Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли, страница 10

Это означает, что матрица M переходит вM C −1 , но det M C −1 = det M det C −1 = det M .Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм68Теперь рассмотрим, что происходит при сопряжении элементом (0, u). Ковектор (X, a) при этом переходит в (X + va − tr(va)E). Посмотрим, как приэтом изменяется матрица M . Первая строка матрицы остается неизменной.Вторая строка имеет вид a(X + va − tr(va)E).

Удобно записать это выражение, используя тензорные обозначения:ai (Xji + v i aj − n ∗ v i ai δji ) = ai Xji + ai v i aj − v i ai aj = ai Xji ,(2.32)то есть ко второй строке матрицы прибавляется первая с некоторым коэффициентом, что не меняет определителя матрицы.Далее не трудно по индукции проверить, что в k-ой строке матрицы M будет стоять линейная комбинация первых k строк предыдущей матрицы (приэтом k-ая строка исходной матрицы входит в эту линейную комбинацию с коэффициентом 1).a(X + va − tr(va)E)k = a(X + va − tr(va)E)k−1 (X + va − tr(va)E).

(2.33)Пользуясь предположением индукции, получаем, чтоa(X + va − tr(va)E)k−1 = aX k−1 + b,где b – линейная комбинация первых k − 2 строк. Отсюдаa(X + va − tr(va)E)k = (aX k−1 + b)(X + va − tr(va)E) = aX k + c, (2.34)где c – линейная комбинация первых k −1 строк исходной матрицы. Это означает, что определитель матрицы не меняется.Этот инвариант нетривиален, поскольку для матрицы и вектора общего положения векторы a, aX, . . . , aX n линейно независимы.Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм69Теорема 2.6. Пусть n = kd + r, r < k.

Тогда для группы SL(n) +ϕ (Rn )k инвариантами коприсоединенного представления будут определителиматриц Mi1 ...ir , составленных из следующих строк: a1 , . . . , ak , a1 X, . . . ak X,. . . , a1 X d−1 , . . . ak X d−1 и r строк вида air X d . Эти инварианты не будутнезависимы, но из них можно выбрать полный набор независимых инвариантов.Доказательство.

Доказательство полностью повторяет доказательство дляслучая SL(n) + Rn . При действии элемента вида (C, 0) матрица Mi1 ...ir умножается справа на C −1 , что не меняет ее определителя.При действии элемента вида (0, u) строки вида ai X q заменяются на строPки ai X q + . . . , где под суммой стоит линейная комбинация векторов ak X s ,0 ≤ s < q. Такая замена не меняет определителя матрицы.Для того чтобы показать, что среди этих инвариантов можно выбрать нужное число независимых, рассмотрим невырожденную диагональную матрицуX с собственными значениями λ1 , .

. . , λn . И последние r из них равны 1. Выберем векторы ai так, чтобы у каждого из них из первые kd координат были нулевыми, за исключением d единиц (у a1 это будут первые d координат,у a2 – вторые d и т.д. Оставшиеся r координат мы выбираем произвольно. Вэтом случае матрица M будет иметь блочно-диагональный вид. Рассмотримk “укороченных” векторов, составленных из последних r координат. Описанные инварианты можно трактовать как объем параллелепипеда, натянутогона первые r “укороченных” векторов и коэффициенты разложения остальных“укороченных” векторов по этому базису, которые, очевидно, независимы.Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм2.2.670Орбиты для алгебры sl(n) +ϕk (Rn )kТеорема 2.7. Орбиты в sl(n) +φ Rn бывают следующих топологическихтипов:1. Регулярная орбита — рассслоение, база которого T ∗ (Rn \0), а слойявляется аналогичным расслоением для n − 1, последним в этой цепочке является пространство T ∗ (R2 ).2. Сингулярная орбита — аналогичное расслоение, но последней в цепочке является некоторая орбита sl(l), являющаяся слоем расслоения с базой T ∗ (Rl+1 \0).Доказательство.

Доказательство теоремы следует из теоремы 1.8. Для n > 1орбитой ненулевого элемента x ∈ Rn при действии индуцированном присоединенным действием группы будет пространство Rn \0. Аннулятором x будеталгебра Ли, изоморфная sl(n − 1) + Rn−1 . В sl(n) существует коммутативнаяподалгебра, трансверсальная Ann(a), поэтому ограничение формы Кириллова на Rn \0 тривиально.Сингулярной орбита становится если на одном из шагов орбита проекцияэлемента на очередной аннулятор такова, что, проекция на коммутативныйидеал этого аннулятора равна нулю. В этом случае аннулятором элемента наочередном шаге становится не sl(k − 1) + Rk , а sl(k), что добавляет соответствующее прямое слагаемое в описании топологии орбиты.Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм71Указанные расслоения в общем случае не являются прямыми произведениями, поскольку их тривиализация задавала бы параллелизацию сфер S k−1 .Глава 3Бигамильтоновы структуры на алгебрахЛиПусть g — комплексная алгебра Ли.

Для функций, определенных на двойственном пространстве g∗ определена скобка, называемая скобкой Пуассона–Ли. Дифференциалы функций f, g ∈ C ∞ (g∗ ) в данной точке x ∈ g∗ естественным образом отождествляются с элементами g, соответственно определенаскобка{f, g}(x) = hx, [df (x), dg(x)]i.Функциями Казимира для скобки Пуассона–Ли являются инварианты коприсоединенного представления алгебры Ли g. Это позволяет надеяться на то, чтоизучение свойств пуассоновой структуры на g∗ даст некоторую информациюоб инвариантах коприсоединенного представления.Кроме стандартной скобки Пуассона–Ли на g∗ можно ввести скобку Пуассона с замороженным аргументом.

Для любого элемента a ∈ g определим72Глава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли73{, }a :{f, g}a = ha, [df (x), dg(x)]i.Можно проверить, что постоянная скобка согласована со скобкой Пуассона–Ли, то есть любая линейная комбинация {, } + λ{, }a является скобкой Пуассона. Наличие семейства согласованных скобок Пуассона дает дополнительные возможности изучения пуассоновой структуры на орбитах. Подобный подход нередко используется в пуассоновой геометрии [19].

В этой главе мы приведем новые доказательства ряда классических фактов, основанные на бигамильтоновом подходе. Во многих случаях такие доказательства оказываютсяболее простыми и дают дополнительное понимание структуры доказываемыхутверждений.3.1Теорема Кронекера–Жордана. Кронекеровы индексыалгебры Ли.Сформулируем в начале классический результат о каноническом виде пучкакососимметрических матриц, теорему Кронекера–Жордана. В случае, еслиодна из форм A и B невырождена можно перейти к рассмотрению оператораA−1 B и задача сводится к теореме Жордана о каноническом виде оператора.В случае, если обе формы имеют ненулевое ядро канонический вид устроенболее сложно, обсуждение этих фактов можно найти в работе [20].Теорема 3.1. Пусть A и B — кососимметрические формы. Тогда существует базис, в котором обе формы приводятся к блочно-диагональномуГлава 3.

Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли74видуA = diag(A1 , . . . , Ak ), B = diag(B1 , . . . , Bk ),причем блоки могут быть одного из трех видов:AiBi0J(λ)−J(λ) 00 E−E 0Жордановблок, λ ∈ CЖордановблок, λ = ∞0E−E 00J(0)−J(0) 0 0 11 0  ...... .. .. ..     0110  Кронекеров блок  0−1  −1 . . . 0 ...   ... 0. . . −1  −10Здесь (E) обозначает единичную матрицу соответсвующего размера,а J(λ) — жорданов блок с собственным значением λ.Канонический вид однозначно определен с точностью до перестановки блоков, в частности размеры кронекеровых блоков определяются парой форм, а не выбором канонического базиса.Мы не будем приводить полного доказательства этой теоремы, остановимся лишь на одном важном для нас моменте.Цепочку векторов pi , i = 1, 2, .

. . назовем кронекеровой относительно пучка A + λB (здесь и далее будем считать, что A является регулярной формойГлава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли75в пучке, то есть ее ранг равен рангу формы общего положения в пучке), есливыполняются следующие условия:1. Ap1 = 0.2. Api+1 = Bpi ,Будем говорить, что вектор v является вектором высоты k, если существует кронекерова цепочка pi , для которой v = pk .

Обозначим Vk подпространство всех векторов высоты k. Ясно, что такие векторы действительно образуют подпространство, и имеют место включения V1 ⊆ V2 ⊆ V3 ⊆ . . . , причем изза конечной размерности эта последовательность вложенных подпространствстабилизируется, т.е.

существует n такое, что Vn = Vn+1 = Vn+2 = . . . . Дляудобства положим V0 = {0}.Канонический базис в теореме Кронекера-Жордана определен, вообще говоря, неоднозначно. В отличие от него пространства Vi определяются инвариантно, а их размерности связаны естественным образом с размерами кронекеровых блоков: разность dim Vk+1 − dim Vk равна числу блоков размера строгобольше 2k − 1.Нам понадобится следующее утверждение:Теорема 3.2.

Пусть A - регулярная скобка пучка A + λB и aij – кронекеровы цепочки, которые либо заканчиваются нулем, либо продолжаются до бесконечности, такие что их начальные векторы ai0 , i = 1, . . . , mобразуют базис в Ker A. Пусть r1 ≤ r2 ≤ · · · ≤ rm – количество ненулевых векторов в этих цепочках (в случае, если ненулевых векторов бесконечно много мы считаем, что r = ∞). ТогдаГлава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли761. ri ≥ ki , где 2k1 − 1 ≤ · · · ≤ 2km − 1 – размеры кронекеровых блоков.2.

Можно выбрать числа ni так, что векторы aij , j < ni будут линейно независимы, причем aij , j < ni , i ≤ k, образуют базис в пространстве Vk .Доказательство. В условиях теоремы подпространства Vi можно описатьследующим образом:V1 = span{ai0 }(3.1)V2 = V1 + span{ai1 }(3.2)...(3.3)Vk = Vk−1 + span{aik }.(3.4)Вложение Vk−1 +span{aik } ⊆ Vk очевидно из определения. Докажем обратное утверждение по индукции. Для V1 включение имеет место по условию теоремы. Рассмотрим произвольный вектор h ∈ Vk . По определению Ah = Bak−1 .По предположению индукции hk−1 ∈ Vk−1 выражается линейно через вектоPPры aij , j ≤ k −1.

Получаем Ah = Bhk−1 = B j≤k−1 cij aij = A j≤k−1 cij aij+1 .PПоследнее равенство означает, что h может отличаться от j≤k−1 cij aij+1 лишьна вектор, лежащий в ядре формы A, но Ker A = V1 ⊆ Vk−1 .Пусть некоторый вектор aij высоты k линейно выражается через другиевекторы меньшей высоты либо через векторы той же высоты других цепочек.Тогда то же самое верно для любого вектора aij+l . Это означает, что для каждой цепочки можно определить число ni так, чтобы векторы aij , j < ni былилинейно независимы, но их линейная оболочка совпадала бы с линейной обо-Глава 3.