Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 20

Достаточно сообщить электронам энергию порядка 10–23 эВ, и они могут занятьболее высокие уровни энергии. Это происходит, например, за счеттеплового движения (энергия теплового движения на 1К – порядка10–4эВ). Электрическое поле также способно переводить электроны на более высокие уровни, и они приобретают дополнительнуюскорость в направлении, противоположном электрическому полю.Такие вещества являются металлами – хорошими проводниками.Для них валентная зона – это зона проводимости.

Иногда имеетместо перекрывание зон (запрещенная зона отсутствует).2. Валентная зона заполнена полностью. Электрическое полене способно сообщить электронам энергию, достаточную для преодоления запрещенной зоны. Если ширина запрещенной зоны ∆Eневелика ( ∆E <1 эВ), то только энергия теплового движенияспособна перевести электроны в свободную зону – она становитсязоной проводимости (на самом деле не только энергия тепловогодвижения способна перевести электроны в зону проводимости;об этом позднее). Такие вещества являются полупроводниками.3.

Ширина запрещенной зоны ∆E составляет несколько электрон-вольт. Валентная зона заполнена полностью. В этом случаени тепловое движение, ни электрическое поле не способны сообщить энергию, достаточную для переброса электронов в свободную зону; это диэлектрики. В них электроны настолько связаны,настолько «заперты», что даже сильные поля не могут помочь имвырваться. И только кванты жесткого электромагнитного излучения могут дать им свободу.1235.8. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВРанее мы показали, что в случае идеальной кристаллическойрешетки электроны не испытывают при своем движении никакого сопротивления и электропроводность металлов должна бытьбесконечно большой. Это связано с тем, что имеется перекрытиеволновых функций между соседними атомами решетки, и за счеттуннельного эффекта электрон с равной вероятностью можетоказаться в любом месте решетки.

И только за счет рассеянияэлектронов на атомах примеси и тепловых колебаний решеткипоявляется электрическое сопротивление.Удельное сопротивление при ненулевой температуре складывается из двух слагаемых: сопротивление, определяемое наличиемпримесей (ρприм), и сопротивление, обусловленное тепловымиколебаниями решетки (ρколеб):ρ = ρприм + ρколеб .При нулевой температуре исчезает сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки, но остается сопротивление, обусловленное примесями и искажениями решетки.Введем понятие дрейфовой скорости:ϑдр =1∑ ϑi ,n(5.23)где сумма берется по всем электронам металла (n – их число).При отсутствии внешнего электрического поля скоростьдрейфа обращается в нуль и электрический ток отсутствует.

Приналожении электрического поля ϑдр становится отличной от нуляи появляется электрический ток. Кроме кулоновских сил ( −eE ),существуют силы сопротивления, пропорциональные дрейфовой скорости:Fсопр = − r ϑдр ,где r играет роль коэффициента сопротивления движению электронов.124Запишем уравнение движения электрона с эффективноймассой m * , движущегося со скоростью ϑдр :m*d ϑдрdt= −eE − r ϑдр .При отсутствии внешнего поля ( E = 0 ) это уравнение имеетрешение: r ϑдр = const exp  −t . m* m*= τ называется временем релаксации и покаrзывает, как быстро уменьшается скорость дрейфа при выключении электрического поля.

Установившееся значение скоростидрейфа равноОтношениеϑдр = −eE τ.m*И для плотности тока ( j = neϑ ) получаем выражениеj=ne 2 τE.m*Аналогичное выражение существует и в классической теории электропроводности металлов, только ранее сюда входиламасса электрона и среднее время свободного пробега электрона.Соответствующий квантовомеханический расчет дает линейнуюзависимость удельного сопротивления от температуры, что соответствует опыту (в «классике» сопротивление пропорциональнокорню из температуры!).Различие классической и квантовомеханической трактовок,описывающих движение электронов проводимости в металле, сводится к следующему. При классическом рассмотрении предполагается, что все электроны возмущаются внешним электрическимполем.

Это приводит к тому, что каждое слагаемое в (5.23) получает добавку в направлении, противоположном полю. При квантовомеханической трактовке возмущаются полем и изменяют своюскорость лишь электроны, занимающие состояния вблизи уровня125Ферми. Электроны, находящиеся на более глубоких уровнях,полем не возмущаются, и их вклад в сумму (5.23) не изменяется.Кроме того, на динамику движения электронов оказывает влияниене обычная масса электрона, а его эффективная масса.5.9. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬТемпературная зависимость сопротивления большинстваметаллов (рис. 5.4) имеет почти линейный характер (кривая 1),где ρост зависит от количества примесей и остаточных напряжений.Если убрать примеси и снять остаточные напряжения, то ρост → 0 .Некоторые же металлы (Hg, Sn, Al,Pb…) ведут себя иначе (кривая 2).Сопротивление при температурениже критической (Тк) резко падает до нуля.

Это называется явлением сверхпроводимости; еговпервые обнаружил КамерлингОннес в 1911 г. Для иллюстра ции: в сверхпроводящем состоя нии ρ ≈ 10–23 Ом ·см (меньше, чемсопротивление меди при 20 ° С ,в 1017 раз). Время, требуемое для затухания тока, наведенногов сверхпроводящем колечке, составляет порядка ста тысяч лет!Кроме отсутствия сопротивления, есть эффект Мейснера – выталкивание магнитного поля из сверхпроводника. Формально этовыглядит так, как будто магнитная проницаемость обращаетсяв нуль при температурах ниже критической, и в этом случае вещество становится идеальным диамагнетиком.

Связано это с тем, чтов тонком поверхностном слое сверхпроводника, помещенногов слабое магнитное поле, наводятся циклические незатухающиетоки, компенсирующие внешнее магнитное поле. При значенииполя, превышающем некоторое критическое, сверхпроводящеесостояние разрушается и магнитное поле проникает внутрь.Сверхпроводящее состояние также разрушается если через образецпропускать ток, больший критического.126Объяснение сверхпроводимости было дано только в 1957 годуБардиным, Купером, Шрифером. Кратко суть сводится к следующему. При движении электрона сквозь кристаллическую решеткупроисходит поляризация среды: электрон стягивает на себя облакоположительно заряженных ионов.

Первого электрона уже и «следпростыл», а облако еще остается (из-за малых тепловых колебанийрешетки). Это облако притягивает к себе другой электрон, причемсила притяжения превышает силу кулоновского отталкиваниямежду электронами. Образуется пара электронов с размерами, значительно превышающими расстояние между атомами.

Такая параполучила название куперовской пары. Несколько таких пар могутперекрыть образец.Взаимодействие между электронами за счет поляризации среды наиболее сильно проявляется у электронов, обладающих противоположными спинами. Поэтому спин куперовской пары становится равным нулю, значит, для них не работает принцип запретаПаули, который не дает электронам скапливаться в одном состоянии. Если каждый из электронов этой пары подчиняется статистике Ферми, то сама куперовская пара подчиняется теперь статистике Бозе.

В сверхпроводящем состоянии в энергетическом спектреэлектронов вблизи уровня Ферми появляется энергетическая щель,отделяющая уровень, на котором находятся куперовские пары Eкп,от ближайшего разрешенного уровня. Энергия взаимодействияпары с решеткой меньше ширины этой щели (при температурениже критической), поэтому куперовские пары двигаются по металлу совершенно свободно.Удивительные свойства сверхпроводящего состояния делают сверхпроводники чрезвычайно перспективным материаломдля науки и техники.

Исчезновение сопротивления сводит к нулювыделение тепла в проводнике. Кроме того, появляется возможность создания мощных магнитных полей (для создания управляемого термоядерного синтеза, поездов на магнитных подушкахи т.д.). Т.е. сверхпроводники – крайне заманчивая вещь, но практическое их применение сдерживалось до тех пор, пока отсутствовали материалы, переходящие в сверхпроводящее состояниепри приемлемых температурах (критическая температура былаоколо 20 К – это близко к температуре кипения жидкого водородаи неона, чтобы их можно было применять для охлаждения).127Температура кипения гелия мала, но это слишком дорого дляпрактического использования.

Пределом, к достижению которогостремились, являлась температура кипения жидкого азота (77 К).За 75 лет после открытия сверхпроводимости удалось достичьтолько температуры 23 К (слишком медленный прогресс!). И только в конце 1986 г. в лабораториях США и Швейцарии были получены сверхпроводящие керамические оксидные образцы на основелантана (La, Ba, Cu, O) и иридия (Y, Ba, Cu, O) с критическойтемпературой около 40 К. Это была настоящая научная сенсация. В 1987 г.

в университете Хьюстона были получены сверхпроводники Bi-Ba-Ca-Cu-O и Tl-Ba-Ca-Cu-O с критической температурой 105–125 К. В принципе, никаких разумных ограничений для значения критической температуры не существует, такчто, по-видимому, возможно создание сверхпроводящих материалов, работающих и при комнатных температурах.ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ«РАССЕЯНИЕ И ЗАХВАТ ЭЛЕКТРОНОВНА НЕРЕГУЛЯРНОСТЯХ РЕШЕТКИ»5.1. Показать, что при рассеянии электрона на атоме примесис энергией выше, чем энергия основных атомов, выраженияϕn = α exp(ikxn ) − β exp(−ikxn ), (n < 0) и ϕn = γ exp(ikxn ), (n > 0)действительно являются решением системы уравнений (5.12) приусловии, что энергия электрона равна E = E0 − 2 A cos kb .5.2. Показать, что амплитуда отраженной волны при рассеяFнии на атоме примеси с энергией E0 + F равна β =.F − 2iA sin kb5.3.