Диссертация (786059), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

При этом компоненты B i иD i векторов электрической и магнитной индукций находятся с помощью равенств(1.2.32).Количество неизвестных можно уменьшить, если из (1.2.34) и (1.2.39) исключить H и j : 22 2   e  E  ce    graddiv  E  f  w  ,t  t(1.2.40)4 2 c 24   e e , ce , f w [ w , H 0 ]  e 0 w  .e   c(1.2.41)гдеИз (1.2.34) и (1.2.40) вытекает еще одно разрешающее уравнение относительновектора напряженности магнитного поля: 2  HH c ce2  rotf  w  , 2  e tttte(1.2.42)Оно может быть проинтегрировано по времени. Но при этом необходимо учитывать начальные условия, что будет сделано ниже при рассмотрении двумерныхпроцессов в конкретных системах координат.Также стандартным образом равенства (1.2.1), (1.2.2) и (1.2.38) сводятся куравнению Ламе: 2u 2       graddivu  u  Fe .t(1.2.43)39Кроме того, построим еще одно полезное представление для плотности зарядов.

А именно, используя последнее равенство в (1.2.34) и уравнение (1.2.40),получаем следующее равенство:  24   2 div 2 e E ee  t 2t tt (1.2.44) div ce2 rotrotE  f  w    divf  w  .Уравнения (1.2.40) и (1.2.43) иногда удобнее свести к эквивалентной системенезависимых уравнений. С этой целью поля перемещений и напряженности электрического поля представляются в виде:E  grade  rotψe , divψe  0 ,(1.2.45)u  grad  rotψ, divψ  0 ,(1.2.46)где e и  - скалярные, а ψ e и ψ векторные потенциалы.Подставляя (1.2.45) в (1.2.40) получаем уравнения 2 2   e  e   e ,t  t(1.2.47) 22 2   e  ψ e  ce ψ e  Ψ e , divψ e  0 .t  t(1.2.48)Аналогично из (1.2.43) с помощью (1.2.46) находим2 c12    ,2t(1.2.49)2ψ c22 ψ  Ψ, divψ  0 ,2t(1.2.50)гдеc12   2 2 , c2  .(1.2.51)При выводе уравнений в потенциалах использованы следующие представления:f  w   grade  rotΨe , divΨe  0 ;Fe  grad  rotΨ, divΨ  0 .(1.2.52)(1.2.53)40По известному вектору Fe потенциалы  и Ψ могут быть найдены следующим образом.

Применяем к равенству (1.2.53) операторы div и rot :divFe  divgrad  , rotFe  rotrotΨ  graddivΨ  Ψ .Следовательно, потенциалы  и Ψ должны удовлетворять таким уравнениям:  divFe ;(1.2.54)Ψ  rotFe .(1.2.55)Из (1.2.43) также вытекают уравнения движения относительно коэффициентаобъемного расширения   I1 и удвоенного вектора вращения ω : 2 21cdivFe ,   divu ;1t 2 2ω1 c22 ω  rotFe , ω  rotu .2t(1.2.56)(1.2.57)§ 1.3. Основные типы дополнительных условий для электромагнитоупругих телДля выделения частных решений указанных систем уравнений, как правило,необходимы дополнительные условия, то есть формулировка соответствующихначально-краевых задач на пространственно-временном четырехмерном множестве G  t  t0  , где G - геометрическая область с границей G , t0 - начальныймомент времени. Далее везде будем полагатьt0  0 ,(1.3.1)и ограничимся основными типами дополнительных условий для электромагнитоупругих тел [128,204], разделяя их на механическую и электромагнитнуюсоставляющие.Начальные условия- механическая частьu t 0  u1 , v t 0  v1- электромагнитная часть M G ;(1.3.2)41E t 0  E1 , Et 0 E2 , H t 0  H1 , Ht 0 H2  M  G  ,(1.3.3)где u1 , v1 , E1 , E2 , H1 , H2 - заданные функции геометрической точки M .Граничные условия (область G ограничена; ν  i ei - единичный вектор внешней нормали к границе G области G )- механическая часть ( G  u ; части границ  u и   могут пересекать-ся только по множеству меры нуль)u   U, ij  j eiu b  t  t0  ;(1.3.4) H ; части границ  E и  H могут пере-- электромагнитная часть ( G   Eсекаться только по множеству меры нуль)E   e, H   h  t  t0  ,E(1.3.5)Hгде U, b , e, h - заданные на соответствующих поверхностях функции.В том случае, когда граница состоит из одной части, в условиях (1.3.4) и(1.3.5) остается только одно соответствующее равенство.Если область G неограниченна, то должны быть заданы условия на бесконечности.

Таковым, далее везде будет полагаться ограниченность искомых функций.§ 1.4. Уравнения плоского движения среды в прямоугольной декартовойсистеме координатЗдесь в качестве системы координат будем использовать прямоугольную декартову систему координат:1  x, 2  y, 3  z  x, y, z .(1.4.1)Полагаем, что движение происходит в плоскости Oxz (плоская задача), чтосоответствует нулевому перемещению в перпендикулярном направлении и независимости искомых функций от координаты y :u1  u  x, z, t  , u2  0, u3  w  x, z, t  .(1.4.2)В этом случае механическая часть (1.2.1), (1.2.2), (1.2.38) соотношений электромагнитоупругости принимает следующий вид:42- уравнения движения 2u 11 13 2 w 13 33 2  F1 ,  2  F3 ;txztxz(1.4.3)- связь деформаций с перемещениямиuw1  u w , 33 , 13   ,xz2  z x u w 22  0, 12  0,  23  0, I1 ;x z11 (1.4.4)- связь напряжений с деформациями11  I1  211 , 33  I1  233 ,13  213 , 22  I1 , 12  23  0.(1.4.5)Очевидными условиями плоского движения при этом являются следующиеравенства для внешней силы (силы Лоренца, см.

также (1.2.14)):F2  0, F1  F1  x, z, t  , F3  F3  x, z, t  .(1.4.6)Аналогичные требования накладываются и на характеристики электромагнитного поля:E2  E02  0, E1  E1  x, z , t  , E3  E3  x, z , t  ,E01  E01  x, z  , E03  E03  x, z  ,(1.4.7)H1  H 01  H 3  H 03  0, H 2  H  x, z , t  , H 02  H 0  x, z  .При этом электромагнитная часть (1.2.34), (1.2.36), (1.2.39) соотношений электромагнитоупругости принимает следующий вид:- уравнения Максвелла H EE1 E3H 4 e,j1  e 1 ,zxc tzcc t E E EH 44j3  e 3 , 1  3 e ,xcc t xzcj1  j1  x, z , t  , j3  j3  x, z , t  , j01  j01  x, z  , j03  j03  x, z  ,e  e  x, z , t  , e 0   e 0  x, z  ;- сила Лоренца(1.4.8)43e j03 H  j3 H 0  ,cF3  e 0 E3  e E03  e  j01 H  j1 H 0  ;cF1  e 0 E1  e E01 (1.4.9)- закон Ома H w uj1    E1  e 0 e0 ,c t t H u wj3    E3  e 0, j2  j02  0;  e 0c t t(1.4.10)Компоненты векторов электрической и магнитной индукций, как следует из(1.2.32), связаны с компонентами напряженностей электрического и магнитногополей так:D1  E1, D3  E3 , D2  0, B1  B3  0, B2  B  e H .(1.4.11)Соответствующие плоской задаче уравнения (1.2.40),(1.2.42) и (1.2.43), записываются следующим образом:- уравнения относительно координат вектора напряженности электрическогополя 24  2 2EcNENE u  e H 0w  ,e12  3   2 1 e  11  1 2  e0t  t c t 24  2 e2EcNENEwH 0u  ,e3e211223e0 22 t  t c t(1.4.12)где222N11  2 , N12  N 21  , N 22  2 ;zxzx(1.4.13)- уравнение относительно компоненты напряженности магнитного поля 2  HH ce2  2  e tttt   H 0u    H 0 w     4ce2    e 0u    e 0 w   2 e .t  c  zx xz 2- уравнения Ламе(1.4.14)44I1I 2u2 w 2     u  F1 ,  2       1  w  F3 ,txtz(1.4.15)22 2  2.xz(1.4.16)гдеУравнения (1.2.47) и (1.2.49) относительно скалярных потенциалов сохраняютсвой вид, а уравнения (1.2.48) и (1.2.50) относительно векторных потенциаловпереходят в скалярные уравнения 22 2  e  ce  e   e ;et  t(1.4.17)2 c22    .2t(1.4.18)При этом в силу равенств (1.4.2) (1.4.6) и (1.4.7) необходимо положить e 2   e  x, z, t  ,  e1   e3  0,     x, z, t  , 2    x, z, t  , 1   3  0, e  e  x, z , t  , e 2   e  x, z, t  ,  e1   e3  0,,  e   e  x, z, t  ,(1.4.19) 2    x, z, t  , 1   3  0,     x, z , t  .Дополнительная формула (1.2.44) для плотности зарядов при этом записывается так:   e 0 u     e 0 w   e     H 0 u    H 0 w     .

(1.4.20)e  et zc  zx   t xСкалярная форма представления (1.2.46) приобретает следующий вид:u  , w.x zz x(1.4.21)Электромагнитные параметры начального состояния, согласно (1.2.12), (1.4.7)и (1.4.11), должны быть связаны между собой следующими равенствами:45E01 E03H 0 4H4 0, j03  js 03  ,  0   j01  js 01  ,zxxczcE01 E03 40 e , j01  E01 , j03  E03 ,xz44 E  E1 js 01 ,  3  js 03 .  t 0 t 0(1.4.22)Далее везде будем использовать следующие безразмерные параметры (приодинаковом начертании величин они обозначены штрихом, который в последующем изложении опускаем):ctxzuw, z   ,   1 , u   , w  ,   2 ,    2 ,LLLLLLLH e c14e LBcH , B  1 , e ,   2 ,    2 ,cEcEEc1c1x e e Leee L,,,,eeeEc12E LE LEc12kl (1.4.23)klEDjFL, Ek  k , Dk  k , jk  k , Fk  k k , l  1, 2,3 ,  2EEE  2 L 4Lc1c1E2 , , e  ,  , e ,c2  2ce4    2 c1c1где L и E - некоторые характерные линейный размер и напряженность электрического поля.Тогда равенства (1.4.4) и (1.4.21) сохраняют свой вид, а безразмерная формасоотношений (1.2.49), (1.4.3), (1.4.5), (1.4.8) - (1.4.12), (1.4.15), (1.4.18) и (1.4.22)записывается так (точками здесь и далее обозначены производные по безразмерному времени  ):- уравнения движенияu11 13 F1 , w  13  33  F3 ;xzxz(1.4.24)- связь напряжений с деформациями11  I1  1    11 , 33  I1  1    33 ,13  1    13 , 22  I1 ;(1.4.25)46- уравнения МаксвеллаE1 E3H H , e2  j3  E3  ,zxxE EH e2  j1  E1  , 1  3  e ;zxz(1.4.26)- сила ЛоренцаF1   e 0 E1  e E01    j03 H  j3 H 0  ,F3   e 0 E3  e E03    j01 H  j1 H 0  ;(1.4.27)- закон Омаj1  E1  H 0 w  e0u  , j3  E3  H 0u  e0 w  ;(1.4.28)- связь компонент векторов электрической и магнитной индукций с компонентами напряженностей электрического и магнитного полейD1  E1 , D3  E3 , B  H ;(1.4.29)- уравнения относительно координат вектора напряженности электрическогополя (операторы N ij , по-прежнему, определяются равенствами (1.4.13))e2  E1  E1   N11  E1   N12  E3   e2  e 0u  H 0 w  ,  E3  E3   N 21  E1   N 22  E3     H 0u  e 0 w  ;2e2e(1.4.30)- уравнение относительно компоненты напряженности магнитного поля   e 0u    e 0 w   H 0w 2    H 0u e2  H  H   H  e2   e  (1.4.31)zxxz- уравнения Ламе1  I11  I1u  1  2  1  2 u  F1 , w  1  2  1  2 w  F3 ;   x    z (1.4.32)- уравнения относительно потенциалов поля перемещений     ,1   ;2(1.4.33)(1.4.34)47- связь электромагнитных параметров в начальном состоянииE01 E03H 0H 0 0, 2e   j03  js 03  ,  2e   j01  js 01  ,zxxz(1.4.35)E01 E03 0 e , j01  E01 , j03  E03 ,  E1   js 01 ,  E3   js 03 ;00xz- формула (1.4.20) для плотности зарядовe  e     H 0u    H 0 w     e 0u     e 0 w .xzx  z(1.4.36)Кроме того, из (1.2.56) и (1.2.57) аналогично (1.2.47) и (1.4.18) можно получить следующие уравнения относительно коэффициента объемного расширения иненулевой компоненты удвоенного вектора вращения 2ω  e2 :F F2 c12   e , e  1  3 ;2txz(1.4.37)F1 F32 2.c,2eet 2zx(1.4.38)Их безразмерные аналоги записываются так:    e , e F1 F3;x z(1.4.39)F F1  e , e  1  3 .2zx(1.4.40)При этом функции  и  согласно (1.2.56) и (1.2.57) связаны с перемещениями так:  u, w  u wu w,   u, w  .x zz x(1.4.41)§ 1.5.

Характеристики

Список файлов диссертации