Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли, страница 9

00.=X ..0a 0...0a0.. .,00X ∈ so(n − 1).(2.23)Инвариантами в этом случае будут a2 и a2 trX k . Среди функций a2 trX k найдется ind so(n − 1) независимых между собой функций, которые вместе с первыминвариантом обеспечат ind(so − 1) + 1 = ind so(n) +ϕ Rn . Для большего числаслагаемых в полупрямой сумме нужно рассмотреть ограничение на подпространство видаГлава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых суммM(X,a),k 0= 0 1a1 . . . a1k...ak1 . .

. akka110X058ak1.. . . . .. ..akk a1kik0  , X ∈ so(n − k), a ∈ R0 (2.24)Инвариантами будут всевозможные попарные произведения (ai , aj ) и следы степеней матрицы X. Ясно, что из этого набора можно выбрать нужноеk(k+1)количество ind so(n − k) + 2независимых инвариантов. В случае, если k > n достаточное число независимых инвариантов можно выбирать изпопарных произведений векторов ai .Выпишем в явном виде несколько инвариантов so(n) +ϕ Rn :I0 = (a, a),I2 = 2(a, X 2 a) − trX 2 (a, a)I4 = 4(a, X 4 a) − 2trX 2 (a, X 2 a) + (trX 2 )2 (a, a) − trX 4 (a, a).2.2.2Орбиты для алгебры Ли so(n) + RnТеорема 2.3.

Орбиты в so(n) + Rn бывают следующих топологическихтипов:Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм591. Регулярная орбита — расслоение над T ∗ S n−1 со слоем K, где K —регулярная орбита в so(n − 1).2. Сингулярная орбита первого типа — расслоение над T ∗ S n−1 со слоем K, где K — сингулярная орбита в so(n − 1).3. Сингулярная орбита второго типа — орбита в so(n) (регулярнаяили сингулярная).Доказательство. По сути эта теорема – применение результатов первой главы к алгебре so(n) + Rn .

Поскольку аннулятором для ненулевого элемента вRn является полупростая алгебра so(n − 1) любое действие соответствующейгруппы вполне приводимо. Поэтому слой Ea в теореме 1.8 каноническим образом представляется в виде прямого произведения произведение базы расслоения (орбиты в двойственном пространстве к so(n − 1)) на слой (евклидовопространство размерности n).Это позволяет заменить в описании орбиты базу расслоения на T ∗ S n−1 , аслой – на орбиту в so(n). В регулярном случае эта орбита будет регулярной.Для регулярной орбиты расслоение K не является тривиальным ни для каких n кроме n = 2, 4, 8. Тривиальность расслоения для n = 2, 4, 8 следует изпараллелизуемости сфер S 1 , S 3 и S 7 .

Отдельно можно выделить случай n = 3,здесь аннулятор регулярного элемента коммутативен и орбитой является кокасательное роасслоение к сфере (с подкрученной симплектической структурой).Для всех остальных размерностей расслоение будет нетривиальным, поскольку тривиализация этих расслоения эквивалентна параллелизуемости ка-Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм60сательного расслоения сфер соответствующей размерности.Канонический представитель для каждой орбиты – элемент вида 0 λ1 . .

. . . . . . . . . . 0−λ1 0 . . . . . . . . . . . . 0 000λ...02, 00 −λ2 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 ........... 0 aв регулярном случае все λi различны. В случае сингулярной орбиты первоготипа некоторые значения имеют кратность больше 2. Канонический представитель для каждой орбиты — элемент вида0...............In1 (λ1 ) 0In2 (λ2 ) . .

. . . . . . . . . . . . .... 00 0. . . . . . . . . . . . 0 Ink (λk )0...............000,0aГлава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых суммгде Ik (λ) — блок 2k × 2k вида61λ0−λ...−λ... λ0Орбиты характеризуются набором кратностей собственных значений n1 , . . . , nk ,Pпричем k nk = n − 1 и не более чем одна из них (отвечающая нулевому собственному значению) нечетна.

Аннулятор такой орбиты – прямая суммаR+XSO(nk ).kPРазмерность аннулятора равна 1+ kP nknk (nk −1),аиндексравен1+k 22= [ n+12 ].Сингулярные орбиты второго типа являются орбитами в SO(n). Канонический представитель для каждой орбиты — элемент вида0. .

. . . . . . . . . . . . . 0In1 (λ1 ) 0I(λ)...............0n2 2,... 000. . . . . . . . . . . . 0 Ink (λk ) 0Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых суммгде Ik (λ) — блок 2k × 2k вида62λ0−λ...−λ... λ0Орбиты характеризуются набором кратностей собственных значений n1 , .

. . , nk ,Pпричем k nk = n и не более чем одна из них (отвечающая нулевому собственному значению) нечетна. Аннулятор такой орбиты – прямая суммаXSO(nk ) + Rnk .kРазмерность аннулятора равнаPknk (nk +1),2индекс равенPk[nk +12 ]=n+12 .Утверждение 2.1. Для любого элемента a ∈ so(n) + Rn выполняется равенство indAnn(a) = ind(so(n) + Rn ).2.2.3Инварианты для алгебры Ли sp(n) +ϕk (R2n )kКак и в предыдущем случае, среди инвариантов, которые дает теорема 2.2,многие обращаются в 0. Покажем, что среди них найдется нужное число линейно независимых. Индекс алгебре снова находится по теореме Раиса 1.2.В этом случае ответ зависит от четности k.

Для четных k инвариантамипредставления ϕ∗ являются всевозможные косые произведения ω(ai , aj ), i 6= j.Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм63Аннулятором регулярного элемента будет sp(n − k), таким образомind sp(n) +ϕk (R2n )k =k(k − 1)+ n − k, если k = 2l.2Для нечетного k количество инвариантов представления ϕ∗ по-прежнему равноk(k−1)2 ,но аннулятор регулярного элемента имеет вид полупрямой суммыsp(n − k) с алгеброй Гейзенберга h2(n−k) . Индекс этой алгебры равен n − k + 1,откудаind sp(n) +ϕk (R2n )k =k(k − 1)+ n − k + 1, если k = 2l − 1.2Будем считать, что мы работаем в координатах,кососимметри в которых0 −1, расположенных на1 0главной диагонали. Для случая sp(n) +φ R2n рассмотрим ограничение инвари-ческая форма составлена из матриц 2 × 2 вида антов на подпространство с координатами0 0 0...0 a1 0 0 .

. . 0 0 0 00M(X,a) = ,. .. .... X. .0 000 a 0...0 0X ∈ sp(n − 1).(2.25)Инвариантами так же как и в случае so(n) + Rn будут следы степеней trX kи a2 . Ясно, что среди trX k найдется n − 1 = ind sp(n − 1) независимых инвариантов.Для полупрямой суммы с четным числом слагаемых можно рассмотретьГлава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых суммподпространство с координатамиM(X,a),k00= 1a1 .

. . a12k...ak1 . . . ak2k0X064∗ 0  , X ∈ sp(n − k), ai ∈ Rk0 (2.26)Звездочка означает результат применения матрицы Λij . Здесь нужное числоинвариантов набирается из n − k инвариантов на sp(n − k) и 2k 2 − k попарныхкосых произведений ω(ai , aj ).В случае с нечетным числом слагаемых (2k − 1) будем считать, что ai2k = 0(при этом в части, обозначенной звездочкой, нули будут в 2k − 1 строке), аX будем блочно-диагональной матрицей, первый блок у которой име считатьет вид 0 −1. Инвариантами будут trX i (среди них можно выбрать n − k1 0Pнезависимых), i (ai2k−1 )2 и попарные косые произведения ω(ai , aj ), i 6= j.Явные вычисления дают следующие выражения для инвариантов:I1 = ω(a, aX),I3 = 2ω(a, aX 3 ) − ω(a, aX)trX 2 ,I5 = 4ω(a, aX 5 ) − 2ω(a, aX 3 )trX 2 + ω(a, aX)((trX 2 )2 − trX 4 ).Глава 2.

Инварианты и орбиты для полупрямых сумм2.2.465Орбиты для алгебры Ли sp(n) +ϕ R2nТеорема 2.4. Орбиты коприсоединенного действия для алгебры Ли вида sp(n) +ϕ R2n бывают следующих топологических типов:1. регулярная орбита имеет вид расслоения над T ∗ (R2n \0) слой которого является прямым произведением R2n−2 ⊗ K, где K — регулярная орбита в sp(n − 1).2. Сингулярная первого типа имеет вид расслоения над T ∗ (R2n \0) слойкоторого является прямым произведением R2n−2 ⊗ K, где K — сингулярная орбита в sp(n − 1).3. Сингулярная орбита первого типа — расслоение над T ∗ (R2n \0) сослоем Q, где Q — орбита (возможно сингулярная) коприсоединенного действия алгебры sp(n − 1) +φ R2n−2 .4.

Сингулярная орбита второго типа – орбита коприсоединенногодействия алгебры Ли sp(n).Доказательство. Доказательство теоремы следует из 1.8. Поскольку орбитой элемента в R2n является все пространство кроме точки 0, орбита расслоения является расслоением над T ∗ (R2n ), слой которого является орбитой вAnn(a). Аннулятором регулярного элемента является полупрямая сумма с алгеброй Гейзенберга sp(n − 1) +ρ h2n−2 , где h2n−2 — идеал, изоморфный алгебреГейзенберга и сумма берется по симплектическому действию sp(n − 1) на пространстве h2n−2 .Глава 2.

Инварианты и орбиты для полупрямых сумм66Орбита коприсоединенного действия для такой алгебры Ли описываетсятеоремой 1.13, регулярная орбита представляет собой прямую сумму R2n−2 иорбиты в sp(n − 1).Сингулярные орбиты описываются теоремой 1.92.2.5Инварианты для алгебры sl(n) +ϕk (Rn )kИндекс алгебры Ли можно найти по теореме Раиса 1.2. Рассмотрим для начала более простой случай sl(n) +ϕ Rn . В тривиальном случае n = 1 индексэтой алгебры равен 1. При n > 1 индекс представления ϕ∗ равен 0, а значитind sl(n) +ϕ Rn = ind Annϕ (a).Аннулятор элемента общего положения изоморфен sl(n − 1) +ϕ Rn−1 .

Проведя те же рассуждения получим, чтоind sl(n) +ϕ Rn = ind sl(n − 1) +ϕ Rn−1 = · · · = ind sl(1) +ϕ R = 1.(2.27)Для нескольких слагаемых в полупрямой сумме ситуация аналогична. Тривиальными случаями здесь будут случаи n ≤ k. В этом случае аннулятор элемента общего положения тривиален, а индекс представления равен разностиdim(Rn )k − dim sl(n).Если n > k, то индекс представления ϕ∗ равен нулю и аннулятор изоморфенsl(n−k)+ϕ (Rn−k )k . Таким образом по индукции можно прийти к случаю k ≥ n.Окончательно получаем следующий ответ:ind sl(n) +ϕk (Rn )k = kr − r2 + 1, где r — остаток от деления n на kДля того, чтобы описать инварианты для алгебры sl(n) +ϕk (Rn )k нужнонайти явный вид Ad∗ для этой алгебры Ли.

Как и в предыдущих случаях будемГлава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм67считать, что группа SL(n) +ϕ (Rn )k вложена в sl(n + k) следующим образом:Cu1 . . . uk,(2.28)0, . . . , 0C ∈ SL(n), ui ∈ Rn . Коалгебру удобно представить в виде X 0 . . . 0 a1.. . .0ak(2.29)Прямое вычисление показывает, чтоAd∗(C,u) (X, a) = (Ad∗C X + ua − tr(ua)E, aC −1 ).(2.30)Для проверки этой формулы нужно просто убедиться, что матрица λE ортогональна sl(n):hλE, Xi = trλEX = λtrX = 0.(2.31)Теорема 2.5. Единственным инвариантом коприсоединенного действиягруппы SL(n) +φ Rn является определитель матрицы M , составленнойиз строк a, aX, aX 2 , . .

. , aX n−1 , то есть объем параллелепипеда, натянутого на эти векторы.Доказательство. Сначала проверим, что det M не меняется при сопряжении элементом (C, 0). При сопряжении этим элементом элемент коалгебры(X, a) переходит в элемент (CXC −1 , aC −1 ). При этом в матрице M каждаястрока умножается справа на C −1 .