Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли, страница 7

Для того, чтобы доказать это утверждение остается проверить, что для любых ξ ∈ Annφ (a) и v ∈ V ω(ad∗ξ a, ad∗v a) = 0. Расписываязначение формы Кириллова по определению получаемω(ad∗ξ a, ad∗v a) = ha, [ξ, v]i = hφ∗ (ξ), vi = 0,поскольку ξ ∈ Annφ (a).1.5Теорема Садэтова и построение полных коммутативных наборов полиномов.Приведенные в этой главе результаты о структуре орбит коприсоединенного действия группы Ли в известном смысле проясняют геометрический смыслполных коммутативных наборов, получаемых методом Садэтова. В случае, если шаг индукции реализуется с помощью коммутативного идеала мы добавляем к набору интегралов координаты в базе расслоения EI . Это означает, чтоГлава 1.

Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы43совместная поверхность уровня интегралов заведомо будет целиком лежатьвнутри одного слоя.Справедливо следующее утверждение.Теорема 1.15. Пусть алгебра Ли g содержит коммутативный идеал I.Пусть fi — полный коммутативный набор полиномов, построенныйс помощью метода Садэтова. Тогда совместные поверхности уровняинтегралов лежат целиком в одном слое расслоения p : g∗ → I ∗ и являются прямым произведением евклидова пространства, размерностькоторого равна размерности орбиты действия g на Ij, на поверхностьуровня для набора на Ann(a)∗ , являющегося ограничением исходногонабора fi .Доказательство. Первая часть утверждения очевидна, поскольку координаты на V ∗ входят в набор, построенный методом Садэтова.

Из теоремы 1.11следует, что никакие функции из набора не могут зависеть от переменных изAnn(a)⊥ , иначе они не будут коммутировать с координатами на V ∗ . Следовательно, корректно определено ограничение этих функций на Ann(a)∗ . Ограничения этих функций будут задавать коммутативный набор на Ann(a)∗ . Отсюда следует, что совместные поверхности уровня функций из исходного набораявляются произведением совместной поверхности уровня функция на Ann(a)∗на евклидово пространство Ann(a)⊥ .Аналогичное утверждение справедливо для случая, когда редукция происходит с помощью подалгебры Гейзенберга.Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы44Теорема 1.16.

Пусть алгебра Ли g содержит идеал h, изоморфный алгебре Гейзенберга dim h = 2k + 1, h = V + z(h) Пусть fi — полный коммутативный набор полиномов, построенный с помощью метода Садэтова. Пусть k — подалгебра, трансверсальная V . Тогда совместныеповерхности уровня интегралов являются прямым произведением евклидова пространства размерности k на поверхность уровня для набора полиномов на k∗ , полученного как ограничение набора fi .Доказательство. Доказательство аналогично доказательству предыдущего утверждения.

Набор функций построенный методом Садэтова включает kфункций, зависящих от координат на V , градиенты которых порождают лагранжево подпространство. Зафиксируем значение этих функций и рассмотримкосоортогональное дополнение V 0 к их градиентам в смысле формы ω на V .Поскольку ограничение формы Кириллова на V невырождено для того чтобынабор был коммутативным, функции в наборе, построенном методом Садэтова не должны зависеть от координат на V 0 . Это позволяет ограничить их на K ∗и показывает, что совместная поверхность уровня функций, построенных методом Садэтова является прямым произведением пространства размерностиk на совместную поверхность ограничения этих функций на K ∗ .Единственная ситуация, в которой метод Садэтова дает результат не объясняемый напрямую описанной в этой главе структурой орбит, это ситуациякогда алгебра Ли g содержит коммутативный идеал, совпадающий с центром,но не являющийся нильрадикалом алгебры Ли g.

В этом случае база расслоения в теореме 1.8 — точка и слой совпадает с орбитой коприсоединенногоГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы45действия.Это наблюдение делает более интересным вопрос о построении коммутативных наборов другого типа. Многие известные методы построения коммутативных наборов для полупрямой суммы алгебры Ли с коммутативным идеалом ( А.В. Браилов, А.С. Тен) дают наборы, градиенты которых порождаютодинаковое пространство. Более интересный набор можно получить методомцепочек подалгебр.Метод цепочек подалгебр основан на следующей лемме.Лемма 1.4 ( (А.Т.

Фоменко, В.В. Трофимов, [5]). Пусть h ⊂ g — подалгебра. И π : g∗ → h∗ — естественное отображение . Если функции f1 и f2находятся в инволюции на h∗ , то π ∗ f1 и π ∗ f2 находятся в инволюции наg∗ .Если мы умеем каким либо образом строить полный коммутативный наборh1 , . . . , hk на h, то полный коммутативный набор на g∗ можно пытаться строитьследующим образом: “поднять” функции hi на g∗ и дополнить набор инвариантами коприсоединенного представления. Полученный набор заведомо будеткоммутативным (функции π ∗ hi находятся в инволюции согласно лемме, a инварианты коприсоединенного представления лежат в ядре скобки Пуассона)но может не быть полным.В случае полупрямой суммыg = r +ϕ V(1.4)имеется следующая естественная цепочка: r ⊂ g.

Сформулируем критерий,Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы46показывающий, в каком случае набор, построенный с помощью такой цепочки, будет полным.Теорема 1.17. Набор функций на g∗ , получаемый с помощью цепочки r ⊂ g,будет полным, если полным будет набор функций на r∗ , получаемый изцепочки Annφ (a) ⊂ r.Это утверждение можно доказать используя теорему Раиса и вычисляя количество функций, которые войдут в набор, но в этом случае придется дополнительно заботиться об их независимости.

Вместо этого мы приведем доказательство этого утверждения в других, более инвариантных терминах.Рассмотрим полный набор функций на r∗ и поднимем их на g∗ . В каждойточке g∗ рассмотрим подпространство P , натянутое на градиенты этих функций. Его косоортогональное дополнение в смысле скобки Пуассона на g∗ содержит в себе подпространство P и подпространство, натянутое на градиентыинвариантов алгебры g, то есть ядро скобки Пуассона.

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы набор, получаемый добавлением к исходному набору был полным, является точное равенствоP ⊥ = P + Ker({, }).(1.5)Это равенство должно выполняться почти всюду на g∗ .Можно заменить это равенство следующим включением:r⊥ ⊆ r + Ker({, }).(1.6)Здесь r обозначает подпространство, натянутое на градиенты координатныхфункций на r . Это условие эквивалентно равенству (1.5) в следующем смысле.

Если мы выберем в r полный набор функций и обозначим пространство,Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы47порождаемое их градиентами P , то из (1.6) будет следовать (1.5). Обратное((1.6) из (1.5)) очевидно, поскольку справедливы включения r⊥ ⊆ P ⊥ и P ⊆ r.Включение (1.6) должно выполняться почти во всех точках g∗ .В этих терминах теорема может быть переформулирована следующим образом:Утверждение 1.4.

Пусть g = r +ρ V . Обозначим Annφ (a) – стабилизатор элемента общего положения из V . Если для Annφ (a) справедливовключение Annφ (a)⊥ ⊆ Annφ (a) + r⊥ (здесь косоортогональное дополнение берется в смысле скобки Пуассона на r), то справедливо включениеr⊥ ⊆ r+g⊥ (здесь косоортогональное дополнение берется в смысле скобки Пуассона на g∗ ).Доказательство. Запишем выражение для скобки Пуассона в g в точке (x, a):{(ξ, u), (η, v)} = h[ξ, η], xi + hρ(ξ)v − ρ(η)u, ai.(1.7)Рассмотрим вектор (η, v), лежащий в косоортогональном дополнении к r вg. Это означает, что для него справедливо соотношение{(ξ, 0), (η, v)} = h[ξ, η], xi + hρ(ξ)v, ai = 0 ∀ξ.(1.8)Выбирая ξ ∈ Ann a, получаем, что для всех таких ξ выполняется соотношениеh[ξ, η], xi = 0.(1.9)Это означает, что η принадлежит к косоортогональному дополнению (Ann a)⊥ .По нашему предположению это означает, что либо η ∈ Ann a, либо η – лежитв ядре скобки Пуассона для алгебры r.Глава 1.

Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы48В первом случае мы получаем, что из (1.8) и η ∈ Ann a следует, что{(ξ, u), (η, v)} = 0,(1.10)то есть (η, v) лежит в ядре скобки Пуассона для g. Во втором случае из (1.8)получаемhρ(ξ)v, ai = 0.(1.11)Это означает, что (0, v) лежит в ядре скобки Пуассона, откуда следует включение r⊥ ⊆ r + g⊥ .Глава 2Инварианты и орбиты для полупрямыхсуммВ этом разделе приведена информация об инвариантах, орбитах и аннуляторах для некоторых специальных алгебр Ли, представимых в виде полупрямой суммы. Мы рассмотрим полупрямые суммы so(n) +φ Rn , sl(n) +φ RN иsp(n) +φ R2n , где φ обозначает представление минимальной размерности.2.1Группы sp(n) +ϕ R2n и so(n) +ϕ Rn (общая конструкция)Приведем общую конструкцию, из которой можно получить инварианты дляалгебр вида sp(n) +ϕ R2n и so(n) +ϕ Rn .