Диссертация (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 2

В качестве примера приведено решение для случая кинематических возмущений.В третьей главе рассматривается процесс распространения нестационарныхосесимметричных волн в электромагнитоупругой толстостенной сфере. Искомыерешения раскладываются в ряды по полиномам Лежандра и Гегенбауэра. Используется преобразование Лапласа по времени и аналогичные главе 2 разложения в ряды по малому параметру. В результате построена разрешающая задачурекуррентная последовательность краевых задач.

Решения для нулевого приближения представляется в виде линейной комбинации правых частей граничныхусловий с коэффициентами в виде поверхностных функций Грина. Для последу-7ющих приближений используются интегральные представления с ядрами в видеобъемных функций Грина.Найдены явные формулы для всех функций Грина. Показано, что для соответствующих электромагнитной части этих функций оригиналы могут быть построены в явном виде, но в силу большой скорости распространения возмущений приопределении их значений возникают значительные вычислительные трудности.Поэтому они заменяются квазистатическими аналогами. Для соответствующихупругой части функций Грина разработан алгоритм, позволяющий точно определять их оригиналы.

Он основан на связи входящих в фундаментальную системурешений функций с элементарными, разложении в ряды по экспонентам (в пространстве оригиналов им соответствуют конечные суммы) и использовании теорем операционного исчисления.Построены решения двух составляющих общую проблему задач: об определении электромагнитного поля по заданному полю перемещений и о движениитолстостенной сферы под действием заданных объемных сил.Аналогично главе 2 построен алгоритм решения связанной задачи для электроманитоупругой толстостенной сферы.

Он использует построенные интегральные представления для перемещений и напряженности магнитного поля. Дляисключения использования численного дифференцирования к ним добавляютсяинтегральные представления для коэффициентов рядов, соответствующих объемному расширению, ненулевой компоненты вектора вращения и скоростей среды.С помощью общего алгоритма подробно проанализирована связанная задача орадиальных колебаниях электромагнитоупругой толстостенной сферы. Приведеносравнение этого решения с результатами, полученными с помощью численногообращения преобразования Лапласа.В главах 4 и 5 рассматриваются геометрически частные случаи исследованнойв главе 3 задачи – нестационарное осесимметричное движение электромагнитоупругих пространства со сферической полостью и шара.

Принципиально решениедля этих двух вариантов может быть получено предельными переходами от результатов главы 3. Однако, как оказалось, этот подход очень громоздок и в силу8этого не гарантирует достоверные результаты. Поэтому задачи для пространства сполостью и для шара рассматриваются независимо.

Соответствующие предельные переходы выполняются по ходу решений для проверки правильности результатов. Подходы к решению этих двух задач подобны использованным методамдля толстостенной сферы. Основное отличие заключается в условии ограниченности решений.

Для его выполнения используются асимптотические свойства решений.Построены решения тех же, как и в главе 3, задач об определении электромагнитного поля в пространстве со сферической полостью по заданному полю перемещений.Приводятся примеры расчетов. В главе 5 дополнительно рассмотрены асимптотические свойства соответствующих упругой части функций Грина в окрестностях нулевых значений пространственных аргументов.В приложении приводятся таблицы оригиналов некоторых, не вошедших вшироко известные справочники изображений преобразований Лапласа, одномерного экспоненциального преобразования Фурье и совместного преобразованияЛапласа-Фурье.

Большинство формул сопровождается необходимыми выкладками. Далее выводятся общие решения уравнений электромагнитного поля и теорииупругости в сферической системе координат. Решения записываются с учётомсвойств модифицированных функций Бесселя и представления перемещенийчерез их потенциалы. Исследованы свойства фундаментальных решений уравнений электромагнитного поля и фундаментальных решений уравнений теорииупругости в сферической системе координат с вычислением необходимых длянаписания решения вронскианов и дополнительных миноров. Далее рассматриваются свойства матрицы граничных условий для уравнений теории упругости всферической системе координат, возникающей при построении функции влиянияв главе 3.

Затем доказываются свойства симметрии функций Грина в сферическойсистеме координат. Они используются при нахождении функций влияния в главах3, 4 и 5. Далее исследуются асимптотические свойства фундаментальных решенийв сферической системе координат. В приложении также строятся общие решения9уравнений электромагнитного поля и теории упругости в прямоугольной декартовой системе координат.Целью работы является развитие направления механики нестационарноговзаимодействия электромагнитных и механических полей в упругих проводящихтелах, включающее постановки и исследование новых задач, а так же совершенствование некоторых известных методов решения нестационарных связанныхзадач электромагнитоупругости.Актуальность работы в теоретическом плане связана с малой исследованностью проблемы.

С практической точки зрения она объясняется широким распространением в различных областях авиационной, космической и других видахтехники проводящих материалов и покрытий, подвергающихся воздействию какмеханических, так и электромагнитных полей. С целью совершенствования работы устройств, выполненных из проводящих материалов, и увеличения их долговечности возникает необходимость в уточнении имеющихся приближённых постановок и методов решения проблемы взаимодействия механических и электромагнитных полей.Методы исследования. Использовался аппарат линейной теории упругости всовокупности с уравнениями электродинамики Максвелла.

Для построения решений применялся метод малого параметра, преобразования Лапласа и Фурье, аппараты функций Грина и обобщённых функций. Для нахождения оригиналов преобразования Лапласа использовались методы компьютерной алгебры.Научная новизна работы состоит в постановке и построении решений нового класса двумерных связанных нестационарных задач электромагнитоупругостипроводящих тел канонической формы, находящихся под действием поверхностных и объёмных нагрузок. Впервые предложен и реализован основанный на использовании малого параметра метод решения этих задач.Получены решения новых нестационарных связанных плоских и осесимметричных задач электромагнитоупругости в прямоугольной декартовой и сферической системах координат. Впервые построены нестационарные поверхностные и10объемные функции Грина для электромагнитной и упругой полуплоскостей дляпроизвольных точек по глубине.Доказаны новые утверждения о структуре нестационарных осесимметричныхобъемных функций Грина в сферической системе координат.

С их помощью построены нестационарные объемные функции Грина для электромагнитных иупругих толстостенной сферы, пространства со сферической полостью и шара.Впервые получено решение нестационарных двумерных задач для тел указаннойгеометрии о деформировании под действием объемных сил и об определенииэлектромагнитного поля по заданным перемещениям.Достоверность и обоснованность результатов подтверждается тем, что всерезультаты получены на базе модификации известных моделей механики деформируемого твёрдого тела и электродинамики с использованием апробированныхметодов решения начально-краевых задач и строго доказанных утверждений.Кроме того, систематически использовалась проверка результатов с помощьюпредельных переходов от общих случаев к частным.

Для одномерных задач всферической системе координат проведено сравнение аналитических результатовс численным решением. В совокупности с известными численными методамиинтегрирования это подтверждает достоверность результатов и полученных аналитических решений.Практическая значимость работы состоит в возможности использовать результаты работы для уточнения функционирования различных электронныхустройств, использующих в своей работе проводящие элементы, которые подвергаются экстремальным воздействиям полей различной природы, а в части объёмных сил, действующих на упругое тело - в моделировании сейсмических волн вземной коре, возникающих под действием глубинных возмущений.Кроме того, полученные точные результаты могут служить эталонными и тестовыми решениями для дальнейших перспективных разработок в области нестационарной электромагнитоупругости.11Апробация результатов исследования. Все основные результаты работыбыли предметом докладов, обсуждений и дискуссий на российских и международных конференциях, симпозиумах и съездах:- Вторая Всероссийская научная конференция по волновой динамике машин иконструкций (Нижний Новгород, 2007);- VII Международная научная школа – семинар «Импульсные процессы в механике сплошных сред» (Николаев, 2007);- Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемымеханики конструкций и сплошных сред» им.

А.Г. Горшкова (Московская область, Ярополец, Кремёнки, 2007 – 2016);- Международная конференция «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» (СанктПетербург, 2008);- Международная научная конференция «Современные проблемы механики иматематики» (Львов, 2008, 2013)- Международная научная конференция «Импульсные процессы в механикесплошных сред» (Николаев, 2009, 2011, 2013);- Международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемыприкладной механики и прочности конструкций (Ялта, Запорожье, 2009-2012);- Международная конференция, посвящённая 70-летию ректора МГУ В.А. Садовничего «Современные проблемы математики, механики и их приложений»(Москва 2009);- Международная научная конференция «Математические проблемы механикинеоднородных структур» (Львов, 2010, 2014);- Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород 2011; Казань, 2015);- V сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела(Астрахань, 2011);- Международная научная конференция «Математичнi проблеми техничноiмеханiки» (Днепропетровск, Днепродзержинск, 2011);12- Украинско-российский научный семинар «Нестационарные процессы деформирования элементов конструкций, обусловленных воздействием полей различной физической природы» (Львов, 2012);- Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, 2012, 2016 г.);- Международная научная конференция «Современные проблемы механикидеформируемого твердого тела, дифференциальных и интегральных уравнений»(Одесса, 2013);- Международная научная конференция «Теория оболочек и мембран в механике и биологии: от макро- до наноразмерных структур» (Минск, 2013);- VIII Всероссийская конференция по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары 2014);- IV Международная научно-практическая конференция «Строительство ивосстановление искусственных сооружений» (Гомель, 2015);- Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвящённого 105-летию со дня рождения А.А.