Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли, страница 4

В рассматриваемом случае орбита является расслоениемнад орбитой действия Φ∗ в V ∗ . Рассмотрим произвольное сечение этого расслоения l(q). Тогда можно построить отображение t : T ∗ O → g∗ в орбиту коприсоединенного действия группы g определяемое равенствомt(p, q) = (l(q) + A(q, p), q).Далее можно повторить выкладки, приведенные в доказательстве предыдущего утверждения.

Единственное изменение состоит в том, чтоω(dq1 , dq2 ) = hl(q), [ξ1 , ξ2 ]i.Форма ω1 зависит от выбора l(q), но ее когомологический класс определеноднозначно, поскольку замена сечения с l(q) на l(q) + l1 (q) приводит к заменеформы с ω1 на ω1 + dl1 (здесь сечение l1 (q) интерпретируется как 1-форма вГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы24кокасательном расслоении, с которым орбита отождествляется при помощиt).Выбор другого сечения l(q) соответствует классической конструкции изменения нулевой точки в слое кокасательного расслоения.Перейдем теперь к общему случаю.Мы можем выделить в орбите элемента (x, a) ∈ g∗ естественное подмногообразие M — орбиту этого элемента при действии группы R, соответствующей алгебре r. Симплектическую структуру на M можно ограничить с орбитыкоприсоединенного действия.

Симплектическая структура на орбите коприсоединенного действия элемента (x, a) описывается как сумма симплектическойструктуры на многообразии M и симплектической структуры на кокасательном расслоении к орбите действия Φ. Обозначим σ : G → O(x, a) — естественную проекцию группы G на орбиту, σ1 : G → G/V →→ M — композицию проекции на G/I с проекцией G/I на ее орбиту, а σ2 : G → T ∗ OΦ (a)— композицию коприсоединенного действия группы G на элементе (0, a) исимплектоморфизма, описанного в теореме 1.3.

Тогда справедлива следующаятеорема.Теорема 1.5 ([4], Theorem 4.7). Форма Кириллова ω на орбите коприсоединенного действия элемента (x, a) связана с формами на M и кокасательном расслоении к орбите a при действии Φ соотношениемσ ∗ ω = σ1∗ ωM + σ2∗ ωT ∗ O(0,a) .Доказательство. Справедливость этого утверждения легко проверяется непосредственно. Распишем левую часть для пары векторов a = ad∗(ξ,u) (x, a) иГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы25b = ad∗(η,v) (x, a)ω(a, b) = h([ξ, η], φ(ξ)v − φ(ξ)u), (x, a)i = h[ξ, η], xi + hφ(ξ)v − φ(ξ)u, ai,но слагаемые в последнем выражении совпадают с формами σ1∗ ωM и σ2∗ ωT ∗ O(0,a) .Следует отметить, что рассматриваемое расшепление формы не согласовано со стуктурой расслоения, описанной в теореме 1.1, и зависит от выбораэлемента (x, a).1.2Случай полупрямой суммы g +ad gc.Рассмотрим полупрямую сумму g +ad gc , здесь g — произвольная алгебра Ли,а gc — коммутативная алгебра Ли, размерность которой равна размерности gи действие g на gc совпадает с присоединенным представлением.

Такая конструкция использовалась например в работе [26]. Мы остановимся более подробно на описании структуры орбит и симплектической структуры на орбите.Как известно (см. например [5]) для любой конечномерной алгебры Ли аннулятор регулярного элемента в смысле коприсоединенного представления коммутативен. В соответствие с результатами изложенными выше орбитой общего положения для алгебры g +ad gc будет кокасательное расслоение к орбите коприсоединенного действия алгебры g с подкрученной симплектическойструктурой.В отличие от произвольной полупрямой суммы в рассматриваемом случаедля любого элемента x ∈ (gc )∗ можно задать канонический базис в его анну-Глава 1.

Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы26ляторе в смысле действия g.По всей видимости, теоремы, приводимые ниже в этом параграфе известны, однако нам не удалось найти в литературе их доказательства, поэтому мыприводим все теоремы с доказательством.Утверждение 1.1. Пусть f – инвариант коприсоединенного действияg.

Обозначим через i : (gc )∗ → (g)∗ естественное (“тождественное”)отображение. Тогда для любого a ∈ g∗ имеем df (i(a)) ∈ Ann(a).Доказательство. Утверждение следует из того, что образ орбиты действияg на (gc )∗ при отображении i совпадает с орбитой коприсоединенного действияg. Аннулятор a ∈ (gc )∗ совпадает с аннулятором i(a). Известно, что градиенты инвариантов коприсоединенного действия в точке a лежат в Annφ (a), чтодоказывает утверждение.Поскольку размерность аннулятора равна коразмерности орбиты в (gc )∗ ,фактически предыдущее утверждение показывает, как построить для каждойточки a ∈ (gc )∗ канонический базис в Annφ (a). Наличие такого базиса позволяет в явном виде выписать инварианты коприсоединенного действия дляалгебры g +ad gc .Теорема 1.6.

Пусть fj , j = 1 . . . k = indg – набор инвариантов коприсоединенного действия g. Обозначим через i : (gc )∗ → (g)∗ естественное(“тождественное”) отображение. Рассмотрим точку (x, y) ∈ (g + gc )∗ .Рассмотрим функции fj (i(y)) и gj (x, y) = hx, dfj (i(y))i. Эти функции являются инвариантами коприсоединенного действия алгебры g +ad gc .Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы27Если градиенты dfj независимы в точках x и i(y), то и градиенты dgjнезависимы в точке (x, y).Доказательство.

Покажем, что описанные функции являются инвариантами коприсоединенного действия. Их инвариантность относительно действия gследует из того, что все объекты, участвующие в их определении, инвариантны относительно коприсоединенного действия. При действии элемента из gcполучим Ad∗(e,u) (x, a) = (x + A(u, a), a). Поскольку дифференциал dfj лежит ваннуляторе a, а A(u, a) ∈ Annφ (a)⊥ ,gj (Ad∗(e,u) (x, a)) = hx + A(u, a), dfj (i(a))i = hx, dfj (i(a))i = gj (x, a).В случае полупростой компактной алгебры Ли у инвариантов орбиты естьеще одно естественное представление.

Симплектические структуры различных регулярных орбит коприсоединенного действия для элементов вида (y, x0 )g +ad gc различаются тем, какую 2-форму они индуцируют на орбите в gc (см.теорему 1.4). Между классом этих форм и инвариантами коприсоединенногопредставления вида gi есть взаимно однозначное соответствие.Пусть g — компактная полупростая алгебра Ли. Рассмотрим алгебру g+ad gc .Зафиксируем регулярный элемент a ∈ (gc )∗ и соответсвующую картановскуюподалгебру H = Annφ (a). Отождествляя g и g∗ с помощью формы Киллингаможно считать, что каждому элементу x ∈ H соответствует орбита элемента (x, a) при коприсоединенном действии. Эта орбита является кокасательным расслоением к орбите элемента a ∈ (gc )∗ .

Обозначим орбиту элементаa через O(a). Зафиксируем ее вложение в T ∗ O(a) и рассмотрим ограничениеГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы28формы Кириллова на это нулевое сечение. В зависимости от выбора сечениеформа может меняться, но ее класс когомологий сохраняется. Таким образом мы получаем для каждой орбиты O(x, a) некоторый класс когомологий[ω] ∈ H 2 (O(a)), причем он зависит лишь от проекции x на Картановскую подалгебру.

Обозначим этот класс через h(x).Теорема 1.7. Отображение h — изоморфизм между H и H 2 (O(a), R).Доказательство. Устройство H 2 (O(a), R) для орбиты коприсоединенного действия полупростых групп известно (см. например, [12]). Для орбиты общегоположения (“фактор по максимальному тору”) H 2 (O, R) = Rk , k = ind G. Таким образом для того, чтобы доказать, что h является изоморфизмом, достаточно проверить, что Ker h = 0.Рассмотрим базис Вейля, с Annφ (a) в качестве картановской подалгебры. Для любого элемента x ∈ H существует корень eα ∈ Annφ (a), такой чтоhα, hi =6 0. Рассмотрим подгруппу, состоящую из α и соответствующих корневых векторов Eα , E−α . Орбита элемента a ∈ gc при действии этой подгруппы является компактным многообразием. Форма Кириллова, ограниченная наэту орбиту является ненулевой, на паре векторов ad∗Eα a, ad∗E− α a она принимает значение hx, [Eα , E−α ]i = hx, αi, которое отлично от 0 в силу выбора α.Поскольку форма Ad-инвариантна, ее интеграл по указанной орбите отличенот 0.

Это значит, что форма h(x) не является точной.Замечание 1.4. В случае, если алгебра Ли не компактна, теорема 1.7 неверна: например для алгебры ли sl(2) + sl(2) орбитой коприсоединенного действия элемента (0, a) является гиперболоид, группа вторыхГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы29когомологий которого тривиальна, хотя картановская подалгебра Hодномерна.1.3Случай коммутативного идеалаПерейдем теперь к рассмотрению ситуации, когда идеал не выделяется в качестве полупрямого слагаемого.

Использование той же стратегии позволяетполучить результаты, аналогичные результатам для полупрямых произведений.Пусть g содержит коммутативный идеал I. Этот идеал может, вообще говоря, не выделяться в качестве полупрямого слагаемого, тем не менее можно сформулировать утверждения, аналогичные утверждениям для полупрямойсуммы.Пусть g — алгебра Ли, содержащая идеал I. G — соответствующая группа.