé, ÷òî óíäàìåíòàëüíàÿãðóïïà äëÿ Γ ïîðîæäåíà ïåòëÿìè, ëåæàùèìè â U , òîãäà óíäàìåíòàëüíàÿãðóïïà M íîðìàëüíîãî óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ èìååò ðàöèîíàëüíûé ïåðâûéèíòåãðàë: F (gξ) = F (ξ), ∀g ∈ M,F ∈ C(ξ).ðóïïà ìîíîäðîìèè â äàííîé ëåììå âûñòóïàåò ëèøü êàê èìåþùàÿ èíâàðèàíò çäåñü íå ó÷èòûâàþòñÿ ñâîéñòâà èìåííî ñàìîé ãðóïïû ìîíîäðîìèè,âìåñòî íåå ìîæíî áûëî áû ðàññìàòðèâàòü äðóãóþ ãðóïïó.

 ðàáîòàõ [59], [61]áûëè äåòàëüíî èññëåäîâàíû ãðóïïû, èìåþùèå èíâàðèàíòû. Íàèáîëåå ïðîñòûå ãðóïïû ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè áûëè èññëåäîâàíû åùå Çèãëèíûì â ðàáîòå[21].Îïðåäåëåíèå: Ýëåìåíò g ∈ M íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíûì, åñëè äëÿ åãî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéîòíîøåíèå:mYl=1λkl l−1spectr(g) = (λ1, λ−11 , .., λm, λm ), λi ∈ C âûïîëíåíî ñîm= 1, äëÿ íåêîòîðûõ(k1, .., km) ∈ Z ,mXi=1ki 6= 0.Òåîðåìà Çèãëèíà ([21]) Ïóñòü ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà èìååò íåçàâèñèìûåìåðîìîðíûå èíòåãðàëû â îêðåñòíîñòè ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ (íà ñàìîì ðåøåíèèèíòåãðàëû ìîãóò áûòü çàâèñèìû), è ãðóïïà ìîíîäðîìèè Í.Ó.Â. ñîäåðæèòíåðåçîíàíñíûé ýëåìåíò g . Òîãäà ëþáîé äðóãîé ýëåìåíò ãðóïïû ìîíîäðîìèè19ïåðåâîäèò ñîáñòâåííûå âåêòîðû ýëåìåíòà g â ñåáÿ.

 ÷àñòíîñòè, ëþáûå äâàíåðåçîíàíñíûõ ýëåìåíòà ãðóïïû ìîíîäðîìèè êîììóòèðóþò.Ìåòîä Çèãëèíà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåèíòåãðèðóåìîñòè èñïîëüçîâàëñÿ âðàáîòàõ [21], [92].5. Ìåòîä, îñíîâàííûé íà èññëåäîâàíèè ãðóïïû àëóà äëÿ ñèñòåìû, ëèíåàðèçîâàííîé â îêðåñòíîñòè èçâåñòíîãî òî÷íîãî íåñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ (Æ.Æ. Ìîðàëèñ-óèç, Æ.Ï. àìèñ).Äðóãîé ïîäõîä ê ïðîáëåìå íåèíòåãðèðóåìîñòè áûë ïðåäëîæåí â ðàáîòå[72].  íåé âìåñòî ãðóïïû ìîíîäðîìèè èñïîëüçóþòñÿ ãðóïïû àëóà. Òàêîéïîäõîä äàåò áîëåå òîíêèé àíàëèç ïðè èçó÷åíèè íåèíòåãðèðóåìîñòè àêòè÷åñêè ýòî ëèíåéíûé àíàëîã òåîðåìû ÀðíîëüäàËèóâèëëÿ î àçîâûõ òîðàõ(óñëîâèÿ íà ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòîâ äëÿ ãðóïïû àëóà äàþò óñëîâèÿ íàåå êîììóòàòèâíîñòü).ðóïïû àëóà èçó÷àòü ëåã÷å, ÷åì ãðóïïû ìîíîäðîìèè (ïåðâàÿ òåîðèÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ, âòîðàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ; âòîðàÿ áîëåå íàãëÿäíà, íî äëÿ íååíå ñóùåñòâóåò àïïàðàòà âû÷èñëåíèÿ).