Диссертация (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 7

Sanjukta в [221] воспользовалсяэтим же подходом для решения задачи об одномерных возмущениях уже пьезоэлектрического полупространства. При помощи приближённого обращения преобразования Лапласа проанализированы разрывы напряжений и температуры.Так же для начальных моментов времени Sharma J. N., Chand Dayal в [230] решили задачу о распространении возмущений в проводящей плоскости, контакти-30рующей с вакуумом и находящейся под действием механической или тепловойнагрузки.Basu Animesh в [200] в одномерной постановке рассмотрел распределениетемпературы и перемещений точек в бесконечном упругом теле, возникающих врезультате одновременного воздействия теплового потока и магнитного поля награнице тела.

После использования преобразования Лапласа и Фурье обращениетрансформант искомых перемещений и температуры удалось получить явно. Ихсравнение с обращением с помощью численно пакета дало удовлетворительныерезультаты.Методом решения нестационарных задач электромагнито-термоупругости,применение которого приводит к точным аналитическим решениям являетсяобращение преобразования Лапласа с помощью теории вычетов. Так в работе[197] исследуются перемещения, температура и температурные напряжения внеограниченном теле со сферической полостью, находящейся под действиемтемпературы, и постоянного магнитного поля. Свойства материала зависят оттемпературы.

При использовании преобразования Лапласа трансформанты искомых функций представляют из себя рациональные функции умноженные на экспоненты, что позволяет получить явно распределение напряжений, радиальныхперемещений и температуры.Достаточно мощным аппаратом решения нестационарных задач является метод граничных элементов в сочетании с преобразованием Лапласа и Фурье. Ксожалению при таком подходе точные решения получить достаточно затруднительно, поэтому прибегают к численным методам вычисления интегралов.

Так вмонографии Баженова В.Г., Игумнова Л.А. [26] помимо постановок задач электроупругости представленмодифицированный метод граничных интегральныхуравнений и приведены примеры применения данного метода для отысканияфункции Грина в некоторых трёхмерных задачах электроупругости. В работе[199] Arai M., Adachi T., Matsumoto H. использован гранично-элементный подход,но уже применительно к задачам расчёта тонкостенных конструкций. Показано,что точность результатов зависит от характера численной реализации обращения31преобразования Лапласа и от численных ошибок вычисления сингулярных интегралов.

К этому же периоду времени относятся работы китайской школы DingHaojiang, Liang Jian [206] и Gao Cunfa, Cui Demi [209]. В первой из них построены фундаментальные решения в замкнутой форме для трёх случаев поведениябесконечной трансверсально-изотропной пьезоэлектрической среды, находящейсяпод действием электрических и механических нагрузок, что позволило в дальнейшем применить метод граничных элементов.

Во второй работе фундаментальные решения найдены для плоской задачи в случае полубесконечной и бесконечной сред.Особняком стоят шаговые по времени алгоритмы метода граничных элементов. Применительно к трёхмерным нестационарным задачам магнитотермоупругости в квазистатической постановке для тела, на границе которого было заданомагнитное поле эти алгоритмы были развиты несколько ранее упомянутых статейв работе Турилова В.В. [180]. Для исследования волновой динамики в полубесконечной области этот метод был использован, например, в статье Rice J.

M., SaddM. H. [228].Обзор опубликованных монографий и статей приводит к выводу, что исследования в области связанных нестационарных задач электромагнитоупругостинедостаточны. Основные достижения в этой области в основном были полученыс использованием численных и численно-аналитических методов. В связи с относительно большой размерностью систем дифференциальных уравнений, вытекающих из постановок задач электромагнитоупругости, точные решения и алгоритмы присутствуют лишь в единичных работах и, как правило, касаются лишьодномерных задач.Несмотря на это, некоторые из рассмотренных выше исследований явилисьосновой данной диссертационной работы в части использования и развития предложенных авторами методов. Физическое описание процессов распространениянестационарных возмущений при поверхностном воздействии и под действиемобъёмных сил, предложенное в некоторых из упомянутых работ, позволилосформулировать постановки задач, исследованных в диссертационной работе.32§ 1.2.

Линейные уравнения движения термоэлектромагнитоупругойсредыВсе дальнейшие исследования опираются на линеаризованную модель термоэлектромагнитоупругой среды [44,49,68,220,204].Механическая часть модели включает в себя соответствующие уравнениядвижения сплошной среды и геометрические соотношения [107,128,166]:vi i u i;w   j   F , w ,v tt(1.2.1)1ij  (iu j   j ui ) ,2(1.2.2)iijiiгде w  wiei , v  viei , u  u iei и F  F i ei (по повторяющимся латинским индексам проводится суммирование от 1 до 3) - векторы ускорения, скорости, перемещения и внешних сил; σ  ijeie j и ε  ij ei e j - тензоры напряжений и деформаций; e1 , e2 , e3 - базис некоторой криволинейной системы координат 1 , 2 , 3 ;  i оператор ковариантного дифференцирования; t – время;  - плотность.При этом начальное состояние предполагается недеформированным (здесь идалее ему соответствует нижний индекс «0»): 0  , ui 0  0,  vi 0  0,  wi 0  0,  ij 0  0,  F i 0  0 .(1.2.3)Термодинамическая составляющая модели при условии отсутствия рассеянияэнергии (ее объемная плотность w*  0 ) включает в себя следующие соотношения[128,166,107]:- уравнение баланса энтропии ( T - абсолютная температура; s и q ( e ) dt - массовые плотности энтропии и притока тепла без учета теплопроводности; q  qiei вектор теплового потока)Tds q ( e )  div q ,tлинеаризация которого имеет вид(1.2.4)33T0s1 q ( e )  div q ;t(1.2.5)- записанное с точностью до членов второго порядка малости уравнение изменения свободной энергии (  и qdt - массовые плотности свободной энергии ипритока энергии без учета тепловой составляющей; T  T  T0 - изменение температуры)1d   sd T  ij d ij  qdt ;(1.2.6)- закон Фурье ( λ  ij ei e j - тензор теплопроводности)q  ij j T ei ,(1.2.7)При этом считается, что в начальном состоянии термодинамические параметры определяются так:T 0  T0 ,  s 0  0,  q 0  0,   0  0, q  e q0  ,  q 0  q0  q0i ei , q0   divq0 .e0e(1.2.8)В электромагнитную часть модели входят следующие соотношения:- уравнения Максвелла ( E  E iei и H  H iei - векторы напряженностей электрического и магнитного полей; D  Diei и B  Biei - векторы электрической имагнитной индукций; j  j iei - плотность тока; c - скорость света; e - плотностьзарядов)rot E  1 B4 1 D, rot H j, divD  4e ;c tcc t(1.2.9)- обобщенный закон Ома (  и T - коэффициенты электропроводи-мости итермоэлектрического эффекта)1j  (E  [ v, B]  T q)  e v ,c(1.2.10)линеаризация которого имеет вид1j  (E  [ v, B0 ]  T q)  e 0 v .c(1.2.11)34Полагается, что в начальном состоянии электромагнитные параметры таковы: E 0  E0  E0i ei ,  B 0  B0  B0i ei ,  H 0  H 0  H 0i ei ,  e 0  e0 , D 0  D0  D0i ei ,  j0  j0 rotE0  0, rot H 0  B  D j0i ei ,   0,   4js 0 , t 0 t 0(1.2.12)4 j0  js 0  , divD0  4e0 , j0  E0 ,cгде js 0 - ток смещения в начальном состоянии.Связь механических, термодинамических и электромагнитных полей задаетсяследующими дополнительными соотношениями:- выражением для объемной силы от электромагнитного поля в уравненияхдвижения (1.2.1) (силы Лоренца)1F  Fe  eE  [ j, B] ,c(1.2.13)линеаризация которого имеет вид1F  Fe  e 0E  eE0  ([ j0 , B]  [ j, B0 ]) ;c(1.2.14)- формулой для притока тепла без учета теплопроводности в (1.2.4) (джоулеватепла)qe21   E  [ j, B]  ,c(1.2.15)а именно, ее линеаризованной формой1eq   2  E0 , E  [ j, B0 ]  ;c(1.2.16)- выражением для притока энергии без учета тепловой составляющей в (1.2.6)qdt 1 E, dD    H, dB  .4 (1.2.17)При этом в начальном состоянии имеет место равенства:ce0 E0  [ j0 , B0 ]  0, q0   E02 .e(1.2.18)Таким образом, линеаризованная модель связанной термоэлектромагнитоупругости включает в себя уравнения (1.2.1), (1.2.2), (1.2.5) -(1.2.7), (1.2.9),35(1.2.11), (1.2.14), (1.2.16) и (1.2.17).

При этом соответствующее начальное состояние должно подчиняться соотношениям (1.2.3), (1.2.8), (1.2.12) и (1.2.18).Указанная система уравнений не замкнута. Поэтому необходимо построениефизических соотношений [68,204]. С этой целью полагаем, что свободная энергияявляется однозначной, дифференцируемой функцией деформаций, изменениятемпературы и компонент векторов электрической и магнитной индукций:  (ij , T , Di , Bi )(1.2.19)Вычисляя дифференциал этой функции11d   ij d ij  sd T E i dDi  H i dBi 4(1.2.20)и подставляя его в (1.2.6), с учетом (1.2.17) получаем искомые физические соотношения:ij  ., s, E i  4, H i  4ijTDiBi(1.2.21)Для их линеаризации полагаем, что свободная энергия является дважды дифференцируемой функцией, и далее ограничиваемся ее квадратичным приближением:1 ijklc 2 1 ij1C ij  kl T  d Di D j  bij Bi B j 22T0221111 f ij Di B j   ij ij T  p ijk ij Dk  q ijk ij Bk  r i T Di  s i T Bi ,2(1.2.22)где 2C ijkl      ij kl 2b   B B i jijp ijk  2 2 ij,cT,d T02  T 00 Di D j  2ij , f   0 Di B j 2   D ij k  2ij ,    0 ij T  2ijk , q   0 ij Bk 2  i  2 r   , s   .TDTBi 0i 0i ,0 ,0 ,0(1.2.23)36В качестве дополнительной упрощающей гипотезы считаем, чтоf ij  0, r i  0, si  0 .(1.2.24)Тогда из (1.2.21) и (1.2.22) получаем следующие линейные физические соотношения:ij  C ijkl kl  ij T  pijk Dk  qijk Bk ,(1.2.25)cTijs  T ij ,T0(1.2.26)1 i1 iE  d ij D j  p kei ke ,H  bij B j  q kei ke .44(1.2.27)Здесь C ijkl и  ij - тензоры упругих постоянных и коэффициентов температурных напряжений; cT - коэффициент теплоемкости; d ij и bij - тензоры диэлектрической и магнитной податливости; p ijk и q ijk - тензоры пьезоэлектрической ипьезомагнитной податливости.Находя из равенств (1.2.27) компоненты векторов электрической и магнитнойиндукцийDi  eij E j  ijk  jk , Bi  ij H j   ijk  jk ,(1.2.28)приводим первое из физических соотношений (1.2.25) к следующему видуij  C ijkl kl  ij T 1 ijk Ek   ijk H k  ,4(1.2.29)где eij и ij - тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости; ijk и  ijk- тензоры пьезоэлектрических и пьезомагнитных постоянных.Дополнительно, с помощью (1.2.26) из уравнения (1.2.5) можно исключить энтропию:T T0 ij ij1cT q ( e )  divq .t t(1.2.30)Таким образом, замкнутая система линейной теории термоэлектромагнитоупругости с учетом (1.2.8), (1.2.14) и (1.2.16) состоит из 38 уравнений: (1.2.1),37(1.2.2),(1.2.9)и(1.2.11),(1.2.28)-(1.30)относительнонеизвестныхiiiiiu i , vi , wi , ij , ij , T , E , B , H , D , j , e .Далее ограничимся частной моделью - изотропными проводниками, под которыми будем понимать среду, обладающую следующими физическими характеристиками:ijk  0,  ijk  0, eij  g ij , ij  e g ij ,  ij  g ij ,  ij  T g ij ,C ijkl  g ij g kl    g ik g jl  g il g jk .(1.2.31)где  и  e - коэффициенты диэлектрической и магнитной проницаемости; и T - коэффициенты температурных напряжений и теплопроводности;  и  упругие постоянные Ламе; g ij - компоненты метрического тензора.При этом физические соотношения (1.2.28) и (1.2.29) записываются следующим образом:D  E, B  eH ,(1.2.32)ij  I1 gij  2ij  T gij , I1  ii  divu .(1.2.33)Преобразуются также и уравнения электродинамики (1.2.9) и (1.2.11):rot E  e H4 E4, rot H j, divE  e ,c tcc t(1.2.34)j  (E e[ v, H 0 ]  T gradT )  e 0 v, T  T T ,c(1.2.35)дополнительное соотношение (1.2.14)F  Fe  e 0 E  e E0 e([ j0 , H]  [ j, H 0 ]) ,c(1.2.36)а также уравнение (1.2.30)cTT T0 I1 2 e T E0 , E  [ j, H 0 ]   T ,t t c (1.2.37)где  - оператор Лапласа.При изотермических процессах  T  0  в изотропных проводниках уравнение(1.2.37) отбрасывается, а соотношения (1.2.33) и (1.2.35) упрощаются:38ij  I1gij  2ij ,j  (E e[ v, H 0 ])  e 0 v .c(1.2.38)(1.2.39)Таким образом, в этом варианте модели электромагнитоупругой среды, которая и будет рассматриваться далее, замкнутая система уравнений состоит из уравнений (1.2.1), (1.2.34) с учетом равенств (1.2.2), (1.2.36), (1.2.38) и (1.2.39) относительно неизвестных u i , vi , wi , ij , ij , E i , H i , j i , e .