Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 27

В этом случаевольтамперная характеристика для усредненных значений токаи напряжения будет иметь вид ступенчатой кривой (рис. 7.4). Расстояние между ступеньками в точности равно ω / 2qe . Посколькуизмерение частоты может быть произведено с очень высокой точностью, то и расстояние между ступеньками напряжения на вольтамперной характеристике также может быть точно определено.Таким образом, появляется возможность создать стандарт «нормального» элемента, ЭДС которого может изменяться от нескольких микровольт до милливольта и определяться с точностью,на много порядков превышающей другие известные методы.Использование сквида в качестве нуль-прибора в обычноймостиковой схеме позволяет создать вольтметр с чувствительностью порядка 10–15 В.Существенно нелинейные свойства джозефсоновских туннельных контактов делают возможным их использование в СВЧтехнике в качестве маломощных генераторов, усилителей, стандартовчастоты, смесителей, преобразователей частоты игенераторов гармоник.Время переключенияджозефсоновского туннельного контакта из сверхпроводящего состояния внормальное лежит в субнаносекундной области.

А этоделает перспективным ихприменение в качестве переключающих элементов иэлементов памяти.167Если вблизи джозефсоновского перехода с осциллирующимтоком поместить исследуемое вещество, то спектр поглощенияизлучения, присущий данному веществу, скажется на вольтамперной характеристике контакта. Таким образом, оказывается возможной спектроскопия твердых тел в широком диапазоне частот.Кроме того, как уже отмечалось ранее, сквиды можно использовать для измерения очень слабых магнитных полей в самых различных областях науки и техники. Сквиды уже применяютсяв биологии и медицине, потому что дают более точные данные,чем электрокардио- или энцефалографы, и превосходят даже рентгеновские и ЯМР-томографы.Наметившийся в последние годы прогресс в области высокотемпературной сверхпроводимости делает чрезвычайно перспективным практическое применение джозефсононовских контактовв самых различных областях.ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ «ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА»7.1.

Два джозефсоновских перехода с критическими токамиJ c1 = 500 мкА и J c 2 = 700 мкА включены параллельно в сверхпроводящую цепь. Полный ток через оба перехода равен 1 мА. Чемуравны токи в каждом переходе?7.2. Найти амплитуду переменного напряжения на джозефсоновском переходе, через который протекает ток, больший критического.7.3. Критический ток джозефсоновского перехода равенJc = 100 мкА. Через переход пропускается постоянный токJ0 = 70 мкА и слабый переменный ток с амплитудой J1 = 2 мкАи частотой ν = 10 МГц.

Найти напряжение на переходе.7.4. Получить выражение для плотности тока (7.7).168ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ.СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ1.1. λ = π2(η2 − 1) / m∆E = 0,15 нм.1.2 λ = 2π3mkT = 0,145 нм.1.3. Увеличится вE /( E − U 0 ) = 2 раза.1.4. E = 2e 2 ( Bρ) 2 / m = 0,12 МэВ.1.5. ∆E = 2π22/ mλ 2 − p 2 / 2m = 0,38 кэВ.1.6. λ′ = λ (n + 1) /(n − 1) = 2,2 пм.1.7. λ = λ n (1 + mn / mHe ) = 0,07 нм, где λ n = 2π / 2mn E .1.8 λ = λ (1 + η) /(1 − η) = 0,10 нм, где η = mH / mHe .1.9 λ = 2λ1λ 2 / λ12 + λ 2 2 .1.10. а) λ =2π1, б) E < 10 кэВ.2mE 1 + E / 2mc 21.11.

E = ( 2 − 1)mc 2 = 0,21 МэВ.1.12. E > mc 2 ( 1 + (λ c / l ) 2 − 1) = 0,6 ГэВ, где λ c = 2π / mc –комптоновская длина волны протона.1.13. λ = λ k / 1 + mcλ k / π = 3,3 пм.1.14. ϕ(λ ) ∼ λ −4 exp(− a / λ 2 ), a = 2π22/ mkT ,λ вер = a / 2 = π / mkT = 89 пм.1.15. ϕ(λ ) ∼ λ −5 exp(− a / λ 2 ), a = 2π22/ mkT ,λ вер = 2π / 5mkT = 57 пм.1.16.

ϑ = 4π l / bm∆x =1,0·106 м/с.1691.17. E = 2(π l / d ∆x) 2 / m =24 эВ.1.18. U 0 = π22/ 2med 2 ( η − 1) 2 sin 2 θ =0,15 кВ.1.19. d = π k / 2mE cos(α / 2) =0,21 нм, k = 4 .1.20. d = π k / 2mE sin ϑ = 0,23 нм, где угол ϑ находится изусловия tg2ϑ = r / l .1.21 а) n2 / n1 = 1 − eU / E = 0,70; б) U кр = ( E / e)cos 2 α = 75 В.1.23. n = 1 + U i / U =1,05.1.24. β = arcsin(sin α / 1 + eU i / E ) =52°1.25. U i = (π k ) 2 / 2med 2 − U sin 2 θ =15 В.1.26. En = (nπ ) 2 / 2ml 2 , n = 1, 2,3...1.27. 2πr = nλ , где n = 1, 2,3...; λ = 2πr0 n, r0 – первый боровский радиус.1.28. w = ϑ / 2 + const / ϑ , частота ν находится из условия2π ν = mϑ2 / 2 + const .Воспользуемся формулой Рэлея, связывающей групповуюи фазовую скорости u = w − λdw / d λ .

Полагая здесь λ = 2π / mϑи u = ϑ , получаемϑ= w+ϑdw d( wϑ) ,=dϑ dϑоткудаwϑ =ϑ2ϑ+ const → w = + const / ϑ .22Далее воспользуемся связью длины волны и частоты:ν=w ϑ / 2 + const / ϑ mϑ2 / 2 + const==.λ2π / mϑ2πВо всех явлениях произвольные постоянные, входящие в выражения для v и w, не играют никакой роли, и их можно положитьравными нулю.1.29. Полагая ∆x = b / 2 , получаем α ≈ λ / πb ≈ 2°.1701.30. ∆ϑ ≈ 1·106 м/с; ϑ1 = 2,2·106 м/с.1.31. ∆x ≈ t / m∆x0 ≈ 1·103 км.1.32. Emin ≈ 22/ ml 2 =15 эВ.

Здесь ∆x = l / 2, p ≈ ∆p .1.33. ∆ϑ / ϑ ≈ 2 / 2ml 2 E =1,2·10–4. Здесь ∆x = l / 2 .1.34. E ≈ 8·1042/ ml 2 . Здесь ∆x = l / 2 .1.35. ∆x ≈ l / 2md 2 eU = 8 нм.1.36. ∆x ≈ cτ = 3 м, ∆λ / λ ≈ λ / 2πcτ ≈ 3·10–8.1.37. При сжатии ямы на величину δ l необходимо совершить работу δA = F δl , которая пойдет на приращение энергииdE 4 2 2 Emin≈=частицы δ E . Отсюда находим F =. Здесь приdl ml 3lнято ∆x ≈ l / 2, p ≈ ∆p .1.38. Полагая ∆x ≈ x, ∆ϑ ≈ ϑ и минимизируя выражение дляполной энергии осциллятора, получаем Emin ≈ ω .1.39. Полагая для обоих электронов ∆r ≈ r , ∆ϑ ≈ ϑ , запишем выражение для полной энергии двух электронов:W ≈ 2( p 2 / 2m − 2e 2 / 4πε 0 r ) + e 2 / 8πε 0 r ≈ 2 / mr 2 − 7e 2 / 8πε 0 r. Минимум энергии соответствует r ≈ 16πε0минимальной энергии получаем:Emin ≈ −(7 / 4) 2 me 4 /16π2 ε0 222/ 7 me 2 ≈ 0,3·10–8 см. Для= –83 эВ (эксперимент дает –79 эВ).1.40. ∆x / λ ≈ 1/(π∆E / E ) = 2·103 .1.41.

Ширина изображения складывается из ширины щели bи дополнительного уширения ∆′ , связанного с неопределенностьюимпульса ∆p вдоль щели после ее прохождения. Полагая неопределенность координаты ∆x = b / 2 , получаем: ∆ ≈ b + 2 l / pb ,где p – импульс падающих атомов водорода. Функция ∆ (b) имеетминимум при b ≈ 2 l / mϑ ≈ 10 мкм.1.42. ∆λ ≈ λ 2 / c∆τ ≈ 10−4 нм, ∆λ / λ ≈ λ / c∆τ ≈ 10−7 .4πL1.43. d min ≈ 2≈ 8,5 мкм.2m p E1711.44.

D = d +1.45. d min = 21.46. d min ≈ 24π cl.derb4π τ= 7,6 мкм.me4π L≈ 7,5 мкм.3mkT1.47. В данном методе производится измерение энергии частицы до действия силы и после. Измерение начальной энергии E0,в силу конечности времени ее измерения τ1, производится с точностью, даваемой соотношением неопределенностей: ∆E ≈ / τ 1(в принципе, при достаточно большом τ1 она может быть сделанасколь угодно малой).

Так как полное время эксперимента ограничено величиной τ, то часть этого времени должна быть затраченана измерение начальной энергии E0, а в оставшуюся часть времени( τ − τ1 ) будет происходить изменение энергии под действием силы F.За время τ − τ1 при условии F τ1 << p0 ( p0 – начальный импульсчастицы), изменение энергии будет равно:∆E0 = ∆ (p0 2p ∆pp) ≈ 0 0 ≈ 0 F (τ − τ1 ) ,mm2mЭто изменение энергии можно обнаружить, очевидно, при выполнении условия ∆E0 > ∆E = / τ1 , откуда находимF≥m.p0 τ1 (τ − τ1 )Полученное выражение для силы имеет минимум при τ1 = τ / 2 .И, с учетом связи E0 = p0 2 / 2m , получаем окончательно:Fmin =172τ28m.E0УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА1.48. Изменится только временной множитель полной волновой функции. А так как физический смысл имеет лишь квадратмодуля волновой функции, то изменение временного множителяникак не проявляется.1.49.

Решение временного уравнения Шредингера при U = 0в трехмерном пространстве распадается на два множителя, одиниз которых зависит только от времени, другой – от координат:iEtψ ( x, y, z , t ) = ψ ( x, y, z ) exp(− ) ,hгде E – полная энергия частицы (в случае стационарных полейостается постоянной).

После подстановки этого выражения в исходiEtное уравнение Шредингера и сокращения на exp(− ) , получаемhуравнение Шредингера для стационарных состояний:h2∆ψ = Eψ .2mПриведем его к следующему виду:2mEψ′′x + ψ′′y + ψ′′z + 2 ψ = 0 .hРешение этого уравнения будем искать также методом разделения переменных: ψ = X ( x)Y ( y ) Z ( z ) . После подстановки этоговыражения в уравнение для ψ находим:−X ′′ / X + Y ′′ / Y + Z ′′ / Z + 2mE / h 2 = 0 .Так как полная энергия E может быть представлена в видеE = Ex + E y + Ez , то для функций X , Y , Z получим уравнения вида:X ′′ + (2mEx / h 2 ) X = 0 .Их решения: X ( x) = A exp(±ik x x) , где k x = 2mEx / h . Аналогичнои для Y ( y ), Z ( z ) .

В итоге получаем:rrψ ( x, y, z , t ) = A exp(−i (ωt − kr )) ,rгде k – волновой вектор, k = k x 2 + k y 2 + k z 2 = 2mE / h 2 = p / h .1731.50. В K-системе ψ ( x, t ) = A exp(i (kx − ωt )) . С учетом преобразований Галилеяx = x′ + ϑ0t , ϑ = ϑ′ + ϑ0преобразуем показатель экспоненты:k = mϑ / = k ′(1 + ϑ0 / ϑ′), ω = mϑ2 / 2 = ω′ + (mϑ0 / 2 )(2ϑ′ + ϑ0 ) .В результате получим:ψ ( x, t ) = ψ′( x′, t ) exp(i (k0 x − ω0t )) ,где k0 = mϑ0 / , ω0 = mϑ0 2 / 2 .

Экспоненциальный множительописывает движение частицы вместе с K'-системой относительноK-системы.1.51. Проинтегрируем уравнение Шредингера по узкой области шириной 2 δ , внутри которой имеется скачок потенциальнойэнергии:ψ′x (+δ) − ψ′x (−δ) =δ∫ (2m /2)( E − U )ψdx−δВвиду конечности разрыва потенциальной энергии интеграл приδ → 0 также стремится к нулю.