Автореферат (Синтез оптимальных стратегий в задачах последовательного хеджирования колл-опционов при наличии полосы нечувствительности)

На правах рукописиСоболь Виталий РомановичСИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ В ЗАДАЧАХПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ КОЛЛ-ОПЦИОНОВПРИ НАЛИЧИИ ПОЛОСЫ НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИСпециальность 05.13.01 —системный анализ, управление и обработка информации(авиационная и ракетно-космическая техника)Авторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква, 2015 годРабота выполнена на кафедре теории вероятностей Московского авиационногоинститута (национального исследовательского университета).Кибзун Андрей Иванович,Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессорЩербаков Павел Сергеевич,Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор, ведущий научный сотрудникИнститута проблем управленияим.

В. А. Трапезникова РАНВишняков Борис Ваисович,кандидат физико-математических наук,начальник лаборатории«Анализ динамических сцен»Федерального Государственного УнитарногоПредприятия «ГосударственныйНаучно-Исследовательский ИнститутАвиационных систем»Институт математики им. С. Л. СоболеваСибирского отделения РАНВедущая организация:Защита состоится 12 февраля 2016 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.04 Московского авиационного института по адресу:125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ или на сайтеМАИ по ссылке: http://mai.ru/events/defence/index.php?element_id=62507Автореферат разослан «»2015 г.Отзывы просим отправлять в 2-х экземплярах, заверенных гербовой печатью, по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, Учёныйсовет МАИ.Учёный секретарьдиссертационного совета Д 212.125.04,кандидат физико-математических наукН.

С. Северина—3—Общая характеристика работыдиссертационной работы являются стратегиихеджирования колл-опционов европейского и американского типов.Актуальность работы. Рынок срочных контрактов в России является важной и динамично развивающейся отраслью экономики. Срочный рынок привлекаетбольшое количество инвесторов возможностью совершать спекулятивные операции сдоходностью выше, чем на рынке акций, а также хеджировать (страховать) рискипри инвестировании в акции. Из года в год российский рынок срочных контрактовпоказывает рост активности и объемов торгов.

Например, объем торгов производными финансовыми инструментами на Московской бирже в апреле 2015 года составил6,3 трлн рублей (прирост в 48,7% к показателю за апрель 2014 года) или 129,1 млнконтрактов (107,3 млн контрактов в апреле 2014 года).Одним из основных видов срочных контрактов является опцион. Опцион предусматривает обязательное исполнение сделки только для продавца опциона. В контракте оговаривается срок исполнения, т.е. время совершения сделки, и цена исполнения,т.е. цена, по которой будет осуществляться продажа актива. Если опцион предусматривает право на продажу товара, то он называется пут-опционом, если на покупку— колл-опционом. Если опцион может быть исполнен только в определенный моментвремени, то он называется европейским, если его можно исполнить в любой моментдо истечения срока действия — американским, если только в определенные моментывремени до истечения срока действия контракта — бермудским.Продавец колл-опциона может частично застраховаться от риска, связанного спревышением ценой актива цены поставки, затратив на это часть стоимости опционаи собственных средств.

Для этого он формирует инвестиционный портфель, состоящий из данного опциона, других опционов, фьючерсов, облигаций, акций и прочего.В простейшем случае портфель состоит из базового актива, указанного в контракте.Этим портфелем он может управлять так, чтобы доходность портфеля хотя бы частично компенсировала риск опционной позиции. Такая стратегия управления называетсяхеджированием, а лицо, управляющее портфелем — хеджером.Фундаментальный результат теории расчета и хеджирования опционов был получен в 1973 г.

Ф.Блэком и М.Шоулсом. Отправным пунктом модели Блэка-Шоулсабыло то, что премия опциона может быть воспроизведена непрерывной перебалансировкой портфеля состоящего из безрискового вложения и базового актива. На управление таким портфелем хеджер затрачивает в среднем всю премию за опцион. Дальнейшее развитие работа получила в трудах Дж. Кокса, Р. Росса, М. Рубинштейна. Онирассмотрели в качестве модели динамики цены базового актива биномиальную моделькотировки, для которой геометрическое броуновское движение является предельноймоделью, при шаге разбиения, стремящемся к нулю. Другой предельной моделью длябиномиальной модели Кокса-Росса-Рубинштейна является модель Мертона, в котороймодель ценообразования актива связана с центрированным пуассоновским процессом.Как и в модели Блэка-Шоулса, в ней присутствует диффузионная составляющая, нодобавляется также и «скачковая», обусловленная возможным поступлением важнойинформации об акциях и эмитенте базового актива.Исследованию задач расчета и хеджирования европейского и американскогоопционов посвящены многочисленные работы А.

Н. Ширяева, В. М. Кабанова, Д. О.Крамкова, А. В. Мельникова, А. Кабицина, А. И. Нейштадта, В. Четверикова. Задачиминимаксного хеджирования опционов были рассмотрены в работах Н. Эль Кару,Объектомисследования—4—Д. О. Крамкова, Г. Фельмера, С. Н. Волкова. Задачам минимаксного и квантильногохеджирования опциона на неполных рынках посвящены работы В.М. Хаметова и О.

В.Зверева. Расчету стоимости опциона в многошаговой модели рынка также посвящены,например, работы О. В. Шатаева, Н. С. Дёмина и М. Ю. Шиширина, а также втораячасть монографии Г. Фёльмера и А. Шида.Аналитическому расчету стоимости американского колл-опциона посвященыработы Р. Минени, И.

Каратзаса, Г. МакКина, В. М. Хаметова и многие другие. Задача расчета стоимости и хеджирования опционов на неликвидных рынках рассматривалась, например, в работах У. Сетина и П. Шонбухера. Неликвидность рынка врассмотренных математических моделях с непрерывным временем выражалась в зависимости стоимости базового актива от объема торгов. Модели неликвидного рынкав предположении, что операции купли-продажи активов имеют неизвестную продолжительность по времени, ранее рассмотрены не были.Стратегия последовательного хеджирования опциона впервые была описанаСейденвергом и получила название «stop-loss start-gain strategy» (стратегия остановкипотерь и начала выигрышей).

Стратегия последовательного хеджирования заключается в приобретении базового актива в полном объеме при превышении ценой базовогоактива уровня цены поставки. При обратном переходе хеджер полностью продает всеактивы в хеджирующем портфеле, чтобы избежать потерь, связанных с дальнейшимвозможным падением стоимости актива. Для покупки активов хеджером используются заимствованные фонды. Таким образом, в любой момент времени, когда опционможет быть исполнен, опционная позиция остается закрытой.

В зарубежной литературе данная стратегия рассматривалась в работах П. Карра, Дж. Андреасена, К. Голье,П. Дыбвига, Р. Бёрда, Д. Дэнниса, М. Типпета, К. М. Каминского, К. Ослера. В работеК. Голье был рассмотрен вариант модификации стратегии остановки потерь и началавыигрышей, в котором при переходе опциона от состояния проигрыша к выигрышу вбазовый актив инвестируются все средства, за исключением заранее установленногоминимального резерва.В России стратегия остановки потерь и начала выигрышей впервые исследовалась Бурениным и получила название «стратегия последовательного хеджирования».В работе А.

И. Кибзуна и В. И. Губерниева для дискретной мультипликативной модели ценообразования базового актива было получено значение средних потерь продавца американского опциона типа колл, использующего стратегию последовательногохеджирования. В этой же работе был предложен вариант модификации стратегиипоследовательного хеджирования, заключающийся во введении полосы «нечувствительности» хеджирования.

Данная модификация позволяет избавиться от основногонедостатка стратегии последовательного хеджирования: чрезвычайно высоких затратна хеджирование в случае частых колебаний цены базового актива относительно уровня цены поставки. Наиболее сильно данный недостаток проявляется в случае моделис непрерывным временем при ненулевых транзакционных издержках, когда затратыхеджера будут стремиться к бесконечности при выполнении предположения моделиБлэка-Шоулса о процессе ценообразования. Однако, такая модификация стратегиипоследовательного хеджирования ранее исследована не была.Из представленного обзора видно, что в настоящий момент остается неисследованной модификация стратегии последовательного хеджирования, заключающаяся вовведении полосы «нечувствительности» хеджирования.

При этом данная модификация позволит избежать высоких затрат на хеджирование в случае частых колебаний—5—цены базового актива относительно уровня цены поставки, особенно при ненулевыхтранзакционных издержках. Также в литературе остается открытым вопрос о хеджировании опционных контрактов при ненулевой заранее неизвестной длительности операций купли-продажи. Предположение о неизвестной ненулевой длительности операций купли-продажи становится особенно важным в случае неликвидных активов иличрезвычайно больших объемов торгов.Цели и задачи работы. Целью данной работы является исследование модификации стратегии последовательного хеджирования американского колл-опциона,заключающейся во введении полосы «нечувствительности» хеджирования, а такжеисследование задачи хеджирования европейского колл-опциона при неизвестной ненулевой длительности операций купли-продажи базового актива.Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:1.

Найти выражение и исследовать свойства математического ожидания затратна хеджирование продавца колл-опциона американского типа, использующего модифицированную стратегию последовательного хеджирования. Выработать алгоритмпоиска оптимальной ширины полосы «нечувствительности», минимизирующей средние затраты хеджера. Исследовать связь между задачами минимизации условного ибезусловного математических ожиданий потерь хеджера.2.

Найти выражение для функции распределения потерь хеджера. Найти выражения для условной функции распределения потерь и квантили условного распределения потерь хеджера, использующего модифицированную стратегию последовательного хеджирования, при известном количестве пересечений полосы «нечувствительности» траекторией курса базового актива. Исследовать связь между квантилямиусловного и безусловного распределений. Разработать алгоритм построения верхней инижней оценок квантили безусловного распределения потерь.3. Разработать алгоритм поиска оптимального управления в классе позиционных стратегий в двухшаговой задаче хеджирования европейского колл-опциона в случае, когда длительность операций купли-продажи базового актива случайна, а ее распределение зависит от объема приобретаемых/продаваемых активов.Методы исследования.