Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли, страница 2

Оказывается, что в этом случае топологию орбит также можно описать, сводя еек описанию орбит в некоторой меньшей алгебре Ли.Аналогичную редукцию можно провести для всех алгебр Ли, удовлетворяющих условию (1) леммы 1. Конструкцию можно также распространить наалгебры Ли, удовлетворяющие условию (2) леммы 1.Случай (3) леммы 1 естественным образом сводится к случаю полупростойалгебры, а для полупростой алгебры Ли коммутативный набор строится с помощью конструкции, предложенной А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко, называемой методом сдвига аргументаОглавление10Теорема 0.2 (А.С.

Мищенко, А.Т. Фоменко, [8]). Пусть g — конечномерная алгебра Ли. Пусть fi — инварианты коприсоединенного действия.Возьмем произвольный элемент a ∈ g∗ . Для каждого инварианта fi рассмотрим разложение функции f (x + λa) в ряд по степеням параметраλ:fi (x + λa) =Xλj gij (x).jВсе функции gij находятся в инволюции относительно скобки Пуассона–Ли.Таким образом метод сдвига аргумента позволяет строить наборы функцийв инволюции на g∗ . Возникает естественный вопрос, в каком случае получаемый набор будет полным, то есть будет содержать 12 (dim g + ind g) независимых функций.Окончательный ответ на этот вопрос для комплексного случая был полученА.В.

Болсиновым ([17]):Теорема 0.3. Пусть g — произвольная конечномерная комплексная алгебра Ли, S = {y ∈ g∗ | dim Ann(y) > ind g} — множество сингулярныхэлементов в g, a — регулярный элемент, то есть a 6∈ S. Инволютивноесемейство, полученное сдвигом инвариантов на элемент a полно на g∗тогда и только тогда, когда codimS ≥ 2.Доказательство критерия Болсинова использует другой взгляд на методсдвига аргумента.

Это взгляд связан с понятием бигамильтоновых систем. Пустьна M заданы две скобки Пуассона {, }1 и {, }2 . Скобки Пуассона называют-Оглавление11ся согласованными, если любая их линейная комбинация λ{, }1 + µ{, }2 такжеявляется скобкой Пуассона.Иногда согласованные скобки называют пуассоновыми или гамильтоновыми парами. Обозначим пару согласованных скобок Пуассона A и B и рассмотрим пучок скобок J = λA + µB, λ, µ ∈ C.

Для фиксированной точкиx ∈ M скобка Пуассона является кососимметрической 2-формой. Обозначимчерез r = maxx∈M,C∈J rk C(x). Будем называть скобку из пучка J регулярной,если ее ранг равен r почти всюду на M . Пара согласованных скобок Пуассонапозволяет построить коммутативный набор функций благодаря следующемуутверждению:Теорема 0.4. Пусть f, g — функции, лежащие в ядрах регулярных скобокПуассона в пучке J (функции Казимира этих скобок). Тогда они находятся в инволюции относительно всех скобок Пуассона в пучке J.Это значит, что объединение функций Казимира всех регулярных скобокпучка образует коммутативное семейство функций на M .Семейство, получаемое сдвигом инварианта на вектор a ∈ g∗ может бытьполучено как семейство, отвечающее паре согласованных скобок Пуассона:введенной ранее скобке Пуассона–Ли и скобке “с замороженным аргументов” {, }a , определяемой для данного a равенством{f, g}(x) = ha, [dfx , dgx ]i.(1)Оказалось, что бигамильтонов подход к изучению динамических систем надвойственном пространстве к алгебре Ли дает новый взгляд на некоторые алгебраические свойства алгебр Ли.Оглавление12Изложим содержание работы более подробно.В первой главе в начале излагаются результаты Rawnsley и Baguis о структуре орбит коприсоединенного действия групп Ли, которые затем обобщаютсяна случай, когда коммутативный идеал не выделяется в качестве полупрямогослагаемого.Основной подход состоит в следующем: рассмотрим алгебру Ли g, содержащую идеал I и соответствующую группу Ли G.

Вложение I ⊂ g определяетестественную проекцию p : g∗ → I ∗ . Поскольку I является идеалом, действие,индуцируемое на I ∗ коприсоединенным действием группы является фактически действием группы Ли G/I. Обозначим это действие Φ, а его дифференциал — φ. Проекция p превращает орбиты коприсоединенного действия группыЛи G в расслоения над орбитами этого действия. Мы доказываем следующиетеоремы, описывающие структуру этих расслоений.Теорема 0.5.

Пусть алгебра Ли g содержит коммутативный идеал I.Тогда орбита элемента x при коприсоединенном действия соответствующей группы Ли является локально тривиальным расслоением. База расслоения — орбита OΦ (p(x)) ⊂ I ∗ элемента p(x) при действии Φ,а слой над точкой a является прямым произведением орбиты коприсоединенного действия в Ann(a)∗ и линейного пространства V , причемdim V = dim OI .Теорема 0.6. Пусть G — группа Ли, такая что алгебра Ли g содержит(2n + 1)-мерный идеал h, изоморфный алгебре Гейзенберга.

Тогда существует подалгебра k, такая что g = h + k и h ∩ k = z(h), а орбитаОглавление13коприсоединенного действия группы G представляет собой расслоение над базой R2n , слоем которого является орбита коприсоединенного действия элемента π(x) в k∗ , где π — проекция на второе слагаемоев разложении g = h + k.Доказанные теоремы дают простую геометрическую интерпретацию коммутативного набора полиномов, построенного с помощью метода Садэтова.Слоение Лиувилля, задаваемое полными коммутативными наборами полиномов, построенными по Садэтову согласовано со структурой расслоения, описанной в теоремaх 0.5 и 0.6, при этом слои имеют вид Rk × K, где K — слои,получаемые из аналогичного набора для меньшей алгебры Ли.

Таким образом слоение определяется набором полиномов для полупростой алгебры Ли,которые строятся методом сдвига аргумента.В связи с этим приобретают интерес другие способы построения полныхнаборов полиномов, задающих более интересную динамику на орбитах коприсоединенного действия. Одним из возможных способов построения являетсяметод цепочек подалгебр.

В случае, если алгебра Ли g представляет собойполупрямую сумму алгебры Ли r с коммутативным идеалом V : g = r +φ V ,естественное вложение r ⊂ g позволяет воспользоваться этим методом. Мыприводим кратко описание метода цепочек подалгебр и доказываем критерий,показывающий когда его применение для полупрямой суммы дает полный набор функций.Во второй главе рассматриваются алгебры Ли вида полупрямой суммы классической алгебры Ли с коммутативным идеалом.

Алгебры Ли такого вида воз-Оглавление14никают в прикладных задачах, например, алгебра Ли e3 = so(3) + R3 является естественным пространством для описания динамики трехмерного твердоготела с закрепленной точкой в поле силы тяжести. Алгебра Ли so(n) + Rn соответствует n-мерному обобщению этой задачи.Для алгебр Ли вида so(n) +ρ Rn , sl(n) +ρ Rn и sp(n) +ρ R2n в явном виде выписаны инварианты и описана топология орбит коприсоединенного действиядля таких алгебр Ли.Явный вид инвариантов позволяет применить метод сдвига аргумента и получить конкретные полные коммутативные наборы, соответствующие некоторым интегрируемым системам на двойственном пространстве к алгебре Ли.Третья глава диссертации посвящена исследованию бигамильтоновой структуры на алгебрах Ли. Опираясь на теорему Кронекера–Жордана о каноническом виде пучка кососимметрических форм мы изучаем пучок, порождаемыйскобкой Пуассона–Ли и скобкой с замороженным аргументом (1).Такой подход позволяет получить элементарное доказательство критерияБолсинова (см.

Теорема 0.3), теоремы Костанта и теоремы ВинбергаТеорема 0.7 (Костант). Пусть g — полупростая алгебра Ли. Пусть fi— канонические инварианты коприсоединенного представления. Тогда градиенты dfi независимы во всех регулярных точках g∗ .Теорема 0.8 (Э.Б.Винберг). Пусть g — конечномерная алгебра Ли, a ∈ g∗— произвольный элемент. Тогда ind Ann(a) ≥ ind g.Также с помощью приведения пучка скобок к каноническому виду вводитсяпонятие кронекеровых индексов алгебры Ли, которые обобщают понятие по-Оглавление15казателей для полупростой алгебры Ли.

При этом вычисление кронекеровыхиндексов сводится к задачам линейной алгебры.Мы доказываем новую оценку снизу на степени полиномиальных инвариантов алгебры Ли в терминах кронекеровых индексов:Теорема 0.9. Пусть g — алгебра Ли, f1 , . . . , fs (s = rk g) — набор алгебраически независимых полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления и deg f1 ≤ deg f2 ≤ . . . . Пусть r1 ≤ r2 ≤ .

. . — кронекеровы индексы алгебры Ли g. Тогда deg fi ≥ ri .Автор глубоко признателен своему научному руководителю, академику А.Т.Фоменко, за внимание к работе, а также А.В. Болсинову за множество полезных замечаний и предложенных идей.Глава 1Орбиты коприсоединенного действиядля полупрямой суммыЭтот параграф посвящен описанию орбит коприсоединенного действия группЛи, алгебра которых представима в виде полупрямой суммы. Орбиты групптакого вида подробно рассматривались в работах Rawnsley [3], P. Baguis [4].Мы приведем их результаты, которые затем будут обобщены.Пусть G = R ×Φ V полупрямое произведение группы Ли R и коммутативной группы V , которую мы будем отождествлять с векторным пространством.Элементы группы G мы будем обозначать парой (g, u), g ∈ R, u ∈ V . Для Rбудем использовать мультипликативные обозначения, для V — аддитивные.Произведение элементов в алгебре задается формулой(g, u) ◦ (h, v) = (gh, u + Φ(g)v).Алгебра Ли g, соответствующая группе Ли G имеет вид полупрямой суммыr+ϕ V .