Диссертация (Моделирование приливной эволюции орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты), страница 4

Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое же обоснование этогометода позже дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре 6 .Метод малого параметра лежит в основе теории возмущений. Теориявозмущений впервые так же возникла в рамках небесной механики, хотяв настоящее время задачи, стоящие перед ней, гораздо шире. При применении методов теории возмущений исследование начинается с невозмущенной или порождающей задачи, решение которой рассматривается в качестве приближения для более сложной задачи, отличающейся наличиемдополнительных малых членов в уравнениях. Далее строятся последующие приближения, которые уточняют найденное решение, обычно в форместепенных рядов. При этом в качестве переменной в таких рядах используется как раз малая величина, называемая малым параметром. Как правилоиспользуются только частичные суммы рядов (в большинстве задач ограничиваются двумя-тремя слагаемыми)[38].Еще один метод, относящийся к методам малого параметра, носит название разделения и усреднения движения.

Принцип усреднения — один измощнейших методов теории возмущений, впервые так же стал применятьсяв небесной механике. Его применение можно найти в работах Лагранжа,Лапласа, а позже и Гаусса при изучении орбитальной эволюции планетпод влиянием их взаимного притяжения. При исследовании в этих работах учитывалось то, что слагаемые в правых частях соответствующихсистем дифференциальных уравнений можно разделить на быстроосциллирующие («быстрые») и медленноизменяющиеся («медленные»), и приэтом именно «медленные» описывают главную (плавную) часть решения,а «быстрые» слагаемые отвечают лишь за малые осцилляции около основного движения, поэтому естественно их отбросить, то есть усреднитьсистему.Хотя идеи принципа усреднения восходят, по-видимому, еще к Ньютону,который исследуя движения маятника при наличии сопротивления, получил формулу для решения, совпадающую с формулой, получаемой методомПоэтому в литературе встречается название «Метод малого параметра Пуанкаре (ЛяпуноваПуанкаре)»617усреднения.

Позднее метод усреднения был переоткрыт Ван-дер-Полем[86],который предложил эффективный способ приближенного решения нелинейных задач теории колебаний с одной степенью свободы. Современныечерты теория принципа усреднения приобрела в XX веке, в основном, в работах Крылова Н.М. и Боголюбова Н.Н.[5, 29]. Обоснование метода усреднения в многочастотных системах можно найти у Арнольда В.И., КозловаВ.В., Нейштадта А.И.

[1] и других ученых.В механике, решая задачу, обычно стремятся выбрать переменные таким образом, чтобы было максимально удобно применять тот или инойметод. В случае, если возмущающие силы имеют силовую функцию, тоуравнения движения системы можно записать в других переменных, гдеони будут иметь более удобный симметричный вид, например, используядля этого переменные Делоне7 : , , , , ℎ, . В этих переменных уравнения движения имеют канонический вид, который особенно удобен дляприменения асимптотических методов[4].В частности, переменные Делоне , , , , ℎ имеют характер медленных переменных, так как в случае невозмущенной задачи они постоянны, апри малых возмущении медленно эволюционируют.

При этом переменная не является постоянной в обоих случаях и при возмущенном движении сохраняет быструю скорость своего изменения, поэтому её называют быстройпеременной. Такой характер разделения переменных на быстрые и медленные является особенностью решения задач с применением асимптотическихметодов.Более подробный обзор этих методов можно найти в классических трудах по теоретической механике [6, 13, 33, 35, 36].Согласно космогонической теории Энеева-Козлова [28] результатом эволюции протопланетного облака явились протопланеты, первоначально обладавшие большими размерами, ввиду чего большую роль играла приливная эволюция вращательного движения планет, которая происходилана несколько порядков быстрее, чем в современную эпоху. Определеннуюроль сыграл и процесс сжатия протопланет до современных размеров. Результатом действия этих двух факторов явилось современное разнообразиенаклонений и вращений планет.Существуют и другие наборы канонических переменных, например, Депри, Андуайе и др.

В настоящей работе используются переменные Делоне, как наиболее удобные для данной задачи.718Так на основе модельной формулы для приливного момента в работеБелецкого В.В. [3] получена глобальная картина такой эволюции. Наиболееинтересные выявленные эффекты сводятся к следующему:- стремление всех движений к прямому вращению, в частности, переворот первоначальных обратных вращений в прямые;- существенная эволюция наклонений и в случае первоначальных прямых вращений;- возможное уменьшение угловой скорости (возможно, даже до значений, близких к нулю), но с последующим восстановлением вплоть до орбитальной.Таким образом, по утверждению автора, все движения планет стремятся к одному предельному режиму: прямому вращению с нулевым наклонением и с угловой скоростью, равной орбитальной.При исследовании приливных механизмов логичным шагом был отказот модели абсолютно твердого тела и переход к модели, которая учитывает вязкоупругие свойства.

При этом рассматривались различные модели: жидкие шары, твердые оболочки с полость, заполненной жидкостью, сжидкой оболочкой - океаном, вязкоупругие шары.Исследованием систем с вязкоупругими элементами занимались в разное время Черноусько Ф.Л., Вильке В.Г., Марков Ю.Г., Маркеев А.П идр.[7, 27, 34, 41]В работе Черноусько Ф.Л. [40] исследуется общая задача динамикитвердого тела, имеющего внутренние степени свободы: линейные упругие идиссипативные элементы. А в [41] рассматриваются движения вязкоупругого твердого тела относительно центра масс, при этом для вязкоупругойсреды используется модель Кельвина-Фойгта, и предполагается, что упругое тело обладает малой податливостью: частоты его собственных колебаний много больше угловой скорости вращения.

Предложенный в работахасимптотический метод разделения движений позволяет получить уравнения движения в виде уравнений динамики твердого тела с дополнительными слагаемыми, обусловленными внутренней упругостью и диссипацией.Другую модель с вязкой несжимаемой жидкостью на вращающемся шаре рассмотрели Сальникова М.Г., Самсонов В.А.

[37]. Им удалось получитьприближенное решение задачи о приливном течении в слое жидкости, по-19крывающей твёрдый шар, который вращается и движется по круговой орбите в центральном ньютоновском поле. На основе решения гидродинамической задачи получена аналитическая зависимость момента сил приливного трения от угловой скорости Ω собственного вращения шара.

Определено,что эти величины имеют пропорциональную зависимость.Маркеев А. П. в своей работе [32] рассматривает движение динамическисимметричного упруговязкого тела на кеплеровской орбите в центральномньютоновском гравитационном поле. Деформации тела представляют собой продольные колебания вдоль оси симметрии и колебания самой осисимметрии. Силы внутренней вязкости задаются при помощи диссипативной функции Релея. Показано существование движения, в котором ось симметрии тела перпендикулярна плоскости орбиты центра масс. Для случаякруговой орбиты исследована устойчивость этого движения и показано,что наличие внутренней вязкости в теле приводит к весьма разнообразнойкартине областей устойчивости.В работе [34] Марковым Ю.Г.

и Миняевым И.С исследуется эволюциябыстро закрученного вязкоупругого тела, обращающегося в центральномполе сил на эллиптической орбите. Применен асимптотический метод разделения движений, развитый Вильке В.Г. для систем с распределеннымипараметрами. В этом приближении обстоятельно изучены процессы медленного движения вектора кинетического момента относительно орбитальной плоскости. Показано, что в конечном итоге наблюдается гравитационный захват системы, при котором момент количества движения тела стремиться занять нормальное к плоскости орбиты положение.С возникновением новых моделей часто встает проблема применимостиуже известных методов и разработки новых. При исследованием систем связкоупругими элементами возникает сложность использования классических методов, так как теперь необходимо рассматривать систему с бесконечным числом свободы.Эту задачу решил Вильке В.Г., в своей монографии [13] он обобщил иперенес использование ранее известных асимптотических методов на случай динамических систем с бесконечным числом степеней свободы[8, 10,16, 19, 21].

Совместно с Шатиной А.В. был углублен и развит метод разделения и усреднения для исследования эволюции движения таких си-20стем и применения к задачам небесной механики и механики космическогополета[14, 17, 42]. С применением новых методов был рассмотрен ряд задачо движении вязкоупругих тел, и предложенный подход положен в основубольшого числа работ. В частности, применялся в задаче о движении вязкоупругого тела в центральном ньютоновском поле сил [7, 12, 43], системывязкоупругих тел [13, 14, 18, 45], взаимодействующих по закону всемирного тяготения, и других задачах[9, 11, 14, 15, 17, 44].

Подобный подходвстречается в работах Зленко А.А. [22–26], на основе полученной с использование указанного метода модели для двух вязкоупругих шаров, движущихся в поле притягивающего центра, он провел исследование приливнойэволюции Земли и Луны [23], показана гипотетическая картина прошлойи будущей эволюции системы.Цель настоящей работы заключается в исследовании модельной задачиприливной теории эволюции движения спутника в гравитационном полевращающейся вязкоупругой планеты с использованием методов аналитической механики, а также асимптотических методов разделения движенияи усреднения для механических систем с бесконечным числом степеней свободы, предложенных Вильке В.Г.[13].