Диссертация (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 6

Yang в работе [239].Достаточно обширна библиография, посвящённая решению статических задач для канонических конечных и бесконечных тел и областей, а так же посвящённая стационарным задачам электро-магнитоупругости. Для ряда канонических областей решения статики были получены аналитически. Так в работе [121]построено точное решение статической задачи магнитоупругости для ферромагнитного тела со сферической полостью, в [222] дано аналитическое решениезадачи электроупругости с начальным кручением.

В работе Подильчука Ю.Н.[159] исследованы задачи для таких термоэлектроупругих тел, у которых граничная поверхность соответствует координатным поверхностям в системах, допускающих разделение переменных в трехмерных уравнениях Лапласа, что позволило найти точные аналитические решения в статической постановке при различныхнагрузках и граничных условиях. В статье [158] рассмотрена задача о напряжен-26ном состоянии однополосного гиперболоида вращения. Использовано представление общего решения уравнений статической электроупругости через четырепотенциальные функции, каждая из которых является гармонической в заданнойсистеме координат.

Решение получено в виде суммы четырех частных решений.В статьях [133,135] Кирилюк В.С. и Левчук О.И.рассмотрели связь междустатическими задачами упругости и электроупругости. Причём результат дляэлектроупругой задачи в случае пьезоэлектрика удалось получить без непосредственного решения, но с использованием результатов для соответствующей упругой задачи.

Решение связанной задачи о перемещении жёсткого эллиптическогодиска в пьезоэлектрическом пространстве под действием приложенной силывдоль оси поляризации получено в аналитическом виде в [134].В работах [33,190] сформулированы вариационные принципы и вытекающиеиз них основные типы задач стационарной электроупругости. Аналитически решены некоторые задачи о вынужденных колебаниях пьезокерамических тел простой геометрии в одномерной постановке (стержни, цилиндры, полые шары).Исследованы электромеханические характеристики пьезокерамических преобразователей в зависимости от электрических краевых условий и их геометрии. Вболее поздней работе [195] Шульга Н.А. и Ратушняк Т.В. рассмотрели магнитоупругое движение пьезоэлектрической среды.Изучением распределения электроупругих полей прямого пьезоэффекта в полуплоскости с эллиптическим отверстием под действием точечного электрического заряда на границе полуплоскости и механических усилий на границе полостизанимались Космодамианский А.С., Кравченко А.П.

[139].Численный анализпоказал, что влияние прямолинейной границы оказывается существенным дляраспределения электрического и упругого полей в случае, если расстояние междуконтуром и границей становится меньше диаметра контура. В статье БабешкоВ.А. [22] развита математическая теория смешанных краевых задач для электроупругих кристаллов. Методом преобразования Фурье стационарная задача дляполуограниченной области сложной формы сводится к решению систем двумерных интегральных уравнений.27Как видно из перечисленных выше работ, библиография по нестационарнымсвязанным задачам электромагнитоупругости достаточно ограничена и в своёмбольшинстве посвящена прежде всего температурным, магнитным и пьезоэффектам.

Так же невелико среди них число работ по указанной тематике, доведённыхдо законченных аналитических или численно-аналитических результатов.В комплексе работ Бабаева А.Э. и соавторов [5-21] и в работе Савина В.Г.,Моргуна И.О. [163] достаточно подробно изучены вопросы нестационарноговзаимодействия тонкостенных и толстостенных пьезопреобразователей цилиндрической и сферической формы с акустическими средами. Для тонкостенныхэлементов используется модель Кирхгофа-Лява. Основным из методов решенияявляется использование преобразования Лапласа по времени с удовлетворениемграничным условиям в области оригиналов и с последующим сведением к уравнению Вольтерра, решение которого находится в ряде задач в виде степенногоряда.

В задаче о радиальных нестационарных колебаниях полой пироэлектрической сферы с учётом связанных электро- и термомеханических эффектовDingH.J., Wang H.M., Chen W.Q. [205] воспользовались методом разделения переменных и также свели задачу к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода, которое решалось методом интерполяции.В статье Селезова И.

[167] рассмотрена связанная модель феррогидродинамики сплошных сред применительно к задачам, описывающим распространениевозмущений в намагничиваемой среде. Она включает в себя гиперболическоеуравнение для потенциала скоростей, гиперболическое уравнение для температуры и эллиптическое уравнение для потенциала магнитного поля.В комплексе работ Шульги Н.А., Григорьевой Л.О. [191-194] и ГригорьевойЛ.О. [113] нестационарная задача для пьезокерамического слоя решена сначаламетодом характеристик. Затем для случая поперечных колебаний слоя проанализирована эволюция связанного электромеханического деформирования при однородных механических и электрических граничных условиях.Доказано, чтоначальные условия необходимо задавать только для механических неизвестных.Метод характеристик в сочетании с методом последовательных приближений28развивается авторами на случай, когда пьезокерамический слой подвергаетсядвустороннему как механическому, так и электрическому воздействию.

В аналогичных задачах для полого цилиндра [114,115] данный подход оказался невозможен. При этом полученные системы уравнений решались с помощью явных инеявных конечно-разностных схем и методом Рунге-Кутта с последующим ихсравнением.Статьи Ватульяна А.О. [35-37] посвящены настационарным задачам электротермоупругости. В [35] на основе обобщённого преобразования Фурье строятсяфундаментальные решения электроупругости, в [36] для уравнений термоэлектроупругости в квазистатической постановке для пьезоэлектрических тел исследованы свойства решений по времени.

Доказано их экспоненциальное убывание. Водномерном случае построена операторная связь наведённого потенциала тока итеплового потока. В [37] исследованы некоторые закономерности нестационарного движения для уравнений термоэлектроупругости на основе асимптотическогоанализа квадратичной формы операторного уравнения, порождённого краевойзадачей.Работы Сеницкого Ю.Э. [169] и Шляхина Д.А. [187-189] посвящены изучению нестационарного движения толстостенного как неоднородного пьезокерамического цилиндра конечной длины, так и цилиндра с различными направлениямиполяризации.

Эти задачи решены схожими методами: с помощью разложения пособственным функциям в форме структурного алгоритма конечных интегральныхпреобразований по радиусу, а так же с помощью преобразования Фурье на отрезке по осевой координате. В работах [169] и [170] аналогичным методом исследована задача для сплошной круглой пьезокерамической пластины. Электроупругийцилиндр конечной высоты рассматривался в [136,226]. В [136] задача о распространении электромагнитоупругих волн разбивалась на несколько подзадач, каждая из которых сводилась к системе интегро-дифференциальных уравнений.Движение неоднородного электропроводящее упругого тела из идеальногопроводника в магнитном поле исследуется в работе Bytner S., Gambin B.

[201].При таких условиях электромагнитные поля описываются уравнениями Максвел-29ла и модифицированным законом Ома, приведённом в книге Ильюшина А.А.[128]. При этом в уравнениях движения появляется сила Лоренца в качестве массовой силы.К вопросу структуры решения системы дифференциальных уравнений, описывающих линейное взаимодействие электромагнитного поля с неоднороднойупругой средой обратился Романов В.Г. в [162].Основной вклад в это взаимо-действие определяется силой Лоренца. В предположении, что среда являетсяслабым проводником, изучается структура решения задачи Коши в случае, когдавнешняя сила и сторонний ток, действующие на среду сосредоточены в точке.

Впредположении однородности среды в некоторой окрестности приложения источников выписывается отдельно сингулярная и регулярная части решения.Одним из способов нахождения решений нестационарных задач на начальномэтапе времени является метод разложения в ряды в пространстве изображений поЛапласу по величине, обратной параметру преобразования. Такой метод, применительно к связанной задаче электромагнитоупругости для сферической полостив пространстве использовал Aouadi M. в статье [198]. Choudhuri S.K.

Roy и соавторы в [202,203,229] решили одномерную задачу для идеально проводящего магнитотермоупругого полупространства, под действием магнитного поля с вектором напряжённости, направленным вдоль границы полупространства, с постоянной температурой, и нормальной импульсной механической нагрузкой на границе. Задача также, как и в [198], решена с помощью обращения преобразованияЛапласа для малых начальных моментов времени. Показано, что перемещения итемпература непрерывны на упругом волновом фронте, а напряжение и возмущённое магнитное поле имеют скачки. Nandy Sm.