Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 21

Показать, что если энергия захваченного электронана атоме примеси ниже дна полосы разрешенных значений энергии для идеальной решетки, то выражения ϕn (n < 0) = a exp(χxn )и ϕn (n > 0) = a′ exp(−χxn ) при a = a′ являются решением системыуравнений (5.12), а сама энергия электрона может быть найденапо формулеE = E0 − 4 A2 + F 2 .1286. ПОЛУПРОВОДНИКИ6.1. СОБСТВЕННАЯ ПРОВОДИМОСТЬПОЛУПРОВОДНИКОВ. ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИПолупроводники по проводимости занимают промежуточноеположение между металлами и изоляторами – B, C, Si, P, S, Ge, As.Их главная особенность – чрезвычайно высокая чувствительностьпроводимости к внешним воздействиям (температура, давление,примеси, электромагнитное излучение и т.д.).

Например, удельноесопротивление кремния при повышении температуры от 293 Кдо 973 К падает в 6·105 раз.Мы уже знаем, что полупроводниками являются кристаллические вещества, у которых валентная зона полностью заполнена электронами, а ширина запрещенной зоны ∆Eщели невелика.Например, ∆Eщели для кремния около 1,1 эВ, ∆Eщели для германияоколо 0,72 эВ.Различают собственные и примесные полупроводники.Собственные полупроводники – химически чистые полупроводники.Примесные полупроводники – полупроводники с различнымипримесями.Рассмотрим сначала механизм собственной проводимостиполупроводников.

При абсолютном нуле температуры валентнаязона заполнена полностью, зона проводимости свободна (рис. 6.1). Обычного электрического поля недостаточно для переброса электронов извалентной зоны в зону проводимости.Поэтому при нулевой температуресобственные полупроводники должны вести себя как изоляторы.Представим, что каким-то образом (как – рассмотрим позднее) удалось перебросить электрон из валентной зоны в зону проводимости. Тогда129в зоне проводимости появляется электрон, свободный от атомаи способный под действием электрического поля перемещатьсяпо кристаллу. В валентной же зоне образуется вакантный уровень,на который могут попасть другие электроны.

Таким образом, электропроводность полупроводника становится не равной нулю.При наличии вакантных уровнейв валентной зоне поведение электроноввалентной зоны (т.е. связанных с атомами) можно представить как движениеположительно заряженных квазичастиц –«дырок» (рис. 6.2). К понятию дыркиможно прийти иначе. Вспомним, чтоэффективная масса электрона m* у потолка энергетической зоны отрицательна.Отсутствие частицы с отрицательнымзарядом ( −e ) и отрицательной массойэквивалентно наличию частицы с положительной массой и положительным зарядом – т.е.

опять приходим к понятию «дырки»!Если в зоне проводимости нет свободных электронов и валентная зона заполнена полностью, т.е. в ней нет «дырок», то проводимость полупроводника равна нулю. А это означает, что ∑ ϑi = 0(сумма берется по всем электронам валентной зоны). После перевода электрона с номером k из валентной зоны в зону проводимостиэта сумма может быть расписана иначе:∑ (ϑi + ϑk ) = 0 → ∑ ϑi = −ϑk ,i≠ki≠kа это означает, что сумма скоростей всех электронов валентнойзоны равна скорости выброшенного в зону проводимости электрона, взятого со знаком «минус». Все эти электроны валентнойзоны создадут ток, равный J = (−e)(−ϑk ) = eϑk .

Этот ток эквивалентен току, который создавала бы частица с зарядом +eи имеющая скорость, противоположную скорости отсутствующегоэлектрона. Такая частица и получила название «дырка» (в дальнейшем кавычки будем опускать).130Если к кристаллу приложить электрическое поле, то электроныначинают смещаться против поля, а дырки вдоль поля. Начинаетсядрейф электронов к положительному полюсу, а дырок – к отрицательному.Таким образом, собственная проводимость полупроводников обусловлена движением электронов в зоне проводимостии дырок в валентной зоне.Как создать пару электрон – дырка? Есть несколько вариантов. Рассмотрим один из них.Направим на полупроводник поток квантов электромагнитного излучения (γ-квантов).

Если энергия фотона больше ∆Eщели(ширины запрещенной зоны), то образуется пара электрон –дырка. Быстрота образования пар пропорциональна интенсивностиизлучения. Если к полупроводнику приложить электрическое поле,то в цепи образуется электрический ток, пропорциональныйинтенсивности света – так возникает явление фотопроводимости.Пусть на полупроводник падает поток частиц высоких энергий (протонов, пионов…). Электрическое поле пролетающих черезкристалл частиц вырывает электроны из связанных состояний,образуя пару электрон – дырка.

Пролет частиц высоких энергийрождает электрический импульс в кристалле – на этом принципеработают полупроводниковые счетчики.До сих пор мы рассматривали свойства полупроводников принулевой температуре. При температурах, отличных от нуля, естьдругой механизм образования пар электрон – дырка. Тепловыеколебания решетки могут вызвать самопроизвольное рождениепары электрон – дырка.

Т.е. попросту говоря, электрон, получаятепловую энергию решетки, способен оторваться от атома и перейти в зону проводимости. Одновременно с этим рождается дырка.Вероятность образования пары электрон – дырка Pпары пропорциональна вероятности того, что вблизи какого-либо атомасосредоточится энергия, которая больше или равна ∆Eщели.

Пораспределению Больцмана,Pпары ∼ exp(−∆Eщели / kT ) .Наряду с образованием пар происходит обратный процессвстречи электрона и дырки, а освобожденная энергия переходитк решетке. Этот процесс называется рекомбинацией электрона131и дырки. Вероятность рекомбинации Pрек пропорциональна как числуэлектронов, так и числу дырок: Pрек ∼ nn n p ( nn – число электроновв единице объема – отрицательных, негативных носителей заряда,nр – число положительных, позитивных носителей заряда – дырок).При равновесии скорость образования пар должна быть равнаскорости рекомбинации. Это приводит к следующему соотношению:n p nn = const ⋅ exp(−∆Eщели / kT ) ,где const слабо зависит от температуры.Если взять совершенно чистое вещество, то число положительных и отрицательных носителей заряда будет одинаковым.Значит, каждое из них меняется по законуn ∼ exp(−∆Eщели / 2kT ) .Поскольку удельная проводимость σ пропорциональна числу носителей заряда, тоσ = σ0 exp(−∆Eщели / 2kT )и быстро растет с увеличением температуры.

Экспериментальную зависимость проводимости от температуры удобно строить влогарифмических координатах (рис. 6.3).Наклон прямой определяется шириной запрещенной зоны,что позволяет экспериментально измерить ∆Eщели.На рис. 6.4 отображены процессы рождения и рекомбинациипары электрон – дырка как в пространстве (рис. 6.4, а), так и наэнергетической диаграмме (рис. 6.4, б).Стрелкой 1 показан процесс рождения пары электрон-дырка,стрелкой 3 – процесс рекомбинации, стрелка 2 отображает перемещение электрона по валентной зоне.1326.2. ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВКроме собственной проводимости, полупроводники обладают еще и примесной проводимостью. Она возникает, если некоторые атомы данного полупроводника заменить в узлах кристаллической решетки атомами, валентность которых отличается наединицу от валентности основных атомов.Заменим в решетке германия одинатом Ge атомом мышьяка As (рис.

6.5).Германий четырехвалентен, мышьяк –пятивалентен. Для образования ковалентных связей с четырьмя атомами Geмышьяку необходимо только четыреэлектрона, пятый оказывается лишним.Он слабо связан с ядром, легко отщепляется от атома и начинает блуждать покристаллу.

Появление лишнего электрона не сопровождается появлением дырки.В окрестности атома As возникает положительный заряд, но онсвязан с этим атомом и не может перемещаться по решетке. Такимобразом, в полупроводниках с примесью, валентность которойна единицу больше валентности основных атомов, имеется толькоодин вид носителей тока – электроны. Атомы примеси, поставляющие электроны, называются донорами, сам полупроводникобладает электронной проводимостью и называется полупроводник n-типа (negative).

Донорные узлы заряжены положительнои действуют как ловушка для электронов. Но т.к. энергия связилишнего электрона с атомом примеси очень мала, то связь захваченного электрона непрочная и легко разрушается за счет тепловых колебаний решетки.Наличие атома примеси искажаетполе решетки, а это приводит к появлению примесного уровня, расположенногов запрещенной зоне (рис. 6.6).

В полупроводниках n-типа это донорный уровень. Для пары Ge–As ∆E ≈ 0,05 эВ(напомним: ∆Eщели ≈ 0,72 эВ). УровеньФерми располагается в верхней половине133запрещенной зоны. Наличие дополнительного энергетическогоуровня, расположенного несколько ниже «дна» зоны проводимости, подробно обсуждалось в разделе «Рассеяние и захватэлектронов на нерегулярностях решетки».Пусть теперь валентность примесина единицу меньше валентности основных атомов, например, в германий внедрили бор с валентностью три (рис.

6.7).Если попытаться представить себеэто образно , получится следующаякартина.Трех валентных электронов боранедостаточно для образования устойчивых связей со всеми четырьмя соседямиGe. Тогда атом бора, пытаясь выдать себя за объект с валентностьючетыре, должен утащить нужный ему электрон, например, у соседнего атома Ge и окажется отрицательно заряженным ионом. Нотам, где он стащит электрон, останется дырка. Избыточный отрицательный заряд возле атома примеси будет связан и не можетперемещаться по кристаллу.Таким образом, в полупроводниках с примесью, валентностькоторой на единицу меньше валентности основных атомов, возникают носители тока только одного вида – дырки. Атомы примеси,которые способны образовать дырку, являются акцепторами, проводимость называется дырочной, а сам полупроводник – полупроводником p-типа (positive).Наличие акцепторных примесей приводит к появлению в запрещенной зоне акцепторных уровней (рис.

6.8). Для пары Ge-B:∆E ≈ 0,08 эВ. Уровень Ферми располагается в нижней половине запрещенной зоны. Появление дополнительногоакцепторного уровня неизбежно вытекает из анализа энергетического спектра электронов при их захвате на нерегулярностях решетки (см. «Рассеяниеи захват электронов на нерегулярностях решетки»). Раньше мы не знали,что делать со знаком «плюс» в выра134жении (5.18) для энергии электрона при наличии атома примеси.Сейчас становится понятным, что это соответствует дополнительному акцепторному уровню, расположенному несколько вышепотолка валентной зоны. Так как для нас теперь дырки являютсяреальными частицами с положительным зарядом, то это приводитк смене знака коэффициента A в уравнениях (5.16) и (5.17) (данныйкоэффициент зависит от энергии взаимодействия дырки и атомоврешетки). В этом случае автоматически появляется возможностьдополнительного энергетического уровня, расположенного в запрещенной зоне несколько выше потолка разрешенной зоны.При повышении температуры уровень Ферми в полупроводниках p- и n-типа смещается к середине запрещенной зоны.Вклад различных механизмов проводимости (собственнойи примесной) определяется концентрацией примесей и сильнозависит от температуры.Например, в чистом Ge собственная концентрация электронов и дырок при T ~ 293 K составляет величину порядка np,nn ~ 2,5·1013 1/см3.

Число атомов Ge ~ 4,5·1022 1/см3. Если есть примесь, которая полностью «ионизирована», то при наличии одногоатома примеси на 106 атомов Ge получаем концентрацию дополнительных электронов:nэлектр ~ 4,5·1022·10–6 ~ 4,5·1016 1/см3(сравните с собственной концентрацией электронов и дырок).Таким образом, при низких температурах преобладает примесная проводимость.При повышении температуры концентрация примесных носителей тока быстро достигает насыщения (т.е.

освобождаются вседонорные и заполняются все акцепторные уровни), и с ростомтемпературы все в большей степени начинает сказываться собственная проводимость за счет переброса электронов в зону проводимости. При температуре порядка 300 °С собственная проводимость становится уже преобладающей.1356.3. РАБОТА ВЫХОДА.КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВЭлектроны проводимости не могут покидать металл в заметном количестве.