Автореферат (Синтез оптимальных стратегий в задачах последовательного хеджирования колл-опционов при наличии полосы нечувствительности), страница 2

В диссертации используются современные методы системного анализа, математического моделирования, теории вероятностей и случайныхпроцессов, стохастического программирования, теории оптимизации и оптимальногоуправления, в частности, метод динамического программирования.Достоверность результатов обеспечивается строгостью математических постановок и доказательств утверждений, корректным использованием методов системного анализа, проверкой теоретических результатов численными экспериментами.Научная новизна. В диссертационной работе впервые исследована модификация стратегии последовательного хеджирования колл-опциона, заключающаяся вовведении полосы «нечувствительности» хеджирования, а также впервые рассмотрена задача хеджирования опционных контрактов при заранее неизвестной ненулевойдлительности операций купли-продажи базового актива.

Среди полученных в работерезультатов можно выделить следующие:1. Получены выражения для математического ожидания и функции распределения потерь хеджера, использующего модифицированную стратегию последовательного хеджирования, а также предложен алгоритм построения верхней и нижней оценок квантили распределения потерь2. Предложен алгоритм поиска оптимальной ширины полосы «нечувствитель-—6—ности», минимизирующей средние затраты хеджера, использующего модифицированную стратегию последовательного хеджирования.3.

Получены выражения для функций условного и безусловного распределениязатрат на хеджирование продавца колл-опциона американского типа, использующего модифицированную стратегию последовательного хеджирования. Найдены точкиразрыва и промежутки монотонности функций условного и безусловного распределений. Предложен метод построения верхней и нижней оценок квантили распределениязатрат хеджера на основе значений квантилей условных распределений затрат хеджера при известном числе пересечений полосы «нечувствительности» траекторией ценыбазового актива.4.

Предложен алгоритм решения двухшаговой задачи хеджирования европейского колл-опциона при случайной длительности выполнения операций куплипродажи базового актива. Доказано существование не более чем двух точек локального минимума функции будущих потерь на последнем шаге в области допустимыхуправлений.Практическая ценность работы состоит в том, что ее теоретические результаты могут служить основой для разработки математического и программноалгоритмического обеспечения для решения прикладных задач в области финансовойи актуарной математики. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы могутбыть также применены при решении задач управления техническими системами срелейными переключениями при наличии гауссовских помех.

В частности решена задача удержания автоматического аэростатата в заданной полосе высот на протяжениивремени полета.Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации с использованием методов системного анализа исследованы сложные экономические и технические системы, проведены исследования оптимизационных задач, предложены алгоритмы их решения (области исследования 1, 4, 5 специальности 05.13.01).Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры теории вероятностей Московского авиационного института (рук. проф.Кибзун А.И.), научном семинаре «Математические модели принятия решений» Института математики им.

С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук(рук. проф. Береснев В.Л.), научном семинаре лаборатории №7 Адаптивных и робастных систем им. Я.З. Цыпкина Института проблема управления им. В.А. ТрапезниковаРАН (рук. проф. Поляк Б.Т.).Материалы диссертации представлялись на ряде конференций: Международный молодежный научный форум «ЛОМОНОСОВ-2013» (Россия, Москва, МГУ им.М.В. Ломоносова), IV научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов «Актуальные вопросы развития систем и средств ВКО», посвященная 105-летиюсо дня рождения академика А.А.

Расплетина (Россия, Москва, 2013 г.), 40-ая международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (Россия, Москва,МАТИ, 2014 г.), 6-я Традиционная молодежная школа «Управление, информация иоптимизация» (Россия, Московская область, дер. Григорчиково, 2014 г.), XI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и специалистов «Управление большими системами» (Россия, Арзамас, 2014 г.), EURO Mini Conference on Stochastic Programmingand Energy Applications ECSP-2014 (Франция, Париж, 24-26 сентября 2014 г.), 13-яМеждународная конференция «Авиация и космонавтика — 2014» (Россия, Москва,МАИ ГТУ, 2014 г.), 20-я Международная конференция «Системный анализ, управле-—7—ние и навигация» (Россия, Евпатория, 2015 г.).Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 15-08-02833 А «Разработкавероятностно-гарантирующих алгоритмов управления техническими объектами»).Публикации. Основные результаты опубликованы в 3 научных статьях [1–3]в журналах, входящих в перечень ВАК, в 2 статьях [4, 8] в сборниках и материалахконференций, а также в сборниках тезисов докладов конференций [5–7].

Общее количество публикаций по теме данной диссертации — 8.Структура и объём диссертации. Диссертация содержит введение, четыреглавы, заключение и список используемой литературы. Работа состоит из 105 страниц,включая 10 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 87 наименований.Содержание диссертациидано обоснование актуальности выбранной автором темы диссертации, сформулирована цель работы, аргументирована её научная новизна и практическая ценность, а также в сжатом виде изложено содержание глав диссертации.В первой главе приводится описание модификации стратегии последовательного хеджирования, предлагается математическая модель и исследуются свойства процесса ценообразования. В соответствии с модифицированной стратегией последовательного хеджирования при цене поставки будет производиться полное покрытиеопционной позиции в моменты, когда рыночная цена базового актива превышает уровень (1 + ), где — относительная ширина полосы «нечувствительности» хеджирования.

Продажа актива будет осуществляться при падении цены актива ниже уровня . Полоса «нечувствительности» хеджирования:Во введении(1.1) , {(, ) : ∈ [, (1 + )], ∈ [0, ]},где - срок, в течение которого опцион может быть исполнен.В качестве модели ценообразования используется процесс геометрического броуновского движения:() = (0)+ () , ∈ [0, ].(1.2)где () - стандартный винеровский процесс, (0) - стартовая цена актива, не превышающая , - коэффициент линейного сноса, - волатильность.Покупка актива осуществляется при пересечении полосы траекторией ()в направлении «снизу вверх». Хеджер при этом затрачивает сумму, равную + =(1 + )(1 + ), где — комиссионные издержки при покупке актива.

Продажа активаосуществляется при пересечении «снизу вверх» по цене , тогда затраты хеджераравны − = − .Предполагается, что при фиксированном параметре исполнение опциона прикаждом пересечении полосы, если опцион не был исполнен прежде, может произойтис одной и той же вероятностью (), где (·) : [0, ∞] → [0, 1], при этом lim () = 0,→0lim () = 1, () строго возрастает по . Для учета раннего исполнения опциона ис-→∞пользуется последовательность случайных величин , определенная следующим образом:1. СВ принимают значения 0 и 1, = 1, 2, . .

.;2. {{︃1 = 1} = (); }︃3. = 1|−1∑︀=1 = 0= (), > 1;{︃4. = 0|−1∑︀—8—}︃ = 1= 1, > 1.=1Опцион также может быть исполнен в случае, когда траектория () не пересекла полосу за время , а только превысила уровень цены поставки . Предполагается, что исполнение опциона в этом случае также происходит с вероятностью ().Исполнение опциона при отстутствии пересечений учитывается с помощью случайнойвеличины 0 , распределенной по закону Бернулли: {0 = 1} = ().Если опцион исполняется при пересечении «снизу вверх», то опционная позиция открыта и точный момент исполнения заранее неизвестен. Цена базового активав момент исполнения предполагается случайной, равной + , где - случайная величина, с функцией распределения (·) такой, что (0) = 0, () = 1, и (·)строго возрастает на отрезке [0, ]. На покрытие опционной позиции хеджер тратитпри этом сумму, равную ( + )(1 + ).С учетом сделанных предположений затраты хеджера при -м пересечении полосы будут равны⎧(︃ (( + )(1)︃+ ) − ) + (1 − )+ , = 1,⎪⎪⎪⎪⎪−1⎪⎨ ∏︀ (1 − ) ( (( + )(1 + ) − ) + (1 − )+ ), = 2 + 1, , (︃=1)︃⎪⎪⎪−1∏︀⎪⎪⎪(1 − ) − , = 2,⎩(1.3)=1где = 1, 2, .

. ..Затраты хеджера в случае, когда курс базового актива не пересек полосу , атолько превысил уровень цены поставки , составят 0 , 0 (( + )(1 + ) − ).Суммарные потери хеджера за время жизни опциона равны⎧∑︀2 + + − = 2,⎪⎨ =0 ,(︃)︃2+1∏︀() , ∑︀2+1⎪−(1 − ) , + + − = 2 + 1,⎩ =0 (1.4)=1где = 0, 1, 2, . .

., + — число пересечений полосы «снизу вверх» , а − — числопересечений полосы «сверху вниз».Суммарные затраты хеджера зависят от того, когда рыночная цена базовогоактива достигнет уровня цены поставки, т.е. от момента :(1.5) , min{ : () = }.Функция распределения равна () , { ≤ } =(︁⎛ln (0) − −⎝√1−Φ 22)︁ ⎞(︁⎛⎛2ln(2− )ln+ −(0)⎠+⎝1 − Φ ⎝ (0) √2 22)︁ ⎞⎞⎠⎠ . (1.6)—9—При этом плотность () распределения равна⎧ (︁(︁⎪⎨ln (0) − −ln (0) () () ,=√exp −⎪2 2 2 2 3⎩22)︁ )︁2 ⎫⎬ ⎪(1.7).⎪⎭Затраты хеджера также зависят от числа пересечений полосы траекторией() за время .

В диссертации доказана теорема о распределении величин − , + и− + +:Пусть траектория случайного процессаТеорема 1.1.в момент,тогда для любого натурального«сверху вниз» за оставшееся время −не менее()траекториядостигла уровня()пересечетраз с вероятностью(︂(︂)︂)︂(︁ )︁ √2ln(1+)√−{ − ≥ | = } = −(1−Φ− − 2−(︂(︂)︂)︂(︁ )︁ √ 2 ln(1+)2ln(1+)√+ ( − 2 ) 1−Φ+− −, (1.8) 2 − −22 ln(1+)) а в направлении «снизу вверх» с вероятностью(︂)︂)︂(2 − 1) ln(1 + ) (︁ )︁ √√1−Φ −−{ ≥ | = } = + − 2−(︂(︂)︂)︂(︁ )︁ √ (2−2) ln(1+)(2−1)ln(1+)√1−Φ −−− −, (1.9)+ ( − 2 ) 2 −−( − 2 )+гдеΦ() =√12∫︀(︂2 ln(1+)2− 2 .−∞Условное распределение общего числа пересечений − + + при условии, что = , определяется с помощью рекуррентного соотношения:⎧⎪{ + = 0| = },⎪⎪⎪⎪+⎪⎨{ = | = }− (, ) , { + + − = | = } = { + + − = 2 − 1| = },⎪⎪⎪{ − = | = }−⎪⎪⎪⎩{ + + − = 2| = },при = 0;при = 2, > 0;при = 2 + 1, > 0.(1.10)Безусловное распределение числа пересечений полосы траекторией () за время определяется как:−∫︁{ ≥ } =0{ − ≥ | = } (),(1.11)∫︁—10—{ + ≥ } ={ + ≥ | = } (),(1.12)0∫︁ +− () , { + = } ={ + + − = | = } () + { = 0}{ ≥ } =0(1.13)⎧+⎪⎨{ = 0} + { ≥ },= { + = } − { + + − = 2 − 1},⎪⎩{ − = } − { + + − = 2},при = 0;при = 2, > 0;при = 2 + 1, > 0,(1.14)где {·} — индикаторная функция.Во второй главе рассматривается задача поиска оптимальной относительнойширины полосы «нечувствительности» , минимизирующей средние потери хеджера.Для условного и безусловного математического ожидания потерь вводятся обозначения:() , M[()],(, ) , M[()| = ].Условное и безусловное математическое ожидание потерь связаны соотношением:∫︁() =(2.15)(, ) () .0В случае, когда ≥ , исполнение опциона невыгодно и хеджер не несет никакихпотерь, т.е.