Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 29

Тогда число состояний, соответствующих значениям энергии в интервале от E до E + dE , будетравно числу состояний между окружностями радиуса k и k + dkв первой четверти (отрицательные значения k не дают новыхсостояний):dN = ∫ dn1dn2 = ∫l2l 2 2πkdkdkdk=.12π2π2 4После дифференцирования соотношения k 2 = k12 + k2 2 = 2mE /получаемdN =2l 2mdE .2π 22.36. Решение абсолютно аналогично решению задачи 2.27:E = (π22/ 2m)(n12 / a 2 + n2 2 / b 2 + n32 / c 2 ) ,где n1 , n2 , n3 – целые числа, не равные нулю.2.37. а) E = (π22/ 2ml 2 )(n12 + n2 2 + n32 ) , где n1 , n2 , n3 – целыечисла, не равные нулю. ∆E34 = π22/ ml 2 ;б) для шестого уровня комбинация чисел n12 + n2 2 + n32 = 14и E = 7 π2 2 / ml 2 ; кратность вырождения этого уровня равна числуперестановок чисел 1, 2 и 3, т.е.

шести.abcm3/ 22.38. dN =EdE . Вывод аналогичен приведенному2π 2 3в решении задачи 2.35.2.39. Воспользуемся решением, приведенным в разделе«Квантовая частица в яме конечной глубины», с тем отличием,что для выполнения условия ψ (0) = 0 необходимо брать только183нечетные решения.

Для решений с нечетной волновой функциейнеобходимо выполнение условия:αl = − klctgkl ,где2m2(U 0 − E ) = α 2 ,2m2E = k2 .Уравнение α l = − klctgkl нетрудно привести к видуsin kl = ± kl2/ 2ml 2U 0 .Изобразим графически левую и правую части этого уравнения(рис. 2). Тогда координаты точек пересечения прямых с синусоидой будут определять собственныезначения энергии (в силу условияctgkl < 0 , необходимо брать значениясинуса в четных четвертях окружности). Видно, что корни уравнения(т.е. связанные состояния) существуют не всегда!n-й уровень появляется при условии,что kl = (2n − 1)π / 2 , откудаl 2U 0 = (2n − 1) 2 π22.40. Из уравнения sin kl = ± kl22/ 8m .2/ 2ml U 0 , приведенногов предыдущей задаче, следует, что при E = U 0 / 2 значения синусаудовлетворяют условию:l mU 0l mU 0= 3π / 4 (другие значения отбрасыsin() = 1/ 2 →ваем, так как уровень единственный ).

Отсюда следует , чтоl 2U 0 = 9 /16π2 2 / m . Произведение l 2U 0 иногда называют «мощd ψ1= 0 , где ψ1 ∼ sin kx находим наиностью» ямы. Из условияdxболее вероятное положение частицы: xвер = π / 2k = 2l / 3 .2.43. Воспользуемся решением, рассмотренным в разделе«Квантовая частица в яме конечной глубины» и приведеннымв соответствие с обозначениями на рис. 2.22.184Для четных решений должно быть выполнено условиеktgka = α , где2mEk=2и α=2m(U 0 − E )2.Условие ktgka = α нетрудно привести к виду:cos 2 ka =22mU 0 a(ka) 2 ⇒ cos ka =222mU 0 a 2ka .При этом (т.к.

tgka > 0 ) необходимо учитывать те области, гдеsin ka > 0 и cos ka > 0 .Для нечетных решений получаем sin ka =2ka и,2mU 0 a 2так как ctgka < 0 , необходимо учитывать те области, где sin kaи cos ka имеют разные знаки. Графическое решение полученныхуравнений изображено на рис. 3.Видно, что в зависимости от величины U 0 (при данном a) илив зависимости от величины a (при данном U 0 ) в случае четныхволновых функций всегда есть хотя бы одно решение. Это будетпри выполнении условия22mU 0 a 22.44.

E1 = π22<1π2 2.или U 0 a 2 <π/ 28m/18ma 2 .1852π 2 2π2 2=E=16,6эВ;= 12,45 эВ.i6ma 29ma 2U16π2 2=11,2 эВ; Ei = 0 = 2,8 эВ.2.46. U 0 =2427 ma2.47. Задача сводится к решению трансцендентного уравне-2.45. U 0 =нияsin ka =2ka , где k 2 =2m(U 0 − E ). Графическое22mU 0 aрешение данного уравнения приведено на рис. 4. Минимальная«мощность» ямы U 0 a 2 ,при которой появляетсяпервый уровень, равнаU 0 a 2 = π2 2 / 8m .

Приэтом энергия уровня( ka = π / 2 ) равна нулю,т.е. уровень находитсяна «потолке» ямы. Приувеличении U 0 уровень опускается в яму. Следующий уровеньпоявится при tgα = 2 / 3π и т.д.22.48. U = E / sin 2 kd = 1,64 эВ, где k = 2mE / = 6,22·107 см–1.D ≈ exp(−18β d ) = 3,5·10–5, где β = 2m(U − E ) / = 1,9·107 см–1;τ = ln 2 / nD =1,6·10–11 с, где n = 2 E / m / 2d = 1,22·1015 с–1 – частота ударов о стенки ямы.2.49. a = π / 8mU 0 ≈ 3,1·10–10 м (см.

решение задачи 2.47);τ = 1/ nD =1,2·10–11 с, где D ≈ exp(−598β a ) = 8,4·10–5,n = 2 E / m / 2a – частота ударов о стенки ямы,β = 2m( E − U ) / =5,08·105 см–1.2.50. Ширина зоны ∆E ≈ / τ ≈ 0,91 эВ, где τ = 1/ nD – время22mU 0 d ) ≈ e −3,25 – проницаемостьтуннелирования, D ≈ exp(−барьера , n = ϑ / a =1,15·1016 с–1 – частота ударов о стенки ямы ,ϑ = π / ma – скорость электрона.186π2 2+ E = 42 МэВ, где µ – приведенная масса8a 2 µв случае задачи о двух телах (нейтрон и протон в дейтроне)и равная приблизительно половине массы протона.2.51. U 0 =ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. АТОМ ВОДОРОДА3.1. а) E = ω / 2 ; б) E = 3 ω / 2 .3.2.

En = ω(n + 1/ 2) .α2αα 1/ 23.3. A0 = ( )1/ 2 , A1 = α( )1/ 2 , A2 = () .ππ2 π3.4. xвер =1/ α .3.5. x1 = 0, x2 = ±3.6. xср.кв =3.7. а)1x =2.α 2α π1x0 = ; б) введем переменнуюα∞∞10,5/ 2.αξ = αx ; тогдаw = ∫ exp(−ξ 2 )d ξ / ∫ exp(−ξ 2 )d ξ = 0,049 .3.8. Уравнение Шредингера для заданной конфигурацииполя в области x > 0 такое же, как и для линейного осциллятора. Поэтому его решения будут такими же, как и для осциллятора при нечетных значениях n, так как ψ (0) = 0 . Это же относится и к собственным значениям энергии, которые можно представить в виде E = ω(2υ + 3/ 2) , где υ = 0,1, 2... Видно, что приодном и том же значении частоты энергия основного состоянияданного осциллятора превышает энергию основного состояниялинейного осциллятора в три раза.3.9.

Воспользуемся методом разделения переменных, т.е. будемискать решение в виде ψ ( x, y, z ) = X ( x)Y ( y ) Z ( z ) . После подстанов187ки в уравнение Шредингера получим для каждой функции X , Y , Zуравнения следующего типа:X ′′ +2m2( Ex − k x x 2 / 2) X = 0 ,где сумма Ex + E y + Ez должна быть равна полной энергии E. Этиуравнения совпадают с уравнениями для одномерного осциллятора, для которого известны собственные функции ψ α и собственные значения энергии. Поэтому можем записать:ψ αβγ = ψ α ( x) ψβ ( y ) ψ γ ( z ) ,где α, β, γ – некоторые целые числа.

Выражение для энергииприобретает вид: En = ω(n + 3/ 2) , где n = α + β + γ . Число различных комбинаций чисел α, β, γ , сумма которых равна n, даеткратность вырождения n-го уровня. Для определения этого числакомбинаций найдем сначала число возможных троек чисел α, β, γпри фиксированном значении α.

Оно равно числу возможных значений β (или γ), т.е. равно n − α + 1 (β может меняться от 0 доn − α ). Тогда полное число комбинаций из α, β, γ при заданномзначении n (т.е. кратность вырождения) будет равно:nN = ∑ (n − α + 1) =α= 03.10. A = 1/ πr03 , r0 =2(n + 1)(n + 2).2/ kme 2 , E = −2/ 2mr0 2 = − kme 4 / 22,где k = 1/ 4πε 0 .3.11. E = − k 2 me 4 / 8 2 (уровень энергии с главным квантовымчислом n = 2 ), где k = 1/ 4πε 0 .3.12.

rвер = r0 = 4πε02/ me 2 , вероятность нахождения электронав области r < rвер равна 1 − 5 / e 2 = 0,323 .3.13. r = 3r0 / 2, r 2 = 3r0 2 , ( ∆r )где r0 = 4πε01882/ me 2 .2= r2 − r2= 3r0 2 / 4 ,3.14. r / rвер = 3/ 2 .3.15. P = 13/ e 4 = 0, 238 .3.16. F = 2ke 2 / r0 , U = − ke 2 / r0 , где k = 1/ 4πε 0 .3.17.

rвер = 4r0 , r = 5r0 .3.18. Введем понятие объемной плотности заряда ρ = −eψ 2 .kρkeТогда для потенциала можно записать ϕ0 = ∫ 4πr 2 dr = − ,rr0где k = 1/ 4πε 0 .КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ4.1. Среднюю энергию одного электрона можно найти какотношение полной энергии всех электронов проводимости, котоEF (0)рая равна∫Eg ( E )dE , к полному числу электронов, равному0E F (0)∫g ( E )dE .Послевычисленияинтеграловполучаем0E = 3EF (0) / 5 .−14.2. dn( p ) =p 2 / 2m − EFp 2 dp +exp()1 при T ≠ 0 K ,kTπ2 3 p 2 dpпри T = 0 K .π2 34.3. η = 1 − 1/ 8 = 0,65 .4.4. T ≈ 3·104 К.2π2 2= 1,8·10–22 эВ.4.5.

∆E =mV (3π2 n)1/ 3dn( p ) =4.6. ϑвер = ϑmax = 2 EF (0) / m =1,6·106 м/с;ϑ = 3ϑmax / 4 =1,2·106 м/с.4.7. n(λ )d λ = 8πλ −4 d λ .1894.8. Давление электронного газа находится как интегралот произведения импульса, передаваемого стенке при падениикаждого электрона 2mϑ cos α ( α – угол между нормалью к поверхности и скоростью), на число падающих за единицу временина единичную площадку электронов. Число падающих ежесекундно на единичную площадку электронов со скоростями в интервале(ϑ, ϑ + d ϑ) в интервале углов (α, α + d α) с нормалью к поверхности равно:dN = n(ϑ)d ϑ2π sin αd αϑ cos α .4πПосле интегрирования по α от 0 до π / 2 и по скорости от 0 доϑmax = 2 EF (0) / m получаем:p=215π m2(3π2 n)5/ 3 = 5·109 Па.4.9.