Диссертация (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 10

Поскольку, как будетясно из дальнейшего изложения, алгоритмы решений начально-краевых задач дляразличных вариантов граничных условий идентичны, то далее ограничимся рас-56смотрением кинематических возмущений и одной из координат вектора напряженности электрического поля:u z 0  U 0  x,   , w z 0  W0  x,   , E1 z 0  e0  x,   ,(2.1.4)илиu z 0  U 0  x,   , w z 0  W0  x,   , E3 z 0  e30  x,   .(2.1.5)Для решения указанной задачи будем использовать экспоненциальное преобразование Фурье по координате x и преобразование Лапласа по времени (соответствующие обозначения см.

в § П.1) с учетом условий (2.1.3).В пространстве преобразований соотношения (1.4.26) – (1.4.28) с учетомпредположения (2.1.1) записываются так:E1LF iqE3LF   sH LF ,  iqH LF  e2  j3LF  sE3LF  ,zH LFE3LF2LFLF e  j1  sE1  , iqE1LF  eLF ;zz(2.1.6)F1LF   e0 E1LF    E0 H LF  H 02 j3LF  , F3LF    e0 E3LF  E0e  H 02 j1LF  ; (2.1.7)j1LF  E1LF  s  H 02 wLF  e0 u LF   , j3LF  E3LF  s  H 02u LF  e0 wLF   .(2.1.8)В качестве основных неизвестных функций принимаем перемещения инапряженность магнитного поля.

При условииH0  0 .(2.1.9)для изображений компонент напряженности электрического поля и плотностизарядов, как следует из (2.1.6), (2.1.8) и (1.4.36), справедливы следующие равенства: s   E2eLF1H LF se2u LF , e2  s    E3LF   se2 wLF  iqH LF ;z s    eLF  slF  wLF , u LF  ,(2.1.10)(2.1.11)гдеlF  w, u    e 0 wz iqe 0u .(2.1.12)57Соответствующие разрешающие уравнения вытекают (1.4.31) и (1.4.32) приучете (2.1.7): 2 H LF ke2 H LF  e2 slF  u LF , wLF  ;2z(2.1.13)s 2u LF  l11q  u LF   l12 q  wLF   g1q  E1LF , H LF  ,2s wLF l21q  uLF  l  w   g  ELF22 q3qLF3,LFe.(2.1.14)Здесь приняты следующие обозначения (см. также (П.8.2)):ke  q, s   se2e2  q 2 , se  s  s    ;1  2u 2u q 22l11q  u   2 2  q u , l22 q  u   2  2 u , zz1  ul12 q  u   l21q  u   iq 1  2  ;   zg1q  E1 , H   e0 E1  E0 H , g3q  E3 , e   e0 E3  E0e .(2.1.15)(2.1.16)(2.1.17)При этом граничные условия (2.1.4) или (2.1.5) с учетом (2.1.10) переходят вследующие равенства:uLFz 0ULF0 q, s  , wLFz 0WLF0H LF q, s  ,z e2h0LF  q, s  ,z 0(2.1.18)h0LF  q, s    s    e0LF  q, s   sU 0LF  q, s  ,илиuLFz 0ULF0 q, s  , wLFz 0WLF0 q, s  , HLFz 0ie2 LFh30  q, s  ,q(2.1.19)h30LF  q, s    s    e30LF  q, s   sW0LF  q, s .В последнем варианте в силу второго равенства в (2.1.10) функции W0LF  q, s и e30LF  q, s  должны быть связаны между собой так: s    E3LF  0, s   swLF  0, s  .(2.1.20)Таким образом, необходимо найти ограниченное решение краевой задачи(2.1.13), (2.1.14), (2.1.18) или (2.1.19).

В силу линейности уравнений и граничныхусловий это решение можно построить. Однако структура изображений будет58такова, что аналитическое определение оригиналов невозможно. Покажем это напримере одномерной задачи [54,55,57] (более подробно она будет рассмотрена в §2.9). В этом случае все искомые функции не зависят от координаты x и, крометого,u  0, E1  0 .(2.1.21)При этом необходимо положить q  0 (соответственно остается только преобразование Лапласа). Вытекающие из (2.1.10), (2.1.13) и (2.1.14) нетривиальныеуравнения записываются так ( E3  E ): s    E L  e0 swL ,s 2 wL   wL     E0 E L  .(2.1.22)Эта система сводится к одному уравнению: w   s wL2L b  e 0 E0 wL   0, b  s  s    , g 0  e 0 E0 .(2.1.23)Рассмотрим несколько частных случаев.А. Начальное электростатическое поле однородно ( E0  const ).

Тогда в силусоотношения (2.1.2) e 0  0 , что приводит к несвязанности задачи.Б. Начальная плотность зарядов равномерно распределена по глубине полуплоскости ( e0  const ). Тогда, согласно (2.1.2), E0  e0 z  C , где C - некотораяпостоянная (полагаем, например, C  0 ), и уравнение (2.1.23) преобразуется квиду: w   b  s  z  w   sLL12 b1  s  wL  0, b1  s   b  s  e20 .(2.1.24)Оно с помощью введения новой функции v     wL  z, s  , где   z b1  s  , переходит в следующее равенство:d 2v 1 2 s2s.   p    v  0, p  1 12d 2 4b1  s   s    e20Его фундаментальная система решений образуется функциями параболического цилиндра D p    и D p    [111]. Следовательно, фундаментальная системарешенийуравнения(2.1.24)состоитизфункцийD p z b1  s и59D p  z b1  s  .

Поскольку индекс p и аргумент этих функций сложным образомзависит от параметра преобразования Лапласа, то найти оригинал решения уравнения в аналитическом виде не представляется возможным.В. Произведение e 0 E0 не зависит от z . Для определенности положимe0 E0  C 2 / 2 , где C - некоторая постоянная. Тогда, используя (2.1.2), получаем,что E0  C z  C1 , 2e 0  z   Cz  C1 , где C1 - некоторая постоянная. При этомуравнение (2.1.24) принимает вид:2 2 wL b  s  C wL s 2 wL  0 .2z2z(2.1.25)Функции, входящие в его фундаментальную систему решений, имеют болеепростой, чем в варианте Б, вид, а именноe 1  , e s z2  s  z, 1,2  s  sC 2   2C 4   s   2  .4  s    Однако вид показателей экспонент опять не позволяет найти оригиналы аналитически.Вероятно, можно подобрать такую функцию параметров начального поля, которые позволят найти оригиналы в явном виде.

Однако для произвольных начальных полей необходимо применять другие подходы, один из которых и будет использован в следующем параграфе.§ 2.2. Представление решения методом малого параметраВ качестве подхода к решению поставленной § 2.1 задачи в случае произвольных начальных полей будем использовать метод малого параметра, которымявляется указанный в (1.4.23) безразмерный коэффициент связи между полями  .Для этого представляем искомые функции виде степенных рядов по данномупараметру:60u  x, z ,     um  x, z ,    , w  x, z ,     wm  x, z ,    m ,mm 0m 0H  x, z ,     H m  x, z ,    m ,  e  x, z ,      m  x, z ,    m ,m 0(2.2.1)m 0E1  x, z ,     E1m  x, z ,    , E3  x, z ,     E3m  x, z ,    m .mm 0m 0Подставляя их изображения в (2.1.13), (2.1.14), получаем уравнения для изображений коэффициентов этих рядов: 2 H mLF ke2 H mLF  e2 slF  umLF , wmLF 2z m  0 ;s 2u0LF  l11q  u0LF   l12q  w0LF  , s 2 w0LF  l21q u0LF   l22q  w0LF  ,s 2umLF  l11q  umLF   l12 q  wmLF   g1q  E1,LFm 1 , H mLF1  ,2LFms w l21q  uLFm  l w   g E22 qLFmLF3, m 13q,LFe , m 1  m  1.(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)Коэффициенты рядов (2.2.1) для остальных компонент электро-магнитногополя в соответствии с (2.1.10) и (2.1.11) определяются равенствами s   E2eLF1mH mLF se2umLF , e2  s    E3LFm   se2 wmLF  iqH mLF ; (2.2.5)z s    mLF  slF  wmLF , umLF  .(2.2.6)Аналогичная процедура, примененная к граничным условиям (2.1.18), приводит к следующим равенствам:u0LFz 0 U 0LF  q, s  , w0LFH 0LFzwmLFz 0z 0 W0LF  q, s  ; e2 h0LF  q, s  ;(2.2.7)(2.2.8)z 0 umLFH mLFzz 0 0  m  1 ; 0  m  1 .(2.2.9)(2.2.10)z 0В случае граничных условий (2.1.19) соотношения (2.2.8) и (2.2.10) записываются так:61HLF0 z 0H mLFie2 LFh30  q, s  ;q(2.2.11) 0  m  1 .(2.2.12)z 0Соотношения (2.2.2), (2.2.4), (2.2.9), (2.2.10) (или (2.2.12)) являются рекуррентной последовательностью краевых задач с начальным условием в виде краевых задач (2.2.3), (2.2.7) и (2.2.2), (2.2.8) (или (2.2.11)) при m  0 .

Причем их решения должны быть ограничены.Задача (2.2.3), (2.2.7) является чисто упругой. Ее решение записываем так:u0LF  q, z, s   GuLF01  q, z , s U 0LF  q, s   GuLF02  q, z , s W0LF  q, s  ,w0LF  q, z, s   GwLF01  q, z , s U 0LF  q, s   GwLF02  q, z , s W0LF  q, s (2.2.13)где GuLF0k  q, s  , GwLF0k  q, s   k  1,2  - поверхностные функции Грина, т.е. ограниченные решения следующих краевых задач:s 2GuLF01  l11q  GuLF01   l12 q  GwLF01  ,2 l21q  GLFw 01LFu 01sG  l G  , G22 qLFw 01LFu 01 z 0 1, GLFw 01 z 0 0;s 2GuLF02  l11q  GuLF02   l12 q  GwLF02  ,s 2GwLF02  l21q  GuLF02   l22 q  GwLF02  , GuLF02z 0 0, GwLF02z 0 1.(2.2.14)(2.2.15)Решение задачи (2.2.4), (2.2.9) удобно представить в интегральном виде ( m  1 ):uLFm q, z, s    GuLF1  q, z, , s  f1,LFm 1  q, , s  d  0  GuLF3  q, z , , s  f3,LFm 1  q, , s  d ,0wmLF  q, z , s    GwLF1  q, z , , s  f1,LFm 1  q, , s  d  0  GwLF3  q, z , , s  f 3,LFm 1  q, , s  d ,0гдеLF LFf1,LFm 1  q, , s   g1q  E1, m 1  q, , s  , H m 1  q, , s   ,f3,LFm 1  q, , s   g3q  E3,LFm 1  q, , s  , eLF, m 1  q, , s   .(2.2.16)62LFLFLFЗдесь GuLF1 , Gw1 и Gu 3 , Gw3 - объемные функции Грина, т.е.

ограниченныерешения следующих краевых задач:LFLFs 2GuLF1  l11q  Gu1   l12 q  Gw1     z    ,LLFs 2GwL1  l21q  GuLF1   l22 q  Gw1  , Gu1s 2GuLF3  l11q  GuLF3   l12 q  GwLF3  , GuLF3s G  l21q  G2Lw3LFu3z 0 GwLF1z 0z 0 GwLF3z 0  l G     z   ,22 q 0;(2.2.17) 0,Lw3(2.2.18)где   z  - дельта-функция Дирака.Аналогичным образом записывается решение задачи (2.2.2), (2.2.10):HLFm q, z, s    GHLF  q, z, , s  f HmLF  q, , s  d ,0(2.2.19)LFf Hm q, , s   e2 slF umLF  q, , s  , wmLF  q, , s  .Здесь GHLF - объемная функция Грина, т.е.