Диссертация (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 13

На рис. 2.5.1 – 2.5.3 приведены графики изменения функций влияния G130 , G331 и G332 соответственно по координате xпри z  1 в разные моменты времени: сплошная линия соответствует   1.1, точечная -   1.5 , а пунктирная -   2. Рис. 2.5.4 – 2.5.6 демонстрируют распределение этих же функций по координате z в разные моменты времени. Графики дляG130 , G331 построены при x  0 , а для G332 - при x  1 . На первом из них сплошнаялиния соответствует   0.3 , точечная -   0.7 , а пунктирная -   1 .

На рис. 2.5.5аналогичные линии построены соответственно при   1.1,   1.5 и   2 , а нарис. 2.5.6 – при   2 ,   2.5 и   3 . Разрывы на кривых соответствуют фронтамволн растяжения-сжатия и сдвига.80Рис. 2.5.1Рис. 2.5.281Рис. 2.5.3Рис. 2.5.482Рис. 2.5.5Рис. 2.5.683§ 2.6. Объемные функции Грина для упругой полуплоскостиАналогичными, но более сложными являются задачи (2.2.17) и (2.2.18) дляобъемных функций Грина [91]. Для определения функций GuLFи GwLF1 сводим1уравнения в (2.2.17) к системе первого порядка и в соответствии с (П.8.11) записываем ее общее решение так:G1LF  XA1  G1LF , G1LFLFul GuLF1  GuLF1  A11  LF  LF A u1  LF  u1  LF , G1  LF , A1   21  , Gw1  Gw1  B11  LF  LF   B21  w1  w1 (2.6.1)GulLFGwlLFLF,  wl  l  1,3 .zzЗдесьG1LF  q, z, , s   XD1 , D1   D11 , D21 , D31 , D41 T(2.6.2)- столбец частных решений, который находим методом вариации постоянных(учитываем, что коэффициент при старшей производной в первом уравненииравен 2 ):XD1  F1 , D1   D11 , D21 , D31 , D41 ,  , F1   0, 2   z    ,0,0  ,TTD j1  q, z, , s    H 2 j  q, , s  H  z    , H ij  X1X ij  i, j  1, 2,3, 4  ,(2.6.3)где X ij  q, , s  - алгебраическое дополнение элемента матрицы X  q, , s  , расположенного в i -й строке и j -м столбце.Функции D j1  q, z, , s  в (2.6.3) находим с помощью формул (П.8.13) и(П.8.15):D11  q, z, , s  D31  q, z , , s  iqek1iqe k1Hz,Dq,z,,sH  z  , 21 2s 2 k12s 2 k1k2  k2 (2.6.4)eeH  z    , D41  q, z , , s    2 H  z    .22s2sТогда в соответствии с (2.6.1) и (2.6.2) частные решения принимают следующий вид:84LFGuLF1  q, z , , s   Gu1  q , z , , s  H  z    ,GwLF1  q, z , , s   GwLF1  q, z , , s  H  z    ,LFu1G1 q, z, , s   2sGwLF1  q, z , , s   q2 sh  k1  z      k2 sh  k2  z      , k1(2.6.5)iqch  k1  z      ch  k2  z     .s2Для удовлетворения условиям ограниченности строим асимптотическое представление при z   фундаментальной матрицы X (здесь и далее знак эквивалентности для матриц понимается поэлементно):X 0, x e2k1 z, 0, x4 ek2 z  , x 2   iq, iqk1 , k1 , k12  , x4   k2 , k22 , iq, iqk2  .

(2.6.6)TTА уже из него при дополнительном учете (2.6.1), (2.6.2) и (2.6.4) получаем соответствующие асимптотические равенства для функций влияния:LF1Giqe k1 A21  22s k1 k1 z e  k2  x2 e   B21  22s k2 z x4 e .(2.6.7)Таким образом, функции влияния будут ограниченными только при выполнении следующих равенств:A21  2 22 2iq1e k1 ( q , s )  , B21  2 e k2 ( q , s )  .2222k1 (q , s ) s2s(2.6.8)Далее равенство (2.6.1) перегруппировываем так: GuLF A11  A21   GuLF131311Xq,z,sXq,z,s LF 13B 24 B   LF  H  z    ,G11 21   Gw1  w1  iqeX1313  q, z , s    k1 z k1e k1 z 13 iqe,Xq,z,s24k1 ziqe k2 z  k1ek2 e k2 zk1 z.iqek2 z k2 ek2 z(2.6.9)Отсюда и из граничных условий в (2.2.17) вытекает следующая система алгебраических уравнений: A11  A21 X13 X1313  q,0, s  24  q,0, s  0BB 11  21 Решая ее, находим остальные две постоянные:(2.6.10)85R1 (q 2 , s 2 ) R (q 2 , s 2 ) A21  2iqk2 (q 2 , s 2 ) B21  ,A11   222  1s P(q , s )(2.6.11)R1 (q 2 , s 2 ) 2iqk1 (q 2 , s 2 ) A21  R1 (q 2 , s 2 ) B21  ,B11  222 s P(q , s )гдеR1 (q, s)  q  k1 (q, s)k2 (q, s), P(q, s)  1  2  q  2s .Окончательно из (2.6.5), (2.6.8), (2.6.9) и (2.6.11) получаем следующие равенLFства для функций GuLF1 и Gw1 :LFLFGuLF1  q, z , , s   G110  q , z , , s   G111  q , z , , s  H    z  LF G111 q, , z, s  H  z    ,(2.6.12)LFLFGwLF1  q, z , , s   G310 q, z, , s   G311 q, z , , s  H    z  LF G311 q, , z, s  H  z    .ЗдесьLF110Gq 2 P1 (q 2 , s 2 )  z   k1 ( q2 , s 2 )1 4 LFLF  G110 j , G1101  q, z , , s    2e,2 j 1s k1 (q 2 , s 2 )LFG1102 q, z, , s   s 2 k2 (q 2 , s 2 ) P1 (q 2 , s 2 )e  z   k2 ( q 2 , s 2 )LFG1103 q, z, , s   s 2 q 2 k2 (q 2 , s 2 ) P3 (q 2 , s 2 )e  zk1 ( q2,(2.6.13), s ) k2 ( q , s )222,LFLFG1104 q, z, , s   G1103 q, , z, s  ;LFG1111 2 LFq2   z  k1 ( q 2 , s 2 )LFG,Gq,z,,se,111 j1111 2 j 1s 2 k1 (q 2 , s 2 )LFG1112 q, z, , s  LFG3102(2.6.14)2k2 (q , s )   z  k2 ( q2 , s 2 )e;s22 21 4 LFLFG310 j , G3101 q, z, , s   iqs 2 P1 (q 2 , s 2 )e z k1 ( q , s ) ,2 j 1LFG3102 q, z, , s   iqs 2 P1 (q 2 , s 2 )e  z   k2 ( q 2 , s 2 ),(2.6.15)LFG3103 q, z, , s   iqs 2 k1 (q 2 , s 2 )k2 (q 2 , s 2 ) P3 (q 2 , s 2 )e  zk1 ( qLFG3104 q, z, , s   iq 3 s 2 P3 (q 2 , s 2 )ek1 ( q2, s 2 )  zk2 ( q 2 , s 2 );2, s 2 ) k2 ( q 2 , s 2 ),86LF311G1 2 LF  G311 j ,2 j 1(2.6.16)2 22 2iqiqLFLFG3111 q, z, , s    2 e z k1 ( q ,s ) , G3112 q, z, , s   2 e z k2 ( q ,s ) ,ssгдеR12 (q, s)2 R ( q, s ).P1  q, s  , P3  q, s   1sP(q, s)sP(q, s)Для определения функций GuLF3 и GwLF3 также сводим уравнения в (2.2.18) к системе первого порядка и аналогично (2.6.1) записываем ее общее решение так:G3LF  XA 3  G3LF , G3LF GuLF3  GuLF3  A13  LF  LF A u 3  LF  u 3 , G3 , A 3   23  .LFLF Gw3  Gw3  B13  LF  LF   B23   w3   w3 (2.6.17)Столбец частных решенийG3LF  q, z, , s   XD3 , D3   D13 , D23 , D33 , D43 , T(2.6.18)подобно (2.6.3) находим методом вариации постоянных:XD3  F3 , D3   D13 , D23 , D33 , D43 ,  , F3   0,0,0,   z     ,TTD j 3  q, z, , s    H 4 j  q, , s  H  z    .(2.6.19)Функции D j 3  q, z, , s  находим с помощью формул (П.8.14) и (П.8.15):ek1e k1D13  q, z , , s   2 H  z    , D23  q, z , , s    2 H  z    ,2s2siqek2 iqe k2 D33  q, z , , s    2 H  z    , D43  q, z , , s    2 H  z    .2 s k22s k2(2.6.20)Тогда в соответствии с (2.6.18) и (2.6.20) частные решения принимают следующий вид:GuLF3  q, z , , s   GuLF3  q, z , , s  H  z    ,GwLF3  q, z, , s   GwLF3  q, z, , s  H  z    , GuLF3  q, z , , s   GwLF1  q, z , , s  ,LFw3G1q2 q, z, , s   2 k1sh k1  z     sh k2  z    .s k2(2.6.21)87Учитывая теперь (2.6.6), (2.6.17), (2.6.18) и (2.6.20), получаем следующиеасимптотические равенства для функций влияния:e k1A 232s 2G 3LF k1 z iqe k2xeB 23 22 s 2 k2 k2 z x4 e .(2.6.22)Таким образом, функции влияния будут ограниченными только при выполнении следующих равенств:e k1 ( q , sA23 2s 222)iqe k2 ( q , s ) ., B23  22 s k2 (q 2 , s 2 )22(2.6.23)Далее подобно (2.6.9) равенство (2.6.17) перегруппировываем так: GuLF3  A13  A23   GuLF3 1313 LF   X13  q, z, s     X24  q, z, s     LF  H  z    .BBG 13  23   Gw3  w3 (2.6.24)Отсюда и из граничных условий в (2.2.18) вытекает аналогичная (2.6.10) система алгебраических уравнений: A13  A23 X13 X13  0.13  q,0, s  24  q,0, s  BB 13  23 (2.6.25)Для записи ее решения, очевидно, необходимо в (2.6.11) заменить постоянныеA11 , A21 , B11 и B21 величинами A13 , A23 , B13 и B23 :R1 (q 2 , s 2 ) R (q 2 , s 2 ) A23  2iqk2 (q 2 , s 2 ) B23  ,A13   222  1s P(q , s )R1 (q 2 , s 2 ) 2iqk1 (q 2 , s 2 ) A23  R1 (q 2 , s 2 ) B23  .B13  222 s P(q , s )(2.6.26)Тогда из (2.6.23), (2.6.24), (2.6.21) и (2.6.26) получаем следующие равенствадля функций GuLF3 и GwLF3 :LFLFGuLF3  q, z , , s   G130 q, z, , s   G131 q, z , , s  H    z  LF G131 q, , z, s  H  z    ,LFw3G q, z, , s   G  q, z, , s   G  q, z , , s  H    z  LF G331 q, , z, s  H  z    .LF330LF331(2.6.27)ЗдесьLFLFG130 q, z, , s   G310 q, , z, s  ;(2.6.28)88LFLFG131 q, z, , s   G311 q, z, , s  ;LFG330LF3302G(2.6.29)1 4 LF  z   k1 ( q 2 , s 2 )LF22222G,Gq,z,,ssk(q,s)P(q,s)e, 330 j 3301112 j 1q 2 P1 (q 2 , s 2 )  z   k2 ( q 2 , s 2 ), q, z, , s    2 2 2 es k2 ( q , s )LFG3303 q, z, , s   q 2 s 2 k1 (q 2 , s 2 ) P3 (q 2 , s 2 )e  zk1 ( q(2.6.30)2, s 2 ) k2 ( q 2 , s 2 ),LFLFG3304 q, z, , s   G3303 q, , z, s  ;LF331Gk1 (q 2 , s 2 )   z  k1 ( q2 , s 2 )1 2 LFLF  G331 j , G3311  q, z , , s  e,2 j 1s2(2.6.31)q2   z  k2 ( q 2 , s 2 )LFG3312q,z,,se.s 2 k2 (q 2 , s 2 )Отметим, что, как следует из (2.6.12) и (2.6.27), построенные функции влиянияимеют симметрию следующего вида:LFLFGuLF1  q, z , , s   Gu1  q, , z , s   Gu1   q, z , , s  ,GwLF3  q, z, , s   GwLF3  q, , z, s   GwLF3  q, z, , s  ,GuLF3  q, z, , s   GwLF1  q, , z, s   GwLF1  q, z, , s  .LFLFLFОбращение преобразований Фурье и Лапласа для функций G1111, G1112, G3111,LFLFLFG3112, G3311и G3312проводится последовательно с использованием таблиц исвойств этих преобразований (см.