Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли, страница 5

Так как I — идеал, он является инвариантным подпространством для присоединенного действия группы Ли G. Следовательно мы можем рассмотретьограничение присоединенного действия группы на это подпространствоAd|I : G → GL(I).Рассмотрим также действие группы G на I ∗ , двойственное к Ad|I и обозначимего Φ:hu, Φ(g)xi = hAdg−1 u, xi, ∀u ∈ I, x ∈ I ∗ .Справедлива следующая леммаГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы30Лемма 1.2. Пусть g — алгебра Ли, I ⊂ g — идеал. Тогда ограничениепроекции p : g∗ → I ∗ на орбиту O(x) коприсоединенного действия группы G является локально тривиальным расслоением над образом этойорбиты p(O(x)). При этом p(O(x)) является орбитой действия Φ.Доказательство. Проекция p, коприсоединенное действие G на g∗ и действие Φ связаны соотношениемp ◦ Ad∗g = Φ(g) ◦ p.Этот факт следует из определения Φ: значение hp(Ad∗g x), ui, x ∈ g, u ∈ I поопределению проекции равно hAd∗g x, ui, а для последнего выражения справедливо hAd∗g x, ui = hx, Adg−1 ui.

Поскольку Adg−1 u ∈ I мы можем заменить x егопроекцией p(x), получаяhp(Ad∗g x), ui = hx, Adg−1 ui = hp(x), Adg−1 ui = hΦ(g)p(x), ui, ∀x ∈ g∗ , u ∈ I.Из этого следует, что проекция p(O(x)) совпадает с орбитой действия Φ элемента p(x).Зафиксируем элемент a ∈ p(O(x)). Рассмотрим его стабилизатор в смысле действия Φ: St(a) = {g ∈ G|Φ(g)a = a}. Выберем в окрестности единицыгруппы G подмногообразие M , трансверсальное к St(a).

Пусть Ue — достаточно малая окрестность единицы в M , диффеоморфная диску. Тогда образотображения q : Ue → p(O(x)), определяемого равенством q(h) = Φ(h)a, является диффеоморфной диску окрестностью Ua ⊂ p(O(x)) точки a, и q задаетдиффеоморфизм между Ua и Ue .Тривиализация расслоения f : p−1 (Ua ) → Ua × p−1 (a) задается формулойf (x) = (p(x), Ad∗h−1 x),Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы31где h = q −1 (p(x)) ∈ M .Пусть p(x) = a. Тогда слоем p−1 (a) расслоения, описанного в теореме, будет орбита элемента x при действии группы St(a).Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда идеал I коммутативен. Это,в частности, означает, что φ(u) = 0, ∀u ∈ I.

Обозначим через K нормальнуюподгруппу, соответствующую идеалу I. Φ(h) = id, ∀h ∈ K, следовательноможно корректно определить действие Φ1 : G/K → GL(I ∗ ) и проекция орбиты на I ∗ является орбитой этого действия.Рассмотрим слой p−1 (a). Пусть p(x) = a. Тогда слоем p−1 (a) расслоения,описанного в теореме, будет орбита элемента x при действии группы St(a).Эта группа заведомо содержит подгруппу K, следовательно для любой точкиx ∈ p−1 (a) можно выделить естественное подмногообразие в p−1 (a), являющееся образом x при действии K.

Обозначим это подмногообразие OK (x).Обозначим через Ann(a) подалгебру, соответствующую подгруппе St(a), т.е.Ann(a) = {ξ ∈ g|φ(ξ)a = 0}. В двойственном пространстве к g есть естественное подпространство, являющееся ортогональным дополнением к Ann(a):Ann(a)⊥ = {x ∈ g∗ |hx, ξi = 0∀ξ ∈ Ann(a)}.Утверждение 1.2. OK (x) является аффинной плоскостью, параллельнойортогональному дополнению к Ann(a).Доказательство. Рассмотрим касательное пространство к OK (x) в точке x.Оно натянуто на векторы вида ad∗u x, u ∈ I. Покажем, что касательное про-Глава 1.

Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы32странство совпадает с Ann(a)⊥ . Пусть ξ ∈ Ann(a). Тогдаhξ, ad∗u xig = −hadu ξ, xig = hadξ u, aiI = −hu, φ(ξ)aiI = 0Переход от спаривания в g к спариванию в I возможен потому, что adu ξ ∈ I,последнее равенство следует из того, что ξ ∈ Ann(a). Мы доказали включениеTx OK (x) ⊆ Ann(a)⊥ . Для того чтобы доказать совпадение этих пространстврассмотрим их размерности. Ядро отображения ad∗. x : I → g∗ определяетсяусловием had∗u x, ξi = −had∗ξ x, ui = −hφ(ξ)x, ui = 0 ∀ξ ∈ g. Поскольку φ(ξ)xпри ξ ∈ g заметает касательное пространство к орбите действия Φ размерность ядра отображения ad∗.

x равна коразмерности орбиты действия Φ в I.Это значит, что размерность образа равна размерности орбиты Φ. Но размерность ортогонального дополнения к стабилизатору также равна размерностиорбиты, что доказывает равенство Tx OK (x) ⊆ Ann(a)⊥ .Мы получили, что распределение, задаваемое касательными плоскостями корбите действия K состоит из плоскостей, параллельных Ann(a)⊥ . Это означает, что сами орбиты действия K совпадают с этими плоскостями.Зафиксировав в g∗ подпространство P трансверсальное к Ann(a)⊥ мы можем представить слой p−1 (a) в виде прямого произведения Ann(a)⊥ ×OAnn , гдеOAnn — проекция орбиты на P вдоль Ann(a)⊥ . При этом образ OAnn при естественной проекции π : p−1 (a) → Ann(a)∗ совпадает с орбитой элемента π(x)при коприсоединенном действии St(a) на Ann(a)∗ . Этот факт следует из того,что проекция π коммутирует с коприсоединенным действием Ann(a).

Доказательство полностью повторяет доказательсво аналогичного факта для проекии p.Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы33Следует заметить, что представление орбиты в виде прямого произведенияне является каноническим, а зависит от выбора подпространства P , в частности, если пространство R не является Ad-инвариантным, эта структура прямого произведения не согласована с коприсоединенным действием группы G.Суммируя сказанное получаем теоремуТеорема 1.8. Пусть алгебра Ли g содержит коммутативный идеал I.Тогда орбита элемента x при коприсоединенном действия соответствующей группы Ли является локально тривиальным расслоением. База расслоения — орбита OΦ (p(x)) ⊂ I ∗ элемента p(x) при действии Φ,а слой над точкой a является прямым произведением орбиты коприсоединенного действия элемента π(x) в Ann(a)∗ и линейного пространства V , причем dim V = dim OΦ .В случае, если проекция элемента x на I ∗ равна 0.

Предыдущая теоремастановится тривиальной: размерность орбиты p(x) ∈ I ∗ равна 0, то есть всяорбита представляется в виде расслоения надо точкой. Для того, чтобы описать орбиту такого элемента рассмотрим следующую конструкцию. Проекцияg → g/I определяет вложение σ : (g/I)∗ ⊂ g∗ . Образ этого вложения описывается условием проекция x на I ∗ равна 0, то есть орбита элемента x лежит вобразе этого вложения.Справедливо следующее утверждениеТеорема 1.9.

Если проекция элемента x на I ∗ тривиальна, то существует такой элемент y ∈ (g/I)∗ такой что σ(y) = x и орбита элемента xявляется образом орбиты O(y) ⊂ (g/I)∗ элемента y при вложении σ.Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы34Доказательство. Утверждение следует из того, что коприсоединенное действие группы G на образе вложения σ совпадает с коприсоединенным действием G/I на (g/I)∗ .

Достаточно проверить, что для всех v ∈ I ad∗v x = 0:had∗v x, ai = −hx, adv ai = 0,поскольку adv a ∈ I, а проекция x на I ∗ равна 0 по условию.Заметим, что в случае, если действие Φ на I ∗ тривиально, то есть I лежит вцентре алгебры Ли g, аннулятор совпадает со всей алгеброй Ли. В этом случаеописанная конструкция не позволяет уменьшить размерность рассматриваемой алгебры.1.3.1Симплектическая структура для случая коммутативного идеалаВ отличие от полупрямой суммы, для которой можно было выбрать для любой точки a ∈ V ∗ элемент (0, a), орбита которого изоморфна кокасательномурасслоению орбиты элемента a при действии Φ в случае коммутативного идеала такой выделенной орбиты может не быть. Поэтому глобально разложения,описанного в теореме 1.5 вообще говоря нет.Аналогичное разложение можно было бы проделать задать локально, но ив этом случае кроме двух слагаемых в теореме 1.5 добавится еще одно, возникающее из-за того, что идеал не выделяется в виде полупрямого слагаемого.В отличие от полупрямой суммы база расслоения EI не вкладывается канонически в g.

Зафиксируем для удобства подпространство r, трансверсальноеI. Теперь можно считать, что I ∗ отождествлено с r⊥ . В дальнейшем мы не будем это специально оговаривать.Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы35Для пары векторов вида y = ad∗(ξ,u) (x, a) и z = ad∗(η,v) (x, a) значение формыКириллова будет равноω(y, z) = h([ξ, η]1 , φ(ξ)v − φ(η)u + [ξ, η]2 ), (x, a)i =h[ξ, η]1 , xi + hφ(ξ)v − φ(η)u, ai + h[ξ, η]2 ), ai. (1.3)Здесь [ξ, η]1 — проекция коммутатора [ξ, η] на r, а [ξ, η]2 — проекция коммутатора на I. Первые два слагаемых соответствуют форме на M и форме на кокасательном расслоении (если их соответствующим образом определить локально), а третье слагаемое дает новую по сравнению с теоремой 1.5 добавку.Нам будут важны еще два факта о симплектической структуре на орбитекоприсоединенного действия.

Первое утверждение описывает симплектическую структуру в слое.Теорема 1.10. Пусть точка a ∈ I ∗ фиксирована. Рассмотрим слой Ea наэтой точкой. Рассмотрим естественную проекцию p : Ea → Annφ (a)∗ .Тогда ограничение формы Кириллова на Ea ω1 = ω|Ea связано с формойКириллова ωAnn на орбите в Annφ (a)∗ соотношением ω1 = p∗ (ωAnn ).Доказательство. Слой Ea совпадает с орбитой действия Annφ (a).