Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 24

И тем не менее, в некоторыхслучаях квантово-механическая волновая функция действительноимеет классическое значение, и тогда особенности квантовоймеханики начинают проявляться крупномасштабно.При достаточно низких температурах, когда энергия системыочень мала, вместо прежнего громадного количества состоянийостается небольшое число состояний, которые расположены вблизиосновного. Именно в этих условиях квантово-механический характер основного состояния может проявиться на макроскопическомуровне.

И тогда квантовая механика вызывает свои собственные,характерные только для нее эффекты в крупных масштабах.Самым известным эффектом, проявляющимся при низкихтемпературах, является сверхпроводимость. Это явление тесносвязано с магнитным полем. Внешнее магнитное поле описывается векторным потенциалом A , определяемым соотношением:B = rotA ( B – индукция магнитного поля). Если векторный потенциал отсутствует, то уравнение Шредингера для частицы с зарядомq и массой m имеет вид:∂ψ ˆ1 i= Hψ = ∇  ∇  ψ + U ψ ,2m  i  i ∂t∇ – оператор импульса, U = qϕ – потенциальная энергияiчастицы в электрическом поле с потенциалом φ.где148Влияние магнитного поля на движение заряженной частицыможно учесть, если заменить оператор импульса pˆ =i∇ на выраже-ние p̂ − qA .

К этому выводу можно прийти следующим образом.Предположим, что заряженная частица движется в свободной от магнитного поля области со скоростью ϑ1 . В момент времени t = 0включается магнитное поле, и при его изменении индуцируетсяэлектрическое поле, удовлетворяющее условию:rotE = −∂B.∂tС учетом векторного потенциала A получаем: ∂A rotE = − rot   . ∂t После интегрирования по пространственным координатам получаем (без учета постоянной интегрирования):∂A.∂tТогда импульс частицы в момент времени t будет равен:E=−t∂Adt = mϑ1 − qA .∂t0tmϑ2 = mϑ1 + ∫ qEdt = mϑ1 − q ∫0Таким образом, mϑ2 + qA = mϑ1 .

Следовательно, векторmϑ + qA не изменяется в присутствии магнитного поля, и его можнорассматривать как некоторый эффективный импульс. В то же времякинетическая энергия E зависит только от mϑ , и если до приложениямагнитного поля E = f (mϑ) , то и в магнитном поле должно бытьE = f ( p − qA) .Для того, чтобы перейти на язык квантовой механики, необходимо заменить оператор импульса p̂ = ∇ на оператор ∇ − qA .ii149Таким образом, уравнение Шредингера для частицы с зарядом q в электромагнитном поле с потенциалами A, ϕ будет иметь вид:i∂ψ1 = ∇ − qA  ∇ − qA  + qϕψ .∂t 2m  i i(7.1)7.2.

МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИВажную сторону уравнения Шредингера для отдельной частицы составляет идея о том, что вероятность обнаружить частицув каком-либо месте определяется квадратом модуля волновойфункции. Когда вероятность обнаружить электрон в каком-томесте убывает, то вероятность обнаружить его в другом местевозрастает (так что полная вероятность не изменяется). В этомсмысле можно говорить о некотором потоке вероятности. Дляустановления его вида продифференцируем по времени квадратмодуля волновой функции:∂ψ∂t2=ψ∂ψ *∂ψ+ψ*.∂t∂t(7.2)Волновые функции ψ и ψ * подчиняются уравнению Шредингера:∂ψ ˆ= Hψ∂t∂ψ * ˆ−i= H * ψ*,∂tiпричем Hˆ = Hˆ * = −22m(7.3)∆ + U ( x, y, z ) (пусть пока магнитное полеотсутствует).

Подставляя в (7.2) значения∂ψ∂ψ *ииз (7.3) и∂t∂tиспользуя тождествоψ∆ψ * −ψ * ∆ψ = div ( ψ∇ψ * −ψ * ∇ψ ) ,150нетрудно получить уравнение, аналогичное классическому уравнению непрерывности:∂ψ2∂t= − divj ,(7.4)где j обозначает вектор:j=i( ψ∇ψ * −ψ * ∇ψ ) ,2mкоторый может быть назван вектором «плотности потока вероятности». При наличии магнитного поля, в соответствии с ранее сказан∇ на ∇ − qA . И тогда выражеiiние для вектора плотности потока вероятности приобретет вид:ным, следует заменить операторj=1   ψ *  ∇ − qA  ψ −  ∇ + qA  ψ * .2m   ii (7.5)Соотношение (7.4) является, по сути, законом сохранениядля вероятности и означает, что вероятность сохраняется локально.

Если частица исчезает из одной области, то она не может оказаться в другой без того, чтобы что-то не протекло в промежуткемежду этими областями.Когда Шредингер написал свое знаменитое уравнение, онтакже понял, что закон сохранения (7.4) есть следствие этого2уравнения. При этом он ошибочно предположил, что ψ – этоплотность электрического заряда, а j – плотность электрическоготока. И только несколько позднее Борн отождествил ψ в уравненииШредингера с амплитудой вероятности, предположив, что квадратамплитуды – это не плотность заряда, а только вероятность обнаружить электрон в данном месте.

Таким образом, волновая функцияψ ( x, y, z ) не описывает размазанный электрон с плавно меняющейся плотностью заряда. Электрон может быть либо здесь, либо где-тоеще, но он всегда представляет собой точечный заряд.В то же время можно представить ситуацию, когда в одноми том же состоянии находится огромное число частиц с одной151и той же волновой функцией. В этом случае вероятность обнаружить любую из частиц в данном месте пространства пропорцио2нальна ψ . Но так как частиц очень много, то произведение2ψ dV будет пропорциональным числу частиц в объеме dV и тогда2ψ можно отождествить с плотностью частиц. Если же все частицыобладают и одинаковым зарядом q, то можно пойти дальше и ото2ждествить ψ с плотностью заряда.

Чтобы получить размерность2плотности заряда, нужно умножить ψ на заряд q. Конечно, можновключить этот постоянный множитель в саму волновую функциюи принять за плотность заряда само произведение ψψ * . В этомслучае вектор j , определяемый соотношением (7.5), на самом делеможно считать плотностью электрического тока.Итак, когда в одном и том же состоянии одновременно находится большое число заряженных частиц, возможно иное толкование волновых функций.

Плотность заряда и электрический токмогут быть получены прямо из волновых функций, и тогда самиволновые функции приобретают непосредственный физическийсмысл, который распространяется на «классические» макроскопические ситуации.Нечто подобное происходит и с нейтральными частицами,например, с фотонами. Для них существует уравнение, аналогичное уравнению Шредингера – это уравнение Максвелла для электромагнитного поля. Физика квантов света совпадает с классической физикой, потому что фотоны являются невзаимодействующими бозе-частицами, которые во множестве могут находитьсяв одном состоянии.Трудность же с электронами состоит в том, что нельзя поместить в одно и то же состояние больше одного электрона. Поэтомуочень долгое время считалось, что волновая функция для электрона, входящая в уравнение Шредингера, никогда не будет иметьмакроскопического представления, подобного макроскопическомупредставлению для фотонов.

И только открытие явления сверхпроводимости предоставило физикам именно такой случай.1527.3. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХРанее уже обсуждалось явление сверхпроводимости, когдапри достаточно низких температурах некоторые металлы полностью теряют сопротивление протеканию электрического тока.Данное явление наблюдается из-за того, что при взаимодействииэлектронов с ионами решетки возникает слабое эффективное притяжение между электронами и в итоге они образуют связанныепары (куперовские пары).

Каждый отдельный электрон являетсяферми-частицей. Но связанная пара ведет себя как бозе-частица,так как в пары объединяются электроны, обладающие противоположными спинами.Уравнение Шредингера для пары электронов похоже на (7.1).Единственное отличие состоит в том, что заряд q равен удвоенному заряду электрона qe . При повышении температуры тепловоедвижение может разрушить куперовские пары. Вероятность такогопроцесса пропорциональна exp(− Eпары / kT ), и тогда не связанные попарно электроны начинают двигаться по кристаллуобычным образом (их называют «квазичастицами» или «нормальными» электронами).

Будем рассматривать только случайистинно нулевой температуры и пренебрежем усложнениями,вызываемыми электронами, у которых нет пары («нормальными» электронами).Ранее уже отмечалось, что вероятность перехода бозоновв состояние, в котором уже находится n частиц, пропорциональна n.Так как пары электронов – это бозоны, то когда в одном состоянии собирается множество частиц, амплитуда перехода другихпар в то же состояние становится особенно велика. Таким образом, почти все пары должны скопиться при наинизшей энергиив одинаковом состоянии.Пусть ψ является волновой функцией пары в наинизшем энергетическом состоянии. Однако из-за того, что произведение ψψ*пропорционально плотности заряда ρ, саму волновую функциюможно представить в виде квадратного корня из плотности заряда,умноженного на некоторый фазовый множитель:153ψ (r ) = ρ(r ) exp [iθ(r ) ] ,(7.6)где ρ(r ) и θ(r ) – действительные функции (в таком виде можно,конечно, записать любую комплексную функцию).Для того чтобы понять смысл фазы волновой функции θ ,подставим (7.6) в выражение для плотности тока (7.5).

Опускаяпромежуточные выкладки, приведем результат:hq r(7.7)j =  ∇θ − A  ρ .h mrТак как и плотность тока j , и плотность заряда ρ имеютдля сверхпроводящего электронного газа прямой физическийсмысл, то соотношение (7.7) говорит о том, что и фаза θ – вполнереальная, наблюдаемая вещь, это часть плотности тока! При этомсамо значение фазы может быть определено с точностью до некоторой константы.7.4. КВАНТОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОТОКАРассмотрим теперь взаимодействие сверхпроводника с внешним магнитным полем. Если взять металлический образец в ужесверхпроводящем состоянии и поместить его в не очень сильноемагнитное поле, то это поле не сможет проникнуть в металл.

Связано это с проявлением закона электромагнитной индукции, согласно которому переменное магнитное поле, пытаясь проникнутьв проводник, неизбежно рождает электрическое поле. И дажесамое малое электрическое поле при нулевом сопротивлении, в силуправила Ленца, вызовет достаточный электрический ток, которыйвытолкнет магнитное поле за пределы металла.Поменяем теперь последовательность действий. Поместимобычный проводник в магнитное поле, а затем охладим металлниже критического уровня (когда металл становится сверхпроводником). В этом случае магнитное поле будет вытолкнутоиз металла – это эффект Мейснера. Очевидно, что в сверхпроводнике должен возникнуть свой собственный ток, и именнотакой величины, чтобы вытолкнуть магнитное поле наружу.Причем этот ток затухает по мере удаления от поверхности154образца по экспоненциальному закону exp(−λx) с некоторойэффективной глубиной проникновения 1/ λ ≈ 2·10–6 см.