Диссертация (Моделирование приливной эволюции орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты)

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиШЕРСТНЕВ ЕВГЕНИЙ ВИКТОРОВИЧМОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИЛИВНОЙ ЭВОЛЮЦИИОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА ВГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ВЯЗКОУПРУГОЙПЛАНЕТЫ05.13.18 — Математическое моделирование,численные методы и комплексы программДиссертацияна соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,доцент Шатина Альбина ВикторовнаМосква — 20172ОГЛАВЛЕНИЕСтр.ВВЕДЕНИЕ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ГЛАВА 14Движение спутника в гравитационном поле вра-щающейся вязкоупругой планеты (ограниченная постановка)24§1.1Постановка задачи. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24§1.2Уравнения невозмущенного движения: u ≡ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 29§1.3Построение «возмущенной» системы уравнений движения . 30§1.4Стационарное движение спутника и его устойчивость . . . . . . 39§1.5§1.4.1Случай 1а. «Плоское» движение спутника . . . . . . . . . . 39§1.4.2Случай 1б.

Пространственное движение спутника. . 44Эволюционная система уравнений движения спутника . . . . . 46§1.5.1а. «Плоский» случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46§1.5.2б. Пространственный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55ГЛАВА 2Движение системы планета-спутник в гравита-ционном поле сил (неограниченная постановка)§2.164Стационарное движение спутника и его устойчивость длянеограниченной задачи . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64§2.2Эволюционная система уравнений для неограниченной за-дачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 71§2.3Частные случаи движения спутника и их устойчивость . . . . 75§2.4Медленная диссипативная эволюция движения спутника . . 80§2.4.1ГЛАВА 33D визуализация модели движения спутника . . . . . . . 87Движение спутника в гравитационном поле вяз-коупругой планеты с ядром (неограниченная постановка)§3.189Постановка задачи. Уравнения движения . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 893§3.2Деформации вязкоупругой оболочки планеты . . . . . . . . . . . . . . . 93§3.2.1Форма вращающейся вязкоупругой планеты безучета гравитационных сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93§3.2.2Приливные деформации планеты в гравитацион-ном поле притягивающего центра и спутника . . . . . . . . . . . 97§3.2.3Приливные деформации планеты в гравитацион-ном поле спутника . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108§3.3Возмущенная система уравнений движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118ПРИЛОЖЕНИЕ А Графический материал . . . . . . . . . . . . . . . . 127§А.1 Графики эволюции параметров систем «планета-спутник» 127ПРИЛОЖЕНИЕ Б Программный код . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 132§Б.1 Программный код для построения фазовых портретов . . . . . 132§Б.2 Программный код для получения числовых параметровтаблиц 1.1, 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149ПРИЛОЖЕНИЕ В 3D визуализация . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155§В.1 Программы визуализации движения спутника . . . . . . . . . . . . . . . 1554ВВЕДЕНИЕДавно известно, что Вселенная непрерывно движется и изменяется. Идо сих пор мы задаемся вопросом: «Почему это происходит и как?». Одной из фундаментальных задач небесной механики является изучение орбитальной эволюции Солнечной и других планетных и звездных систем.Небесные тела претерпевают изменения скорости вращения, орбиты ихспутников уменьшаются и увеличиваются, многие системы достигают резонансного вращения. В частности причиной этих эффектов служит приливное трение.Обычно крайне слабые, приливные эффекты проявляют свое воздействие на небесные тела в течение длительного промежутка времени (домиллиардов лет).

За это время (эоны лет) приливы формируют режимвращения небесных тел и управляют обменом угловыми моментами междутелами. Многочисленные и разнообразные проявления приливов колеблются от синхронного захвата Луны, захвата Меркурия в спин-орбитальныйрезонанс 3:2, ожидаемого падения Фобоса, до уменьшения эксцентриситетаорбиты горячих юпитеров и, как следствие, их теплового расширения засчет приближения к их звездам, а также диссипативного слияния короткопериодических двойных звезд. Приливные моменты играют ключевуюроль во вращательной динамике небесных тел. Все это делает изучениеприливов необходимым для понимания динамических свойств и эволюциизвездных систем.Несмотря на то, что медленная работа приливов влияет на формирование более круговых орбит, эволюцию наклонения, а также синхронизациюпланет и лун, широкий охват этих динамических явлений не всегда сопровождается простотой или универсальностью приливных моделей, используемых для их описания.Общий характер приливного трения, влияющего на эволюцию дви-жения системы «планета-спутник»1 , можно описать следующим образом(рис.1)[2, 67].Под действием неоднородного гравитационного поля взаимного притяжения (т.е.

из-за наличия градиента гравитационного потенциала, в лите-Далее будут рассматриваться именно такие системы, но все рассуждения, без ограничения общности, можно применить для систем «звезда-планета» и других подобных двойных систем.15Рис. 1. Верхний рисунок соответствует случаю, когда отсутствует трение. Приналичие трения (внизу) когда планета вращается с угловой скоростью быстреесреднего движения её спутника по орбите ( > ), приливной горб «обгоняет»прилив, возбуждаемый спутником.

В результате момент сил, возникающий привзаимодействии приливного горба и спутника, замедляет вращение планеты ирасширяют орбиту спутника.ратуре также именуемого приливным потенциалом) происходит деформация планеты, на поверхности планеты образуются так называемые приливные выступы или горбы. Первый рисунок соответствует случаю, когда планета является идеально упругим шаром, покрытым идеальной жидкостью,т.е. когда отсутствует трение. Тогда приливной максимум лежит на прямой,соединяющей центры планеты и спутника.

Вследствие симметрии не возникает момента сил, действующего на спутник. Следовательно, отсутствуетвлияние на орбитальные параметры спутника на длительном промежуткевремени. Если при деформации возникает трение, то имеет место запаздывание максимума прилива на некоторый угол (при условии, что угловаяскорость вращения планеты превышает орбитальную скорость спутника).Сдвинутый приливной горб вызывает замедление вращения планеты из-замонета сил, который возникает при взаимодействии спутника и приливного горба. Этот же момент сил ускоряет движение спутника по орбите.В результате изменяется момент количества движения, что ведет к потере механической энергии в системе планета-спутник. Часть кинетической6энергии вращения диссипирует, а часть переходит в кинетическую и потенциальную энергии орбитального движения спутника.Приливный потенциалПриливная эволюция орбит и вращения небесных тех в астрофизической литературе, в большинстве своем [60, 62, 66, 70, 84], моделируетсярассмотрением приливного потенциала, который действует на тело в видесуммы членов ряда Фурье (из полиномов Лежандра), каждый из которыхимеет собственную частоту.

В результате деформацию тела предполагаетсярассматривать в виде линейной суммы реакций на каждый возмущающийчлен ряда. Каждый такой компонент реакции характеризуется параметрами, описывающими амплитуду (числа Лява) и фазовую задержку, которая,как предполагается, есть результат рассеяния энергии в теле.Потенциал на единицу массы в точке на поверхности планеты массы , радиуса , плотности и спутника массы , радиуса и плотности , движущегося сонаправленно по круговой орбите в плоскости экватора планеты с большой полуосью , измеренной от центра масс планеты,определяется как = −Δ(1),где — гравитационная постоянная и Δ — расстояние между центром спутника и данной точкой, получаемое из выражения:⎡Δ = ⎣1 − 2(︃)︃(︃cos +)︃2 ⎤1/2⎦,(2)угол измеряется от линии, соединяющей центры планеты и спутника[36].

В сферической системе координат (, , ) (рис. 2) угол отсчитывается от оси вращения планеты и азимутальный угол отсчитываетсяот произвольного направления, фиксированного в пространстве, — уголмежду спутником и данной точкой на поверхности планеты связан с нимиследующим образом:cos = cos cos + sin sin cos( − )(3)Для сильно разделенных двойных систем, где большая полуось го-7Схема воздействия потенциала поля на поверхность планеты из-за вращенияспутника на расстоянии от центра масс планеты. Пунктирная линия —геометрическое место точек на сферической поверхности планеты, находящееся подуглом и на расстоянии Δ от спутника и, таким образом, испытывающее воздействиеодинакового потенциала.Рис.

2.раздо больше, чем радиус планеты , потенциал поля раскладывается постепеням / следующим образом: = −⎡(︃⎣1 +)︃(︃cos +)︃212⎤(3 cos2 − 1) + · · · ⎦ .(4)Первое слагаемое в (4) не зависит от положения взятой точки и, таким образом, не вносит вклада в силу, действующую на планету.