Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли

Московский Государственный Университетимени М.В. ЛомоносоваМеханико-математический факультетНа правах рукописиУДК 514Воронцов Александр СергеевичИНВАРИАНТЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОРБИТКОПРИСОЕДИНЕННОГО ДЕЙСТВИЯ ГРУПП ЛИ.01.01.04 – геометрия и топологияДиссертацияна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучные руководители:д.ф.-м.н., акад. Фоменко А.Т.д.ф.-м.н., проф.

Болсинов А.В.Москва, 2010ОглавлениеВведение41 Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы161.1Симплектическая структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2Случай полупрямой суммы g +ad gc . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3Случай коммутативного идеала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1Симплектическая структура для случая коммутативного идеала . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4Случай идеала, изоморфного алгебре Гейзенберга . . . . . . . . 371.4.1Симплектическая структура для случая идеала, изоморфного алгебре Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5Теорема Садэтова и построение полных коммутативных наборов полиномов. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 Инварианты и орбиты для полупрямых сумм492.1Группы sp(n) +ϕ R2n и so(n) +ϕ Rn (общая конструкция) . . . . 492.2Инварианты и орбиты коприсоединенного представления . . . . 562.2.1Инварианты для алгебры Ли so(n) +ϕk (Rn )k .

. . . . . . 562Оглавление32.2.2Орбиты для алгебры Ли so(n) + Rn . . . . . . . . . . . . 582.2.3Инварианты для алгебры Ли sp(n) +ϕk (R2n )k . . . . . . 622.2.4Орбиты для алгебры Ли sp(n) +ϕ R2n . . . . . . . . . . . 652.2.5Инварианты для алгебры sl(n) +ϕk (Rn )k . . . . . . . . . 662.2.6Орбиты для алгебры sl(n) +ϕk (Rn )k . . . . . . . . . . . . 703 Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли3.172Теорема Кронекера–Жордана. Кронекеровы индексы алгебрыЛи.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2Критерий Болсинова и теорема Костанта . . . . . . . . . . . . . 793.3Теорема Винберга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4Оценка степеней инвариантов коприсоединенного представления 87Список литературы91ВведениеДанная диссертация посвящена описанию орбит и инвариантов коприсоединенного действия групп Ли. Этот вопрос имеет приложение в теории вполнеинтегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем. Орбиты коприсоединенного действия групп Ли являются естественным примером симплектическихмногообразий. Задание на 2n-мерной орбите коприсоединенного действия группы Ли набора функций в инволюции, содержащего n независимых функцийэквивалентно заданию на этой орбите вполне интегрируемой гамильтоновойсистемы, в качестве гамильтониана можно взять любую из функций.

В частности, многие классические динамические системы можно рассматривать каксистемы на орбитах коприсоединенного действия групп Ли.Пусть G — конечномерная группа Ли (комплексная или вещественная), g— ее алгебра Ли, g∗ — пространство, двойственное к алгебре Ли. Определимдействие группы на себе сопряжением, sg : G → G, задаваемое формулойsg (h) = ghg −1 .Дифференциал этого действия в единице e группы G определяет действие G накасательном пространстве к группе в этой точке, то есть на алгебре Ли g. Этодействие называется присоединенным и обозначается Adg (ξ), g ∈ G, ξ ∈ g.4Оглавление5Обозначим через Ad∗ действие G на пространстве g∗ , двойственное к присоединенному действию на g, то есть удовлетворяющее условиюhAd∗g x, ξi = hx, Ad∗g−1 ξi, ∀g ∈ G, x ∈ g∗ , ξ ∈ g.Угловые скобки здесь и далее обозначают спаривание элементов из основногои двойственного пространства. Это действие называется коприсоединеннымдействием алгебры Ли.Нам понадобятся также соответствующие представления алгебры Ли.

Присоединенное действие Ad является отображением Ad : G → GL(g). Дифференциал этого отображения в единице группы определяет присоединенное представление алгебры Ли g, обозначаемое ad : g → gl(g).Коприсоединенное представление алгебры Ли совпадает с коммутатором,то есть adξ η = [ξ, η]. Для того чтобы ввести коприсоединенное представление алгебры Ли можно либо рассмотреть аналогичную конструкцию для Ad∗ ,либо, что эквивалентно, определить его соотношениемhad∗ξ x, ηi = −hx, adξ ηi.Замечательное свойство орбит коприсоединенного действия состоит в том,что они являются симплектическими многообразиями с канонической симплектической структурой. Для того чтобы ее определить нам понадобится следующее простое утверждение, доказанное, например, в [5].Утверждение 0.1.

Касательное пространство к орбите коприсоединенного действия группы Ли g в точке x состоит из векторов вида ad∗ξ x0 .Тогда для любых двух векторов y и z из касательного пространства к орбитев точке x мы можем выбрать такие ξ, η ∈ g, что y = ad∗ξ x, z = ad∗η x. ОпределимОглавление6значение формы на векторах y и z формулойω(y, z) = hx, [ξ, η]i.Это определение не зависит от выбора ξ и η, поскольку они определяются сточностью до ζ таких что ad∗ζ x = 0, ноhx, [ξ + ζ, η]i = hx, adξ+ζ ηi = −had∗ξ+ζ x, ηi = −had∗ξ x, ηi = hx, [ξ, η]i.Замкнутость полученной формы следует из тождества Якоби для коммутаторана g. Построенная форма называется в разных источниках формой Березина,формой Кириллова и формой Костанта.

Мы будем называть ее формой Кириллова.Можно смотреть на симплектическую структуру на орбитах с другой, в некоторых случаях более продуктивной точки зрения. Рассмотрим алгебру Ли g.На двойственном пространстве к алгебре Ли g∗ естественным образом вводится скобка Пуассона (ее обычно называют скобкой Пуассона–Ли). Длялюбых двух функций f, g ∈ C ∞ (g∗ ) рассмотрим их дифференциалы в точке x.Они будут линейными функционалами на g∗ , то есть элементами g. Определимзначение скобки Пуассона–Ли функций f и g в точке x формулой{f, g}(x) = hx, [dfx , dgx ]i,здесь угловые скобки обозначают спаривание элементов из алгебры и коалгебры. Можно записать это определение в координатах используя тензор структурных констант алгебры Ли cijk :{f, g}(x) = cijk xi∂f ∂g.∂xj ∂xkОглавление7Скобка Пуассона–Ли на g∗ , вообще говоря, вырождена.

Симплектическиелисты скобки совпадают с орбитами коприсоединенного действия соответствующей группы Ли G, а форма, обратная скобке Пуассона, ограниченнойна симплектические листы совпадает с формой Кириллова, введенной выше.Естественная симплектическая структура на орбитах коприсоединенногодействия группы Ли позволяет рассматривать гамильтоновы системы на этихорбитах. Один из первых примеров такого подхода — работы В.И. Арнольда, рассматривавшего системы на двойственном пространстве к алгебре Ли,обобщающие уравнения Эйлера динамики твердого тела.А.С. Мищенко и А.Т.

Фоменко ([9], [28] ) предложили идею “некоммутативного интегрирования” гамильтоновых систем. Дадим в начале важное определение.Определение 1. Алгебра Ли g называется интегрируемой, если на двойственном пространстве g∗ существует q функционально независимыхфункций f1 , . . . , fq в инволюции относительно скобки Пуассона–Ли, причем q = 21 (dim g + ind g).Рассмотрим гамильтонову систему на симплектическом многообразии M .Рассмотрим алгебру Ли h ее интегралов. Если ее можно включить в некоторую большую (вообще говоря некоммутативную) алгебру Ли g, такую чтоdim g + ind g = dim M мы будем говорить, что система интегрируема в некоммутативном смысле.А.С. Мищенко и А.Т.

Фоменко доказали важную теорему:Теорема 0.1 (А.С.Мищенко, А.Т. Фоменко, [8]). Пусть M — симплекти-Оглавление8ческое многообразие, пусть g — алгебра Ли функционально независимых интегралов гамильтоновой динамической системы и выполняется равенство dim g + ind g = dim M . Если алгебра Ли g интегрируема,то существует другая, коммутативная алгебра Ли g0 функциональнонезависимых интегралов, причем 2 dim g0 = dim M .Таким образом вопрос об эквивалентности понятий некоммутативной интегрируемости и интегрируемости по Лиувиллю сводится к вопросу об интегрируемости алгебр Ли.А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко сформулировали гипотезуГипотеза 1.

Любая алгебра Ли интегрируема в классе полиномов.Эта гипотеза известна как гипотеза Мищенко–Фоменко. Сами авторы доказали ее для редуктивных алгебр Ли, позднее ими и другими авторами (подробный обзор приведен в [5]) гипотеза была доказана для других классов алгебр Ли.Окончательная точка в доказательстве этого утверждения была поставлена С.Т. Садэтовым, доказавшем гипотезу Мищенко–Фоменко для произвольной алгебры Ли (см. [11]), более простое изложение доказательства Садэтовапривел А.В. Болсинова в [27]. Ключевым соображением в доказательстве Садэтова является индукция по размерности, которая возможна благодаря следующей лемме:Лемма 0.1 (см.

[27]). Любая алгебра Ли g над полем K характеристики0 удовлетворяет одному из следующих условий:Оглавление91. g имеет коммутативный идеал I, не являющийся одномерным центром алгебры Ли g;2. g имеет идеал hm изоморфный алгебре Гейзенберга, при этом центрg совпадает с центром идеала hm ;3. g = L ⊕ K, где L — полупроста;4.

g полупроста.В первых двух случаях Садэтов приводит конструкции, позволяющие свести построение полного коммутативного набора полиномов для алгебры Ли gк построению полного коммутативного набора полиномов для некоторой алгебры меньшей размерности.Первый случай содержит важный класс алгебр Ли, а именно алгебры Ли,представимые в виде полупрямой суммы с коммутативным идеалом. Rawnsley([3]), а позднее Baguis ([4]) рассматривали топологию орбит коприсоединенного действия групп Ли, алгебра которых имеет вид полупрямой суммы.