Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли, страница 6

Это означает, что нам достаточно проверить равенство только для векторов вида ad∗ξ x,ξ ∈ Annφ (a). Записывая 1.3 мы получаем, что выражение hφ(ξ)v − φ(η)u, aiравно нулю, если ξ, η ∈ Annφ (a). Два оставшихся слагаемых не изменяются,когда мы переходим от Ea к Annφ (a)∗ .Второе утверждение носит более локальный характер.

Зафиксируем точку x ∈ g∗ . Пусть p(x) = a и P — подпространство в g трансверсальное кГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы36Ann(a). Тогда в касательном пространстве можно выделить два естественныхподпространства: подпространство T1 , натянутое на векторы ad∗ξ x, ξ ∈ P иподпространство T2 , натянутое на векторы ad∗u x, u ∈ I.Фактически мы выделяем в орбите коприсоединенного действия подмногообразие, диффеоморфное кокасательному расслоению к орбите OΦ , но делаем это локально. Подпространство T1 + T2 — касательное пространство кэтому подмногообразию. Ограничение формы Кириллова на это подмногообразие будет канонической формой на кокасательном расслоении с некоторойдобавкой на базе расслоения, что показывает следующая теорема.Теорема 1.11.

Подпространство T1 изотропно, и ограничение формыКириллова на T1 ⊕ T2 невырождено.Доказательство. Доказательство сводится к прямой проверке. По определению для векторов ad∗u x и ad∗v x имеемω(ad∗u x, ad∗v x) = h[u, v], xi = h0, xi = 0.Докажем невырожденность этой формы.

Заметим, что если вектор u принадлежит ортогональному дополнению к касательному пространству к орбите элемента x при действии Φ, то ad∗u x = 0:had∗u x, ξi = −hx, [u, ξ]i = −hφ∗ (ξ)x, ui = 0.Следовательно, можно определять u с точностью до элемента из ортогонального дополнения и считать его элементом из кокасательного пространства корбите. Для пары векторов ad∗u x и ad∗ξ x имеемω(ad∗u x, ad∗ξ x) = hφ(ξ)u, xi = −hu, φ∗ (ξ)xi.Глава 1.

Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы37Отображение ξ → φ∗ (ξ)x задает изоморфизм между R и касательным пространством к орбите. Тогда в последнем равенстве написано просто спаривание элементов из касательного и кокасательного пространства к орбите. Ясно,что оно невырождено.1.4Случай идеала, изоморфного алгебре ГейзенбергаРассмотрим случай, когда алгебра g содержит идеал, изоморфный алгебреГейзенберга h.

Алгебра Ли h представляет собой сумму линейного пространства V = span{e1 , . . . , e2n } с фиксированной симплектической структурой ω иодномерного центра z = span e0 с коммутационными соотношениями[ei , ej ] = ω(ei , ej )e0 , i, j = 1 . . . 2n.Пространство V определено, вообще говоря, неоднозначно, но мы будем считать, что оно зафиксировано.Топология орбиты в этом случае будет даже более простой, чем в случаекоммутативного идеала. Это связано с наличием следующего замечательногосвойства, доказываемого, например, в [27]Теорема 1.12. Пусть алгебра Ли g содержит идеал h, изоморфный алгебре Гейзенберга.

Тогда существует подалгебра k, такая что g = h + kи h ∩ k = z.Ниже мы явным и естественным образом построим подалгебру k.Аналогично случаю коммутативного идеала рассмотрим естественную проекцию π : g∗ → h∗ . В этом случае также можно применить 1.2 и представитьГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы38орбиту коприсоединенного действия элемента x ∈ g в виде локально тривиального расслоения над π(O(x)). Рассмотрим образ этого отображения. Будем считать, что x — элемент общего положения, то есть естественная проекция g∗ → z∗ не переводит его в 0, иначе говоря hx, e0 i =6 0.Докажем следующую лемму, описывающую проекцию орбиты на h∗ .Лемма 1.3.

Образом орбиты коприсоединенного действия элемента x,такого что hx, e0 i =6 0 при проекции π является 2n-мерная плоскость,параллельная V ∗ .Доказательство. Заметим, что hx, e0 i не меняется при коприсоединенномдействии. Это следует из того, что e0 лежит в центре алгебры g, соответственноhAd∗g x, e0 i = hx, Adg−1 e0 i = hx, e0 i. Рассмотрим теперь образ при действии одномерных подгрупп exp(ei ). Поскольку нас интересует лишь проекция π, достаточно рассмотреть hei , Ad∗exp(ei ) xi.

Мы проверим просто, что дифференциалы отображений, то есть ad∗u , u ∈ V заметают все пространство V ∗ .had∗a x, ej i = −hx, [a, ej ]i = −hx, e0 ω(a, ej )i.Поскольку hx, e0 i 6= 0, выбирая a так, что ω(a, ej ) 6= 0 получаем требуемое.Таким образом базой расслоения служит пространство R2n . Зафиксируемв h∗ элемент x0 , такой что hx0 , e0 i =6 0. Тогда справедливо следующее утверждениеУтверждение 1.3. Аннулятор элемента x0 в смысле представленияφ : g → gl(h∗ ),Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы39индуцированного коприсоединенным представлением алгебры Ли g пересекается с V тривиально.Доказательство. Пусть u, v ∈ V . Тогдаhφ∗ (v)x0 , ui = hx0 , [u, v]i = hx0 , ω(u, v)e0 i.Последнее выражение отлично от 0, если ω(u, v) 6= 0, а значит v не можетлежать в аннуляторе x0 .Это утверждение эквивалентно теореме 1.12.

Аннулятор x0 является подалгеброй k, существование которой утверждается в теореме: он не пересекается с V по предыдущему утверждению, а его размерность равна dim g−dim V .Итак, перейдем к описанию слоя p−1 (x0 ). Алгебра Ли g представляется ввиде прямой суммы подпространств Annφ (x0 ) ⊕ V . Двойственное пространство в этом случае естественно представлять в виде суммы подпространствAnnφ (x0 )∗ + V ∗ , где Annφ (x0 )∗ = V ⊥ , V ∗ = Annφ (x0 )⊥ .Пусть p(a) = x0 .

Возьмем разложение a = aV + aAnn , где aV и aAnn —проекции на соответствующие подпространства: aV ∈ V ∗ , aAnn ∈ Annφ (x0 )∗ .Слоем p−1 (x0 ) орбиты a будет орбита элемента aAnn при действии St(x0 ).Таким образом мы доказали теорему, описывающую топологию орбит коприсоединенного действия для алгебры g.Теорема 1.13. Пусть G — группа Ли, такая что алгебра Ли содержит2n + 1-мерный идеал h, изоморфный алгебре Гейзенберга. Тогда существует подалгебра k, такая что g = h + k и h ∩ k = z(h).

Если для элемента x ∈ g∗ выполняется условие hx, e0 i =6 0, то его орбита коприсоединенного действия группы G представляет собой расслоение надГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы40базой R2n , слоем которого является орбита коприсоединенного действия алгебры k элемента π(x), где π — проекция на второе слагаемоев разложении g = h + k.Поскольку база расслоения стягиваема, расслоение является тривиальным.Рассмотрим теперь нерегулярные орбиты. Если hx, e0 i = 0, то проекцияx на h∗ ненулевая, структура орбит аналогична случаю полупрямой суммы скоммутативным идеалом.

Равенство hx, e0 i = 0 выполняется для всех элементов орбиты x, поскольку Adg e0 = e0 для любого g. Рассмотрим проекциюg → g/z и соответсвующее вложение σ : (g/z)∗ → g∗ . Орбита элемента x целиком лежит в образе σ и совпадает с орбитой элемента y ∈ (g/z)∗ , для которогоσ(y) = x.Алгебра g/z изоморфна алгебре k +φ V , где φ — симплектическое действиена V , индуцированное соответствующим действием в алгебре g.Двойственное пространство к этой алгебре отождествляется с подпространством Im σ ⊂ g∗ , выделяемым условием hx, e0 i = 0.

То есть описание орбит элементов, для которых hx, e0 i = 0 сводится к описанию орбит в алгебреk +φ V , таким образом мы можем воспользоваться теоремами 1.8 и 1.9.Коприсоединенное действие на орбите элемента x совпадает с коприсоединенным действием на орбитах алгебры k +φ V .Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы1.4.141Симплектическая структура для случая идеала, изоморфного алгебре ГейзенбергаОпишем симплектическую структуру на орбите коприсоединенного действияалгебры Ли рассматриваемого вида.

Удобно описывать ее в точке a такой, чтоha, ei i = 0, ∀i = 1, . . . , 2n. В остальных точках можно получить симплектическую структуру, пользуясь ее G-инвариантностью.Представим двойственное пространство к алгебре Ли g в виде прямой суммы подпространств Annφ (a)∗ и V ∗ .

В касательном пространстве к орбите естественно выделить два подпространство: образ V при отображении ad∗. a и образ Annφ (a) при отображении ad∗. a. Первое совпадает с V ∗ , а второе вложенов Annφ (a)∗ .Ограничение формы Кириллова ω на V ∗ совпадает с симплектической структурой ωV на V , умноженной на ha, e0 i:ω(ad∗ei a, ad∗ej a) = ha, [ei , ej ]i = ωV (ei , ej ) ∗ ha, e0 i.Ограничение формы Кириллова ω на Annφ (a)∗ совпадает с поднятием симплектической структуры с орбиты Annφ (a) с помощью естественной проекции:ω(ad∗ξ a, ad∗η a) = ha, [ξ, η]i,поскольку [ξ, η] ∈ Annφ (a) последнее выражение равноhp(a), [ξ, η]i = ωAnnφ (a) (ad∗ξ p(a), ad∗η (a)),где p : : g∗ → Annφ (a)∗ — проекция.Глава 1.

Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы42Следующая теорема о симплектической структуре на орбитах коприсоединенного действия, показывает, что в случае, если hx, e0 i 6= 0 орбита коприсоединенного действия является прямым произведением двух симплектическихмногообразий.Теорема 1.14. Если алгебра Ли группы G содержит идеал, изоморфныйалгебре Гейзенберга, и x ∈ g∗ такой, что hx, e0 i 6= 0, то симплектическая структура на орбите элемента x коприсоединенного действиягруппы G представляется в виде суммы ω = ωAnn + ωV , то есть согласована со структурой прямого произведения, введенной в теореме 1.13.Доказательство.