Диссертация (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 11

ограниченное решение следующейкраевой задачи: 2GHLFGHLF2 LF ke GH    z    ,z 2z 0.(2.2.20)z 0Решение задачи (2.2.2) при m  0 и (2.2.8) записываем так:HLF0 q, z, s    GHLF  q, z, , s  f HLF0  q, , s  d   e2GHLF0  q, z, s  h0LF  q, s  ,(2.2.21)0где GHLF0 - поверхностная функция Грина, т.е. ограниченное решение следующей краевой задачи: 2GHLF0GHLF02 LF ke GH 0  0,z 2z 1.(2.2.22)z 0Аналогично (2.2.19) и (2.2.21) может быть записано решение задач (2.2.2),(2.2.11) и (2.2.12).

Они подробно будут рассмотрены в § 2.9.63§ 2.3. Функции Грина для электромагнитной полуплоскостиСначала находим решение краевой задачи (2.2.20) [80,66]. Общее решение соответствующего однородного уравнения согласно (П.8.2) записывается так:GHLF  C1eke z  C2 e ke z .(2.3.1)Здесь C1 и C2 - произвольные постоянные. Для частного решения GHLF неоднородного уравнения они являются функциями координаты z , и их производныеудовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений:C1( z )eke z  C2 ( z )e ke z  0,(2.3.2)C1( z )keeke z  C2 ( z )kee ke z    z   .Ее решение имеет вид:C1( z )   z    e ke z2 ke, C2 ( z )    z    e ke z2 ke.Интегрируя эти равенства [66,69], приходим к следующему результату:H  z    e keH  z    eke,C1  z  , C2  z   2 ke2 ke(2.3.3)где H  z  - функция Хевисайда.Таким образом, в соответствии (2.3.1) и (2.3.3) частное и общее решения уравнения в (2.2.19) записываются так:GHLF 1  ke  z  ke  z  ee H  z   ,2 ke GHLF  C1eke z  C2e ke z  GHLF .(2.3.4)(2.3.5)Из условия ограниченности решения на бесконечности следует, что должновыполняться равенство:LFHlim Gz  ke z eke  z   lim  C1e   0 ,z 2keоткуда находимe  ke .C1  2 ke(2.3.6)64Вторую постоянную определяем из граничного условия в (2.2.20), используяравенства (2.3.4) - (2.3.6):e  ke .C2  C1  2 ke(2.3.7)Подставляя (2.3.6) и (2.3.7) в (2.3.5), получаем, что функция Грина имеет следующий вид:GHLF 1  ke  z  ke   z   ke  z  ke  z  eeHzee2ke 1   ke  z   ke   z  k z eeH    z   e e   H  z     2 ke(2.3.8)2 f LF  q, z, s   ke1e zke .(2.3.9)  f LF  q, z  , s   f LF  q, z   , s  ,гдеСоответствующую поверхностную функция Грина [76,86] как решение задачи(2.2.22) с учетом (2.3.1) и условия ограниченности записываем так:GHLF0  Ce ke z .(2.3.10)Входящую в это равенство произвольную постоянную определяем из граничного условия: C  ke1 .

Таким образом, при использовании обозначения искомаяповерхностная функция Грина имеет следующий вид:GHLF0  q, z, s   2 f LF  q, z, s  .(2.3.11)§ 2.4. Электромагнитное поле в движущейся полуплоскостиС целью разработки алгоритма решения связанной задачи, опираясь на формулы (2.2.19) и (2.1.10) – (2.1.12), рассмотрим вспомогательную задачу об определении параметров электромагнитного поля в движущейся по заданному законуu  x, z,   и w  x, z,   полуплоскости z  0 [80,86,66,63].При этом в соответствии с (2.1.3) считаем, что начальные условия однородные:E1 0  E10 E3 0  E30 H 0  H0 0.(2.4.1)65Кроме того, полагаем, что все искомые функции ограничены, а на границе полуплоскости аналогично (2.1.4) задана первая координата вектора напряженностиэлектрического поля:E1 z 0  e0  x,   .(2.4.2)Тогда, согласно принципу суперпозиции и равенствам (2.1.18), (2.2.19),(2.2.21) изображение напряженности магнитного поля определяется так (см.

также(2.2.21)):HLF q, z, s    s  GHLF  q, z, , s  lF u LF  q, , s  , wLF  q, , s  d  2e0(2.4.3) e2GHLF0  q, z, s   s    e0LF  q, s   su LF  q,0, s   .В пространстве оригиналов эта формула с учетом свойств интегральных преобразований [108] приобретают следующий вид (здесь и далее звездочки обозначают свертки по координате x и времени):H  x, z,      GH  x, z , ,   l u  x, ,   , w  x, ,    d  2e0(2.4.4) e2GH 0  x, z,     e0  x,    e0  x,    u  x,0,    .Здесь и далее использовано вытекающее из (2.1.12) и свойств преобразованияФурье соотношение (знак «  » указывает на соответствие между оригиналами иизображениями, см.

§ П.1):lF u F , wF   l  u, w    e 0u ze 0w.x(2.4.5)Ядра представления (2.4.4), как следует из (2.3.11) и (2.3.8), определяются так:GH 0  x, z,    2 f  x, z,   ;(2.4.6)GH  x, z, ,     f  x, z  ,    f  x, z   ,   .(2.4.7)Отсюда следует, что достаточно найти оригинал функции f LF  q, z, s  . Егоопределяем с помощью таблицы П.1.3:1 2e 2 2 2f  x, z,     e2 r 2  ch   e2 r 2  .22(2.4.8)66В силу четности по z этой функции равенство (2.4.7) принимает следующийвид:GH  x, z, ,    f  x, z  ,    f  x,   z,   .(2.4.9)Представления изображений компонент электрического поля строятся с помощью формул (2.1.10) и (2.4.3):LF1E q, z, s   s  GeLF1  q, z, , s  lF u LF  q, , s  , wLF  q, , s  d  0s LFLFLFu  q, z , s   GeLF q,0, s  ,10  q, z , s   s    e0  q , s   sus(2.4.10)LFLF1 GH  q, z , , s  LF1 GH 0  q, z , s G  q, z , , s  , Ge10  q, z , s  ;szszLFe1LF3E q, z, s   s  GeLF3  q, z, , s  lF u LF  q, , s  , wLF  q, , s  d  0sLFLFwLF  q, z , s   GeLF q,0, s  ,30  q, z , s  s    e0  q , s   susiq LFiq LFGeLFGH  q, z , , s  , GeLFGH 0  q , z , s  .3  q, z , , s  30  q, z , s  ss(2.4.11)Отсюда с использованием (2.4.9), (2.4.10) и (2.4.11) получаем явный вид ядерэтих представлений:LFGeLF q, z  , s   f1LF  q, z   , s  sign  z    ,1  q, z , , s   f1LFe10G q, z , s   2 fLF1e zke; q, z , s  s(2.4.12)LFLFGeLF3  q, z , , s   f 3  q, z  , s   f 3  q, z   , s  ,LFe 30G q, z , s   2 fLF3iqe zke. q, z , s    s    ke(2.4.13)В пространстве оригиналов представления (2.4.10) и (2.4.11) аналогично(2.4.4) записываются так:67E1  x, z ,     Ge1  x, z , ,   l u  x, ,   , w  x, ,    d  0u  x, z ,    e   u  x, z ,   (2.4.14)Ge10  x, z ,     e0  x,    e0  x,    u  x,0,    ;E3  x, z ,     Ge3  x, z , ,   l u  x, ,   , w  x, ,    d  0w  x, z ,    e   w  x, z ,   (2.4.15)Ge30  x, z ,     e0  x,    e0  x,    u  x,0,    .Здесь учтены равенства (знак «  » указывает на соответствие между оригиналами и изображениями по Лапласу, см.

§ П.1):s2s11, e .2se s  s s(2.4.16)Ядра представлений (2.4.14) и (2.4.15), как следует из (2.4.12) и (2.4.13), определяются так:Ge1  x, z, ,    f1  x, z  ,    f1  x, z   ,   sign  z    ,Ge3  x, z, ,    f3  x, z  ,    f3  x, z   ,   ;Ge10  x, z, ,   2 f1  x, z,   , Ge30  x, z, ,    2 f3  x, z,   .(2.4.17)(2.4.18)Оригиналы функций f1LF  q, z, s  и f3LF  q, z, s  определяем с помощью таблицы П.1.3:ze 2 2 2f1  x, z ,   ch   e2 r 2  22r  2  e2 r 2  2(2.4.19) 2 sh   e2 r 2   H  t  e r  ;2f3  x, z,    xe 2   22 2 shr  H  t  e r  .er 22(2.4.20)Поскольку функция f1  x, z,   нечетная, а f3  x, z,   четная по z , то, как следует из (2.4.17), имеют место равенства:68Ge1  x, z, ,    f1  x, z  ,    f1  x,   z,   ,(2.4.21)Ge3  x, z, ,    f3  x, z  ,    f3  x,   z,  .Таким образом, представления (2.4.14) и (2.4.15) записываются так:E1  x, z ,    u  x, z ,    e   u  x, z ,   2 f1  x, z ,     e0  x,    e0  x,    u  x,0,    (2.4.22)   f1  x, z  ,    f1  x,   z ,    l u  x, ,   , w  x, ,    d ;0E3  x, z ,    w  x, z ,    e   w  x, z ,    f3  x, z ,     e0  x,    e0  x,    u  x,0,   (2.4.23)   f3  x, z  ,    f 3  x,   z ,    l u  x, ,   , w  x, ,    d .0Оригинал плотности зарядов находится из (2.1.11) с использованием (2.4.16):e  x, z,    l  w  x, z,   , u  x, z,    e  l  w  x, z,   , u  x, z ,   .

(2.4.24)Координаты вектора тока с использованием найденной с помощью (2.4.22) и(2.4.23) напряженности электрического поля вычисляются по формулам, вытекающим из (2.1.8):j1  x, z,    E1  x, z,    H 0  z  w  x, z ,    e0  z  u  x, z ,    ,j3  x, z,    E3  x, z,    H 0  z  u  x, z ,    e 0  z  w  x, z ,    .(2.4.25)Для использования формул (2.4.22) и (2.4.23) расставляем пределы интегрирования в тройных интегралах. С учетом (2.4.8), (2.4.19) и (2.4.20) все они сводятсяк двум структурам:I   x, z ,        x, z , ,   v  x, ,   d  000  dt  d      , z , , t  v  x  , ,   t  d  (2.4.26)  dt     , z , , t  H    v  x  , ,   t  d d  02   x, z , ,      x,   z ,   H    e x 2     z 2.69Вводим полярные координаты  r cos ,   z  r sin       , r  0 и ввиду малости параметра e производим замену переменнойt1  t e , 1   e .Тогда интегралы (2.4.26) преобразуются следующим образом:I   x, z ,    I   x, z ,  e t00I   x, z ,     dt  dr     x, z , ; r , , t  d ,t00I   x, z ,    H    z   dt  dr     x, z , ; r , , t  d ,(2.4.27)   x, z , ; r , , t   e r  r cos , r sin , te   v  x  r cos , r sin z , e    t   H  r sin z .Конкретно, как следует из (2.4.8), (2.4.19) и (2.4.20), первый сомножитель вфункции   x, z, ; r , , t  записывается так:- при   x, z,    f  x, z,  e r  r cos , r sin , te  r t 2 2 2 1 2  e 2 2 e  t  r  ch t r ;2 2- при   x, z,    f1  x, z,  e r  r cos , r sin , t  et 2 sin 22t  ch  e t 2  r 2   esh  e t 2  r 2   ; 2  t 2  e2 r 2  2- при   x, z,    f3  x, z,  e r  r cos , r sin , t   eet 2 cos   e 2 2 sh t  r .22В качестве примера рассмотрим алюминиевую ( e  0,111 104 ;   5,06 )[112] полуплоскость со следующими начальным состоянием и граничным условием: e 0  z    z  1 и e0  x,    0 .170На рис.