Диссертация (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 9

Уравнения осесимметричного движения среды в сферической системе координатЗдесь в качестве системы координат будем использовать сферическую систему координат:1  r , 2  , 3    r  0, 0    ,        ,(1.5.1)48Полагаем, что движение является симметричным относительно оси Oz , чтосоответствует следующим компонентам вектора перемещения:ur  u  r , , t  , u  v  r , , t  , u  0, .(1.5.2)где O - центр сферической системы координат; er , e , e - ее базис; z  cos  ;u  uer  ve .В этом случае механическая часть (1.2.1), (1.2.2), (1.2.38) соотношений электромагнитоупругости принимает следующий вид:- уравнения движения 2 u rr 1  r 2   2rr      r ctg   Fr ,trr  2 v 1   2  r     3r       ctg   F ,trr  (1.5.3)где Fe  Fr er  Fe  Fe , kl  k , l  r , ,  - физические компоненты тензора напряжений;- связь деформаций с перемещениямиu1  v1,     u  ,    u  vctg  ,rr  r1  v 1  ur     v   ,  r  0,   0,2  r r   rr I1 (1.5.4)u 1  v   2u  vctg  ;r r  - связь напряжений с деформациямиrr  I1  2rr ,   I1  2 ,   I1  2 ,r  2r , r    0.(1.5.5)Очевидными условиями осесимметричного движения при этом являются следующие равенства для внешней силы (силы Лоренца, см.

также (1.2.14)):F  0, Fr  Fr  r , , t  , F  F  r , , t  .(1.5.6)Подобным требованиям должны удовлетворять и характеристики электромагнитного поля:49E  E0  0, Er  Er  r , , t  , E  E  r , , t  ,E0 r  E0 r  r ,   , E0  E0  r ,   ,(1.5.7)H r  H 0 r  H   H 0   0, H   H  r , , t  , H 0  H 0  r ,  .При этом электромагнитная часть (1.2.34), (1.2.36), (1.2.39) соотношений электромагнитоупругости принимает следующий вид:- уравнения Максвеллаe H E1    rE  Er 1   rH  4,j  e  ,r  r c tr rcc t E1   H sin   4jr  e r ,(1.5.8)r sin cc tEr 1  E 4  E ctg  2 Er  e , e  e  r , , t  , e 0  e 0  r ,   ,r r  cjr  jr  r , , t  , j  j  r , , t  , j0 r  j0 r  r ,   , j0  j0  r ,   ;- сила Лоренцаe j0 H  j H 0  ,cF  e 0 E  e E0  e  j0 r H  jr H 0  ;cFr  e 0 Er  e E0 r (1.5.9)- закон ОмаHjr    Er  e 0cHj    E  e 0cv u e 0,t tu v e 0 , j  j0  0;t t(1.5.10)Физические компоненты векторов электрической и магнитной индукций, какследует из (1.2.32), связаны с компонентами напряженностей электрического имагнитного полей так:Dr  Er , D  E , D  0, Br  B  0, B  B  e H .(1.5.11)Соответствующие осесимметричной задаче уравнения (1.2.40), (1.2.42) и(1.2.43), записываются следующим образом:- уравнения относительно координат вектора напряженности электрическогополя50 24  2  e2EcNENEuHvee  11  r 12    e00 2 r,2tttc 24  2 2 v  e H 0u  , 2   e  E  ce  N 21  Er   N 22  E   2  e0t  t c t(1.5.12)где1  1 2N11  2 2, sin   , N 21  r sin    r r 1    1 1  2  N12     sin  , N 22  2  r;r sin    r r r r  r (1.5.13)- уравнение относительно компоненты напряженности магнитного поля 2  HH  ce2  H  2 2   2  e t  tt r sin   t4  c  2    re 0 v    e 0u   2    ruH 0    vH 0    r  e t 2  r t 2  r  (1.5.14)- уравнения ЛамеI 2u2 2       1   u  2trr 1 vsinu sin     Fr , v    I11  uv   2    v  2  2  2     F ,tr r   sin    2(1.5.15)где1r2  2  1   rsin . rrsin (1.5.16)Уравнения (1.2.47) и (1.2.49) относительно скалярных потенциалов сохраняютсвой вид, а уравнения (1.2.48) и (1.2.50) относительно векторных потенциаловпереходят в скалярные уравнения 2e 2 2   e   e  ce   e  2 2    e ,t r sin   t(1.5.17)2  2c2  .t 2r 2 sin 2   (1.5.18)При этом в силу равенств (1.5.2), (1.5.6) и (1.5.7) необходимо положить51 r     0,      r , , t  ,     r , , t  , er   e  0,  e   e  r , , t  , e  e  r , , t  , er   e  0,  e   e  r , , t  ,  e   e  r , , t  ,(1.5.19) r     0,      r , , t  ,     r , , t  .Дополнительная формула (1.2.44) для плотности зарядов при этом записывается так:1 2  2 r  e 0 u  e H 0 v      e  e   2r r t  c t1 2 e 0 v  e H 0u  sin  .r sin  t  c(1.5.20)Скалярная форма представлений (1.2.45) и (1.2.46) приобретает следующийвид:Er ue1 1  e sin  , E   e   re  ;r r sin  r   r1 1    sin  , v     r  .r r sin  r   r(1.5.21)(1.5.22)Электромагнитные параметры начального состояния, согласно (1.2.12) и(1.5.7), должны быть связаны между собой следующими равенствами:  rE0   E0 r1   rH 0  4 0,  j0  js 0  ,rr rc1   H 0 sin   4 j0 r  js 0 r  ,r sin cE0 r 1  E0   E0 ctg  2 E0 r   0 e ,rr  E0 r 4E0  4js 0 r ,js 0  , j0 r  E0 r , j0   E0  .tt(1.5.23)Далее в дополнение к безразмерным параметрам (1.4.23), где k , l r , ,  , полагаемr   r L , v  v L .(1.5.24)52Тогда равенства (1.5.4), (1.5.21) и (1.5.22) сохраняют свой вид, а безразмернаяформа соотношений (1.5.3), (1.5.5), (1.5.8) - (1.5.12), (1.5.14) (1.5.15), (1.2.47),(1.5.17), (1.2.49), (1.5.18) и (1.5.23) записывается так:- уравнения движенияrr 1  r  2rr       r ctg   Fr ,rr  1  v  r     3r       ctg   F ;rr  u(1.5.25)- связь напряжений с деформациямиrr  I1  1     rr ,   I1  1      ,  I1  1     , r  1     r ;(1.5.26)- уравнения Максвелла1    rE  Er   H ,r  r 1   rH 1   H sin   e2  j  E  , e2  jr  Er  ,r rr sin 21   r Er 1   sin E  e ;r2rr sin (1.5.27)- сила ЛоренцаFer   e 0 Er  e E0 r    j0 H  j H 0   ,Fe   e 0 E  e E0    j0 r H  jr H 0   ;(1.5.28)- закон Омаjr  Er  H0v  e0u  , j  E  H 0u  e0 v  ;(1.5.29)- связь компонентов векторов электрической и магнитной индукций с компонентами напряженностей электрического и магнитного полейDr  Er , D  E , B  H ;(1.5.30)- уравнения относительно координат вектора напряженности электрическогополя (операторы N ij , по-прежнему, определяются равенствами (1.5.13))532e  Er  Er   N11  Er   N12  E   e2 e 0u  H 0v  ,2e  E  E   N 21  Er   N 22  E   2e  H 0u  e 0v  ;(1.5.31)- уравнение относительно компоненты напряженности магнитного поляe2  H  H   H Hr sin 2 2    re 0 v    e 0u   e2    ruH 0    vH 0   e;r  r r  r 2(1.5.32)- уравнения Ламе1  I1 2u  1  2  1  2 u  2r   r   1 vsinu sin     Fr ,11  I1 1  uv  v  1  2  1  2  v  2  2  2     F ;r      r   sin    (1.5.33)- уравнения относительно потенциалов напряженности электрического поля иперемещенийe  e  e , e   e 1  e  2 e 2    e ,2 e r sin       ,1    2 2    ;2  r sin  (1.5.34)(1.5.35)(1.5.36)(1.5.37)- связь электромагнитных параметров в начальном состоянии  rE0   E0 r1   rH 0  0,  e2   j0   js 0   ,rr r1   H 0 sin   e2   j0 r  js 0 r  ,r sin E0 r 1  E0   E0 ctg  2 E0 r   0 e ,rr  E0 r  js 0 r , E0   js 0  , j0 r  E0 r , j0   E0  ;(1.5.38)54- формула (1.5.20) для плотности зарядовe  e  1  21  r  e 0u  H 0 v   e 0 v  H 0u  sin  .2r rr sin   (1.5.39)Отметим также, что согласно (1.2.54) и (1.2.55) потенциалы внешних силдолжны удовлетворять следующим уравнениям:21   r Fr 1   2 F sin  ;rrr sin   1    rF  Fr  .2r sin r  r 2(1.5.40)(1.5.41)Кроме того, из (1.2.56) и (1.2.57) аналогично (1.2.47) и (1.5.18) можно получить следующие уравнения относительно коэффициента объемного расширения иненулевой компоненты удвоенного вектора вращения 2ω  e (см.

также (1.5.40)и (1.5.41)):2 21   r Fr 1 2c, F sin   ;1eet 2r 2 rr sin   2 2  1    rF  Fr  c2    2 2   e , e  .2tr sin  r  r (1.5.42)(1.5.43)Их безразмерные аналоги записываются так:21   r Fr 1     e , e  2 F sin   ;rrr sin  1 1    rF  Fr ,.ee2 r 2 sin 2  r  r (1.5.44)(1.5.45)При этом функции  и  согласно (1.2.56) и (1.2.57) связаны с перемещениями так:21 r u1 1    rv  u  2 . v sin  ,   rrr sin  r  r (1.5.46)55Глава 2Нестационарные волны в электромагнитоупругой полуплоскости§ 2.1.

Электромагнитоупругая полуплоскость под действием нестационарных поверхностных возмущенийВ рамках построенной в главе 1 модели изотропных проводников в прямоугольной декартовой системе координат рассматриваем движение электромагнитоупругой полуплоскости z  0 [81,64,86,89,73,46]. Соответствующая замкнутаясистема безразмерных уравнений состоит из уравнений (1.4.31) относительнонапряженности H магнитного поля (или (1.4.30) и (1.4.32) относительно координат E1 , E3 вектора напряженности электрического поля) и перемещений u , w .При этом правые части уравнений (1.4.32) задаются равенствами (1.4.27), деформации ij , напряжения ij , координаты j1 , j3 вектора плотности тока - соотношениями (1.4.4), (1.4.25), (1.4.28), а ненулевая координата H вектора напряженности магнитного поля и плотность зарядов e – первым и четвертым равенствами в(1.4.26).Полагаем, что начальное электромагнитное поле является стационарным иудовлетворяет следующим условиям:E01  0, E03  E0  z  , H 0  H 02  z  ,(2.1.1)чему в силу (1.4.35) отвечают равенства (штрихом здесь и далее обозначенапроизводная по координате z ) .E0  e0 , j03   js 03  E0 , j01  0, e2 js 01   H 02(2.1.2)В начальный момент времени среда находится в невозмущенном состоянии,что согласно (1.3.2) и (1.3.3) соответствует равенствамu 0  u 0  w 0  w 0  E1 0  E10 E3 0  E30 H 0  H0 0.(2.1.3)Полагаем, что все искомые функции ограничены, а на границе полуплоскостизаданы нестационарные возмущения вида (1.3.4), (1.3.5).