Диссертация (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 12

2.4.1 а,б и 2.4.2 а,б приведены соответственно зависимости от временинапряженности H магнитного и координаты E3 вектора напряженности электрического полей для следующих законов движения: а) w  0, u  xze z  ; б)u  0, w  xze z  . Сплошные кривые соответствуют x  z  0 ; штриховые -x  z  0,5 ; штрихпунктирные - x  z  1.Рис. 2.4.1 а71Рис. 2.4.1 бРис. 2.4.2 а72Рис. 2.4.2 б§ 2.5. Поверхностные функции Грина для упругой полуплоскостиЗадачи (2.2.14) и (2.2.15) для поверхностных функций влияния достаточно подробно исследованы (см., например, [108,109,171]).

Однако обычно основноевнимание уделяется значениям этих функций на границе полуплоскости. В товремя при использовании интегральных соотношений (2.2.16) необходимы ихзначения при любых z  0. Подобное решение в явном виде для задачи Лэмбапостроено в [142].Поскольку методы построения этих функций схожи, то ограничимся толькофункциями GuLF02  q, z, s   GuLF0  q, z, s  и GwLF02  q, z, s   GwLF0  q, z , s  [76,48], что соответствует отсутствию касательных перемещений в граничных условиях (2.1.4)или (2.1.5):U 0  x,    0 .При этом соотношения (2.2.13) записываются так:(2.5.1)73u0LF (q, z, s)  GuLF0  q, z, s W0LF  q, s  , w0LF  q, z, s   GwLF0  q, z, s W0LF  q, s  .

(2.5.2)Общие решения систем уравнений (2.2.14) и (2.2.15) в соответствии с (П.8.10)имеют следующий вид  l  1,2  : zk  q 2 , s 2 zk  q 2 , s 2   k2  q 2 , s 2   B1l e 2 B2l e 2, zk1  q 2 , s 2 zk1  q 2 , s 2   zk2  q 2 , s 2 zk2  q 2 , s 2  22  k1  q , s  A1l e A2l e iq B1l e B2l e,GuLF0l  iq  A1l eGwLF0l zk1 q 2 , s 2 A2l ezk1 q 2 , s 2(2.5.3)k1  q, s   s  q , k2  q, s   s2  q , Re   0,где Ajl  Ajl  q, s  и B jl  B jl  q, s  j  1,2 - произвольные функции.Удовлетворяя условиям ограниченности и граничным условиям при z  0 в(2.2.14) и (2.2.15), находим необходимые поверхностные функции Грина:iqk2  q 2 , s 2    k1 q2 ,s2  z  k2  q2 ,s 2  z G  q, z , s   ee,R  q 2 , s 2  LFu0LFw0G q, z , s   k1  q 2 , s 2  k2  q 2 , s 2  e k1 q 2 , s 2 z q 2eR  q2 , s2  k2 q 2 , s 2 z,(2.5.4)R  q, s   q  k1  q, s  k2  q, s  .Для вычисления оригиналов эти изображения представляем так:LFLFLFGuLF0  iqG130, GwLF0  sG331 iqG332,(2.5.5)гдеLF130GLF331GGLF131 G ,GLF132LF131k2  q 2 , s 2 Rq , sk1  q 2 , s 2  k2  q 2 , s 2 sR  q 2 , s 2 2e2e k1 q 2 , s 2 z k1 q 2 , s 2 zLF132,GLF, G332k2  q 2 , s 2 Rq , s22e k2 q 2 , s 2 z, k2  q 2 , s 2  ziqe.R  q2 , s2 Тогда в соответствии со свойствами преобразований [108] аналог равенств(2.5.2) в пространстве оригиналов имеет следующий вид (звездочки обозначаютсвертки по координате x и времени, а штрих - производную по x ):u0  x, z,    G130  x, z,   W0  x,   ,w0  x, z,    G331  x, z,   W0  x,    G332  x, z,   W0  x,  .(2.5.6)74Ядра интегральных представлений (2.5.6) находим, применяя алгоритм совместного обращения преобразований Лапласа и Фурье, основанный на использовании аналитического представления оригинала [108,171].

Согласно этому алгоLFритму с помощью замены q  s представляем, например, функцию G131так [40]:LFG131 q, s, z   s 1h13 ()e s1 ( ) ,h13 ()  k2   2 ,1 R 1   2 ,1 , 1 ()  zk1   2 ,1.(2.5.7)Тогда для оригинала этой функции имеет место равенство (черта сверху – знаккомплексного сопряжения):G131  x, z,    lim Gˆ131  , z,    Gˆ131  , z,   ,y 0(2.5.8)где1Gˆ131  , z,     h13 1  ,   1  ,   , 1  ,   1  ,   z 2- аналитическое представление функции G131  x, z,   в комплексной плоскости  x  iy , а 1  ,   - неявно задаваемая уравнениемz 12  1  z  i1  (2.5.9)и выделяемая с помощью условий1z 0 (  0), 1 ()  1 (), 1 (0)  10  z  02  1(2.5.10)на действительной оси Re 1  0 плоскости 1 ветвь функции.Аналогично [142] с использованием обозначенийlim f     f   x  , t11    z, r  x 2  z 2y 0(2.5.11)можно показать, что имеют место равенства:221isignx( z r  t11  t11 x ) при t11  r ,1  2 r  z t 2  r 2  it xпри t11  r ;1111(2.5.12)75 1211 12  2221 t11 z  x r  t11 при t11  r , 2r t z  ix t 2  r 2 при t  r ;1111 11(2.5.13)i  r 2  t 2 1 2 signx при t  r ,111112  1 1 21  t112  r 2 при t11  r ;(2.5.14)при t11  r ,1T1  x, z , t11 r2  S1  x, z, t11   iS1  x, z , t11  signx при t11  r ,(2.5.15)гдеS1  x, z , t  1r 2  S1  x, z , t  2 r 2   Q1  x, z , t  ,2S1  x, z , t  tT1  x, z , t  Q1  x, z , t   2 x zt r 2  t 2  2r 4 .2 z 2   22Q1  x, z , t   4 r 4 , Q1  x, z , t   t 2 x 2  z 2  t 2  r 2  ,2Из (2.5.12) - (2.5.15) вытекают следующие связи предельных значений:- при t11  r1  1 , 12  12 , 1  1 ,  212 21212  1 , h 113 12  1 ,  h13  1  ;(2.5.16)- при t11  r1  1 , 12  12  r 4 1  x, z , t11  , 1  1 ,     1   r   x, z , t  ,           r   x, z , t12  121221211121112212111  ,r 2  21  x, z , t11 h13 (1 )  h13 (1 )  ,1  x, z , t11   11  x, z , t11   21  x, z , t11 где(2.5.17)761  x, z, t   2ixzt t 2  r 2  Q1  x 2 , z 2 , t 2  ,11  x, z, t   zt  ix t 2  r 2 ,  21  x, z , t   S1  x, z , t   iS1  x, z , t  signx.Окончательно из (2.5.8) с учетом (2.5.16) и (2.5.17) получаем следующий ориLFгинал функции G131:G131  x, z,    V131  x, z,   H    r  ,V131  x, z,    1 2  r 2Re 21  x, z,   11  x, z ,  , 1  x, z,    11  x, z,    21  x, z ,   (2.5.18)где H  x  - единичная функция Хевисайда.LFДля отыскания оригинала функции G132используются аналогичные рассуж-дения, основанные на формуле (2.5.8), в которой Ĝ131 заменяется аналитическимпредставлением Ĝ132 :LFG132 q, s, z   s 1h13 ()e s2 ( ) , 2 ()  zk2   2 ,1 ,1Gˆ132  , z,     h13  2  ,     2  ,   ,  2  ,     2  ,   z  ;2z  22  2  z  i 2  ,2z 0 (  0), 2  2(2.5.19)(2.5.20)2 ()  2 (), 2 (0)  20  z  0.При этом формулы (2.5.12) - (2.5.15) переходят в следующие соотношения: 22 221isignx( z  r  t21  t21 x ) при t21  r , 2r  z t 2  2 r 2  it xпри t21  r;21212   2 222 221t21 z  x  r  t21 при t21  r , 2r t z  ix t 2  2r 2 при t  r ;1121 21i  2 r 2  t 2 1 2 signx при t  r ,2121 2 2  2 1 2  t212  2 r 2 при t21  r;(2.5.21)(2.5.22)(2.5.23)7722  1 S2  x, z , t21   iS2  x, z , t21  signx при t21  r ,1 2 iT2  x, z, t21  signx при t21  r ,  x, z   D31  t21  ,r при t21  r ,  x, z   D32  t21  .T2  x, z , t21 (2.5.24)ЗдесьS 2   x, z , t  1r 2  S 2  x, z , t  r 2   Q2  x, z , t  ,2S 2  x, z , t  t2 2 z 2   2Q2  x, z , t   r 4 ,2t21    z , Q2  x, z , t   t x  z  t   r  ,2 2T2  x, z , t  D32  t21   D321  t21 22(2.5.25)2 2Q2  x, z , t   2 x zt 2r 2  t 2  r 4 ; x  z 2  1  t  r ,21D322  t21  , D31  t21  :  z  x 2  1,r2 t21  x  x2 2  1,tD321  t21  : r 2  max  , x t21  , D322  t21  :  x2 x2  x   1.(2.5.26)2212Равенства (2.5.21) - (2.5.24) позволяют сделать вывод, что при t21  r справедливы формулы 2   2 ,  22   22  r 4 3  x, z, t21  ,  2   2 , 22  2  22  2 r 2 32  x, z, t21  ,(2.5.27)где3  x, z, t   2 x zt 2r 2  t 2  Q2  x 2 , z 2 , t 2  ,32  x, z, t   zt  x 2 r 2  t 2 .Если дополнительно  x, z   D32  t21  , то 22  1 2 22  1Если же t21  r и  x, z   D31  t21  , то2, h13   2   h13   2  .(2.5.28)78 22  1  22  1 ir 2T2  x, z, t21  signx, h13   2   h13   2  .

(2.5.29)При t21  r из (2.5.21) - (2.5.24) вытекают такие равенства: 2   2 ,  22   22  r 4 2  x, z, t21  ,  2   2 , 22  1  22  1  r 212  x, z, t21  , h13   2   h13   2 ,(2.5.30)где 2  x, z, t   2ixzt t 2  2 r 2  Q2  x 2 , z 2 , t 2  ,  22  x, z, t   zt  ix t 2  2r 2 ,12  x, z, t   S2  x, z, t   iS2  x, z, t  signx.Окончательно, учитывая (2.5.27) -(2.5.30), получаем следующий оригиналLFфункции G132:G132  x, z,    V132  x, z ,   H    r   V133  x, z ,     H   x  z 2  1  H    r   H x 2  1  z .(2.5.31)Здесь 222  x, z ,  V132  x, z ,    Re, 2  x, z ,    12  x, z ,    22  x, z ,   2  2 r 212 32 x, z ,  V133  x, z ,   Im. 3  x, z ,    iT2  x, z ,    32  x, z ,   signx 2 r 2  2signxЯдро первого равенства в (2.5.6) в соответствии с формулами (2.5.5) находитсясуммированием функций (2.5.18) и (2.5.31):G130  x, z,    G131  x, z,    G132  x, z,   .(2.5.32)Аналогичным образом находятся оригиналы функций1LFG331 q, s, z   s 1h331 ()e s1 ( ) , h331 ()  k1  ,1 k2  ,1 R 1  ,1 ,1LFG332 q, s, z   s 1h332 ()e s2 ( ) , h332 ()  iR 1  ,1.Они записываются так:(2.5.33)79G331  x, , z   V331  x, , z  H    r  ,G332  x, z ,    V332  x, z ,   H    r   V333  x, z ,   (2.5.34)  H   x  z 2  1  H    r   H x 2  1  z ,гдеV333  x, , z   1 2 r 2  2Im33  x, z,    32  x, z,  ,3  x, z,    isignxT2  x, z,   32  x, z,  33  x, z,    z 2r 2  2   x ;V332  x, , z   1 2  2 r 2Im 23  x, z ,    22  x, z ,  , 2  x, z ,    12  x, z ,    22  x, z ,   23  x, z,    z 2  2 r 2  ix.В качестве примера рассмотрим полуплоскость, материал которой характеризуется безразмерным параметром   1,87 .