Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли, страница 3

Здесь r — алгебра Ли группы Ли R, а ϕ — дифференциал отображения16Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы17Φ. Присоединенное действие G на g задается формулойAd(g,u) (ξ, v) = (Adg ξ, Φ(g)v − Φ(g)φ(ξ)Φ(g −1 )u),где φ — дифференциал действия Φ. Двойственное пространство к g естественным образом отождествляется с r∗ + V ∗ . Тогда для коприсоединенного действия имеемAd∗(g,u) (x, a) = (Ad∗g x + Ag (a, u), Φ∗ (g)a).Здесь Ag (a, u) : V × V ∗ → r∗ обозначает билинейное отображение, определяемое условием hAg (a, u), ξi = hΦ∗ (g)a, φ(ξ)ui.

Для того, чтобы описать вид орбит коприсоединенного представления нам понадобятся некоторые свойстваотображения A.Замечание 1.1.Ag (a, v) = Ae (Φ∗ (g)a, v),где e — единица группы.Далее мы будем изучать образ отображения Ag (a, v) при фиксированномa. Предыдущее замечание показывает, что этот вопрос сводится к описаниюобраза отображения Ae (a0 , v). Обозначим для краткости A(a, v) = Ae (a, v).Лемма 1.1. Образ отображения A(a0 , v) при фиксированном a0 совпадает с ортогональным дополнением к аннулятору элемента a0 в смыслепредставления φ∗ .Доказательство. Проверим включениеIm A(a0 , v) ⊆ (Ann a0 )⊥ .Глава 1.

Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы18Пусть ξ ∈ Ann a0 . Тогдаhξ, A(a0 , v)i = h−φ∗ (ξ)a0 , vi = 0.Для того, чтобы показать, что образ оператора A(a0 , v) в точности совпадает сортогональным дополнением к аннулятору найдем размерность образа. Суммаразмерностей dim Im A + dim Ker A равна dim V . В ядре оператора A лежаттакие элементы u ∈ V , что для любого ξ ∈ g выполняетсяhu, φ∗ (ξ)a0 i = 0.φ∗ (ξ)a0 при ξ ∈ g заметает в точности касательное пространство к орбите элемента a0 при действии Φ∗ , а значит ядром A является ортогональное дополнение к этому пространству и dim KerA = codim O(a0 ), но коразмерность орбиты действия Φ равна размерности аннулятора.

Отсюда размерность образаA(a0 , v) совпадает с размерностью орбиты элемента a0 при действии Φ∗ :dim ImA = dim V − dim Ker A = dim V − codim O(a0 ) = dim O(a0 ).Для того, чтобы доказать утверждение леммы осталось записать утверждениео сумме размерностей ядра и образа для представления Φ∗ :dim g = dim ImΦ∗ + dim KerΦ∗ = dim O(a0 ) + dim Ann(a0 ).Из последнего равенства следует, что размерность орбиты dim O(a0 ) (а значит и размерность образа оператора A(u, v)) равна коразмерности аннулятораэлемента a0 , то есть совпадает с размерностью его ортогонального дополнения.Включение A(a0 , v) ⊆ Annφ (a0 )⊥ и равенство размерностей этих пространствдоказывает лемму.Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы19Замечание 1.2.

Доказанная лемма уже позволяет нам описать орбиты элементов вида (0, a). Ответом будет множество вида (x, b), где bпринадлежит орбите элемента a при действии Φ∗ , а x ∈ Annb⊥ . Этоутверждение легко получается из леммы 1.1 и того факта, что дляэлемента x ∈ (Annb)⊥ элемент Ad∗g x ∈ (AnnΦ∗ (g)b)⊥ .Rawnsley рассматривает расслоение p над орбитой действия Φ∗ в V ∗ , слоемp−1 (a) которого является орбита коприсоединенного действия группы Annφ (a)и доказывает (предложение 3.1 в [4]), что имеет место биекция между расслоениями такого вида и орбитами коприсоединенного действия в g∗ .Для того, чтобы упростить дальнейшее обобщение результатов мы опишемнемного другую конструкцию.

Рассмотрим проекцию π : g∗ → V ∗ . Эта проекция превращает орбиту коприсоединенного действия элемента x ∈ g в локально тривиальное расслоение, базой которого является орбита π(a) ∈ V ∗при действии Φ∗ . Чтобы задать локальную тривиализацию в окрестности точки a достаточно выбрать в группе G в окрестности единицы подмногообразиеQ, трансверсальное St(a). Отображение g → Ad∗g (a), g ∈ Q задает изоморфизм Q с некоторой окрестностью точки a, Это подмногообразие изоморфноокрестности точки a. Этот изоморфизм продолжается до локальной тривиализации.Перейдем теперь к описанию слоя этого расслоения.

Зафиксируем точкуa0 ∈ V ∗ . Рассмотрим стабилизатор действия Φ∗ . Слоем π −1 (a) будет орбита точки (x, a0 ) при действии этого стабилизатора. Вложение Annφ (a0 ) ⊂ rопределяет отображение p : r∗ → Annφ (a0 )∗ .Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы20Лемма 1.1 показывает, что p ◦ Ad∗u = p для всех u ∈ V . Это означает, чтопроекция p орбиты коприсоединенного действия элемента совпадает с орбитой коприсоединенного действия Annφ∗ (a) на Annφ∗ (a)∗ . Таким образом слойp−1 (a) в свою очередь является расслоением, базой которого является орбитакоприсоединенного действия Annφ (a), а слоем — Annφ (a)⊥ , линейное пространство, размерность которого равна размерности орбиты Φ.Таким образом получаем теорему, описывающую структуру орбит.

Приводимая формулировка несколько отличается от формулировки теоремы у Baguis,это сделано для того, чтобы упростить дальнейшее обобщение результата.Теорема 1.1 (Rawnsley). Пусть алгебра Ли g — полупрямая сумма алгебры Ли r с коммутативным идеалом V по представлению φ. Тогда орбита коприсоединенного действия является расслоением EV , база которого — орбита OΦ действия Φ∗ на V , а слой p−1 (a) является расслоениемEa . База расслоения Ea — орбита коприсоединенного действия Annφ (a)в Annφ (a)∗ , а слой является n-мерным векторным пространством, гдеn = dim OΦ . Слой расслоения Ea вложен в g∗ как Annφ (a)⊥ .Замечание 1.3.

Из теоремы 1.1 легко получить теорему Раиса об индексе полупрямой суммы.Индексом представления φ мы будем называть коразмерность орбиты общего положения для действия группы, соответствующего этому представлению.Теорема 1.2 (Rais, [21]). Пусть алгебра Ли g — полупрямая сумма алгебры Ли r с коммутативным идеалом V по представлению φ. Тогда ин-Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы21декс алгебры g равен сумме ind φ∗ + ind Annφ (a), где φ∗ — представление,двойственное к φ, а a — регулярный элемент в V ∗ в смысле действия φ∗(то есть орбита a имеет максимально возможную размерность).Доказательство. Рассмотрим орбиту общего положения.

Ее размерностьравнаdim OΦ + dim OAnnφ (a) + dim Ann(a)⊥ .φПоскольку dim g = dim Annφ (a)∗ + dim Annφ (a) ⊥ мы получаем для индексаg выражение ind g = ind φ∗ + ind Annφ (a).Отметим еще один важный частный случай. Если проекция p(x, a) элемента (x, a) ∈ r∗ +V ∗ на Annφ (a)∗ такова, что орбита p(x, a) тривиальна, то орбитаэлемента (x, a) диффеоморфна кокасательному расслоению к орбите элемента a при действии Φ.1.1Симплектическая структураТеорема 1.3. Пусть алгебра Ли g представима в виде полупрямой суммы алгебры r с коммутативным идеалом V по представлению Φ. Тогдаорбита элемента (0, a) ∈ r∗ + V ∗ симплектоморфна кокасательномурасслоению к орбите элемента a при действии Φ∗ .Доказательство.

Симплектоморфизм легко предъявляется явно. Кокасательное пространство к орбите O(a) ⊂ V ∗ в точке a можно отождествить сфакторпространством V /Ta (O(a))⊥ . Поскольку ядро отображения A(., a) равно Ta (O(a))⊥ (см. доказательство леммы 1.1) это отображение корректно опре-Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы22делено на кокасательном пространстве к орбите. Рассмотрим отображениеt : T ∗ O(∗a) → g∗ переводящее (q, p) → (A(q, p), q) ∈ r∗ + V ∗ . Проверим, чтопостроенное отображение является симлектоморфизмом.

Образом вектора dpпри таком отображении будет (A(dp, x), 0) = ad∗(0,dp) (A(q, p), q), образом вектора dq — (A(dq, p), dq) = ad∗(ξ,φ(ξ)p) (A(q, p), q), где φ∗ (ξ)q = dq. Последнееравенство проверяется непосредственно:had∗(ξ,φ(ξ)p) (A(q, p), q), (η, u)i = h(A(q, p), q), [(ξ, φ(ξ)p), (η, u)]i =h(A(q, p), q), ([ξ, η], φ(ξ)u−φ(η)φ(ξ)pi = hA(p, q), [ξ, η]i+hq, φξu−φ(η)φ(ξ)pi.(1.1)Пользуясь определением A(q, p) получаемhA(p, q), [ξ, η]i+hq, φ(ξ)u−φ(η)φ(ξ)pi = hq, φ([ξ, η])pi+hq, φ(ξ)u−φ(η)φ(ξ)pi =hq, φ(ξ)φ(η)pi + hq, φ(ξ)ui = hdq, φ(η)pi + hdq, ui = h(A(dq, p), dqi, (η, u)).(1.2)Из полученного представления получаем, чтоω(dp1 , dp2 ) = h(A(q, p), q), [(0, p1 ), (0, p2 )]i = 0,ω(dq1 , dq2 ) = h(A(q, p), q), [(ξ1 , φ(ξ1 )p)), (ξ2 , φ(ξ2 )p)]i == h(A(q, p), q), ([ξ1 , ξ2 ], φ(ξ2 )φ(ξ1 )p − φ(ξ1 )φ(ξ2 )p)i = 0,ω(dp, dq) = h(A(q, p), q), [(0, dp), (ξ, φ(ξ)p)]i = h(A(q, p), q), (0, φ(ξ)dp)i = hdq, dpi.Таким образом, подняв форму Кириллова с орбиты коприсоединенного действия на кокасательное расслоение к орбите действия Φ с помощью отображения t∗ мы получаем каноническую симплектическую структуру.Глава 1.

Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы23Можно обобщить предыдущую теорему следующим образом:Теорема 1.4 ([4], Proposition 5.1). Пусть алгебра Ли g представима в виде полупрямой суммы алгебры r с коммутативным идеалом V по представлению Φ. Обозначим через y проекцию элемента (x, a) на Annφ (a)∗ .Если орбита коприсоединенного действия элемента O(y) ⊂ Annφ (a)тривиальна, то орбита элемента (x, a) симплектоморфна кокасательному расслоению к орбите элемента a при действии Φ∗ с “подкрученной” симплектической структурой ω = ω0 + π ∗ ω1 , где ω0 — каноническая симплектическая структура кокасательного расслоения, а ω1 —некоторая замкнутая (возможно вырожденная) 2-форма на орбитеэлемента a в V ∗ .Доказательство.