Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 25

И еслисверхпроводник является сплошным, то в его глубине не будетни магнитного поля, ни токов.Возьмем теперь проводящее кольцо, толщина которого велика по сравнению с 1/ λ . Наложим сначала на это кольцо магнитноеполе, затем охладим до сверхпроводящего состояния и толькопотом уберем источник магнитного поля. На рис. 7.1 отраженапоследовательность всех действий. Если бы кольцо было «классическим» объектом с идеальной (бесконечной) проводимостью,то, скорее всего, внутри кольца должен был остаться весь магнитный поток, который был до охлаждения, независимо от его величины.

Но квантово-механическая теория сверхпроводимостиутверждает, что оставшийся магнитный поток должен быть кратным постоянной Планка ! Докажем это.Далеко в глубине кольца плотность тока равна нулю, а это,в силу соотношения (7.7), означает, что∇θ = qA .(7.8)Проинтегрируем данное соотношение по любому контуруL , который проходит внутри кольца и нигде не подходит близкок поверхности:∫ ∇θdl = q ∫ Adl .LL155В силу теоремы Стокса правую часть этого равенства можнопредставить в таком виде:∫ Adl = ∫ rotAds ,LSгде поверхность S опирается на контур L , и часть ее проходит впустом пространстве внутри кольца.

В силу определения векторного потенциала ( B = rotA ) получаем:qq(7.9)∫ ∇θdl = ∫ Bds = Φ ,LSгде Φ – магнитный поток, «захваченный» сверхпроводящимкольцом.Левую часть соотношения (7.9) можно представить в видеизменения фазы волновой функции при совершении n оборотоввокруг кольца. А так как единственное физическое требование,которое можно предъявить к фазе волновой функцииψ (r ) = ρ(r ) exp [iθ(r ) ] , сводится к тому, что в каждой точке волновая функция должна принимать только одно значение, то экспоненциальный множитель в волновой функции не изменится, еслик фазе θ добавить 2πn (n – любое целое число). Таким образом,левую часть соотношения (7.9) можно записать в виде:∫ ∇θdl = 2πn .LИ тогда магнитный поток будет равен2πn, n = 0,1, 2,... ,Φ=qт.е. захваченный магнитный поток всегда обязан быть кратнымвеличине 2π / q . Эта величина получила название кванта магнитного потока (флюксон).Согласно теории сверхпроводимости, величина заряда q должна быть равна удвоенному заряду электрона qe , и тогда фундаментальная единица магнитного потока Φ 0 должна быть равна:Φ0 =156π≈ 2,07·10–15 Вб.qe(7.10)Все это поразительно похоже на рассматривавшееся намиранее квантование магнитного момента.

Но теперь мы наблюдаемслучай, когда квантовая механика вызывает свои собственные,характерные для нее эффекты в макроскопических масштабах.Квантование магнитного потока связано с квантованиемсверхпроводящего тока, текущего по кольцу. Ток может принимать только такие значения, при которых по длине кольца можетуложиться целое число длин волн волновой функции сверхпроводящих электронов. А это типично интерференционный эффект.Сверхпроводящее токовое состояние отличается от токовогосостояния в несверхпроводящем металле своей устойчивостьюк рассеянию носителей тока на разного рода дефектах. Благодаряэтому становится возможным существование незатухающих токовв сверхпроводниках, содержащих примеси посторонних элементовили другого рода дефекты.

Наличие примесей не препятствуетустановлению макроскопической когерентности сверхпроводящего состояния. Данная ситуация касается систем, которые в среднемявляются однородными. Но такое же свойство сохраняется и длясистем, не являющихся однородными даже в среднем, например,при наличии достаточно тонкой пленки диэлектрика между двумясверхпроводниками.Макроскопическая когерентность сверхпроводящего состояниясвязана с тем, что сверхпроводник характеризуется единой для всегообъема волновой функцией ψ (r ) = ρ(r ) exp [iθ(r ) ] , определяющейповедение не одной частицы, а всего «коллектива» электронов.Наличие единой для всего образца ψ-функции влечет за собой возникновение фиксированных (в данный момент времени) разностейфаз в любых двух точках сверхпроводника.

Такая «когерентность фазы» приводит к ряду специфических макроскопическихквантовых эффектов, которые мы сейчас и рассмотрим.7.5. ПЕРЕХОДЫ ДЖОЗЕФСОНАРассмотрим два одинаковых сверхпроводника, разделенныхтонким слоем диэлектрика (рис. 7.2). В этом случае при достаточно малой толщине изолятора (<10–7 см) возможно туннелиро вание куперовских пар через данный переход . Такой процесс157называется эффектом Джозефсона, теоретически предсказавшим его, или «слабой»сверхпроводимостью.

Данныйпроцесс представляет собойпрекрасную иллюстрациюконцепции макроскопическойкогерентности сверхпроводящего состояния.Будем рассматривать такуюсистему сверхпроводящихэлектронов как двухуровневую квантовую систему [3].Пусть С1 – амплитуда общей волновой функции всех электроновс одной стороны перехода, а С2 – соответствующая амплитудаволновой функции с другой стороны. При отсутствии магнитногополя такая двухуровневая система будет описываться системойуравнений (1.10):∂C1= H11C1 + H12C2∂t∂C2= H 22C2 + H 21C1.i∂ti(7.11)Матричные элементы H11 и H 22 являются энергией системыв областях 1 и 2, а H12 и H 21 характеризуют вероятность туннелирования электронов в соседние области.

Очевидно, можно положить H12 = H 21 = A (не путать с векторным потенциалом!).Подсоединим области 1 и 2 к двум полюсам источника токас разностью потенциалов V . Тогда энергию H11 можно считатьравной qV / 2 , а энергию H 22 равной − qV / 2 . В этом случае систему уравнений (7.11) можно представить в таком виде:∂C1 qV=C1 + AC2∂t2∂C2qV=−iC2 + AC1.∂t2i158(7.12)Это стандартные уравнения двух связанных квантово-механических состояний.

Для их решения сделаем подстановки:C1 = ρ1 exp(iθ1 ), C2 = ρ2 exp(iθ2 ),(7.13)где θ1 и θ2 – фазы по обе стороны контакта, а ρ1 и ρ2 – плотностиэлектронов в сверхпроводниках. После подстановки (7.13) в (7.12)и дифференцирования получаем:qVρ1 + A ρ1ρ2 exp(iδ)i (ρ1 + iρ1θ1 ) =2(7.14)qVρ2 + A ρ1ρ2 exp(−iδ),i (ρ2 + iρ2 θ2 ) = −2где δ = θ2 − θ1 , а знак «точка» над символом, как обычно, означаетдифференцирование по времени.Приравнивая вещественные части к вещественным, а мнимыечасти – к мнимым, приходим к следующей системе уравнений:ρ1 =2A ρ1ρ2 sin δ2ρ2 = − A ρ1ρ2 sin δθ1 = −θ2 =qV A ρ2−cos δρ12(7.15)qV A ρ1−cos δ .ρ22Первая пара уравнений (7.15) говорит о том, как менялись быплотности заряда в соседних областях, если бы не было источникатока (убыль одной сопровождалась бы ростом другой).

В этомслучае плотность тока через переход равнялась бы ρ1 (или −ρ2 ),и для нее можно записать:j=2Aρ1ρ2 sin δ .Конечно, уход электронов из одной области будет тотчас жекомпенсирован приходом электронов из источника тока, поскольку159переход включен в замкнутую цепь. Тогда концентрация электронов в обеих областях будет примерно одинаковой и постоянной. Полагая ρ1 = ρ2 = ρ0 , получаем выражение для сверхпроводящего тока:j = jc sin δ ,(7.16)где jc = 2 Aρ0 / – некоторая постоянная величина, которая, подобно величине A , характеризует данный переход.Выражение (7.16) связывает протекающий в системе ток с величиной разности фаз на переходе.

В действительности же в эксперименте задается ток, а соотношение (7.16) служит для того, чтобыопределить необходимую для этого разность фаз δ = θ2 − θ1 . В этомсмысле соотношение (7.16) означает лишь то, что абсолютная величина сверхпроводящего тока не может превысить некоторого максимального значения, равного jc . Эту величину называют критическим током Джозефсона.Вторая пара уравнений (7.15) дает:δ = (θ2 − θ1 ) =qV.(7.17)Из этого соотношения сразу следует:δ(t ) = δ(0) +q∫ V (t )dt ,(7.18)где δ(0) представляет собой значение разности фаз при t = 0 , крометого, заряд q равен удвоенному заряду электрона. В уравнениях(7.16) и (7.17) содержится общая теория переходов Джозефсона.Пусть приложенное к переходу напряжение постоянно и равно V0 .

В этом случаеδ(t ) = δ(0) +qV0t.Так как отношение q / достаточно велико, то синус в выражении (7.16) будет меняться очень быстро, и в итоге никакой токчерез переход не пойдет. Правда, так как температура не совсемравна нулю, небольшой ток все же будет из-за проводимости160«нормальных» электронов (он еще называется квазичастичнымтоком). С другой стороны, если напряжение на переходе равнонулю, то ток уже не будет равным нулю! Это свойство называютстационарным эффектом Джозефсона.

Данное явление непосредственно определяется такой фундаментальной квантовомеханической характеристикой, как фаза волновой функции.Стационарный эффект Джозефсона впервые наблюдали в своейработе Андерсон и Роуэлл в 1963 г. Впервые в истории физикибыл поставлен эксперимент, в котором такое макроскопическоеявление, как электрический ток, непосредственно определялосьфазой волновой функции.Иногда эффект Джозефсона называют туннелированием куперовских пар.