Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина, страница 9

Если известна комплексная амплитуда поля в точке P1 , то можнонайти комплексную амплитуду поля в точке P2 .Комплексную амплитуду поля в точках P1 и P2 можно выразить всоответствии с выражением (1.3.23):U (P1 ) = a (P1 ) ⋅ eik 0 E ( P1 )U (P2 ) = a (P2 ) ⋅ eik 0 E ( P2 )(4.5.1)где a – вещественная амплитуда.Рассмотрим, как в отдельности друг от друга переносятся эйконал ивещественная амплитуда.Уравнение переноса эйконала можно получить из выражения (4.3.1) дляоптической длины луча между точками P1 и P2 :E2 = E1 + [P1P2 ](4.5.1)Для переноса вещественной амплитуды рассмотрим лучевую (световую)трубку (рис.4.5.2), которая состоит из бесконечно малой площадки dS1 , и56бесконечно узкого пучка лучей – нормалей к волновому фронту. Пучоквырезает на поверхности бесконечно малую площадку dS 2 .U ( P2 )U ( P1 )dS1dS 2Рис.4.5.2. Лучевая трубка.Энергия распространяется вдоль лучей, и если нет потерь, то потокэнергии через площадку dS1 равен потоку энергии через площадку dS 2 :a 2 (P1 ) ⋅ dS1 = a 2 (P2 ) ⋅ dS2(4.5.3)Чтобы учесть потери, можно ввести коэффициент пропускания поэнергии τ (P1P2 ) между точками.

Тогда выражение (4.5.3) можно переписатьследующим образом:τ (P1P2 ) ⋅ a 2 (P1 ) ⋅ dS1 ⋅ n1 = a 2 (P2 ) ⋅ dS2 ⋅ n2(4.5.4)Отсюда следует уравнение переноса вещественной амплитуды:a (P2 ) = a (P1 ) ⋅n1dS1⋅ τ (P1P2 )n2 dS2(4.5.5)Тогда уравнение переноса комплексной амплитуды будет выглядетьследующим образом:U (P2 ) = U (P1 )n1dS1⋅ τ (P1P2 ) ⋅ eik 0 [P1 P2 ]n2 dS2(4.5.6)Введем функцию комплексного пропускания среды вдоль луча f (P1P2 )между точками P1 и P2 , которая характеризует среду между точками P1 и P2 :f (P1P2 ) =n1dS1⋅ τ (P1P2 ) ⋅ eik 0 [P1 P2 ]n2 dS2(4.5.7)Заметим, что в рамках геометрической оптики происходит поточечныйперенос поля, то есть каждый луч переносит энергию независимо от другихлучей. Поле в точке P2 определяется только точкой P1 .4.5.2.

Пределы применимости геометрической оптикиОсновное приближение геометрической оптики – это приближениекоротких длин волн. Это означает, что длины волн считаются пренебрежимомалыми по сравнению с размерами неоднородностей электромагнитного поля исреды. Поэтому геометрическая оптика не применима там, где необходимоисследовать тонкую структуру неоднородностей, сравнимых с длиной волны.57Итак, геометрическая оптика не описывает распределение светового поля вследующих ситуациях:• вблизи предмета и изображения в оптических системах, то есть там, гдевозможна тонкая структура неоднородностей,• вблизи фокусов пучков.В этих случаях требуются другие подходы к описанию светового поля,основанные на теории дифракции.585. ГеометрическаятеорияоптическихИдеальные оптические системыизображений.5.1.

Описание оптических систем5.1.1. Элементы оптических системОптическая система – это совокупность оптических сред, разделенныхоптическими поверхностями, которые ограничиваются диафрагмами.Оптическая система предназначена для формирования изображения путемперераспределения в пространстве электромагнитного поля, исходящего изпредмета (преобразования световых пучков).Преобразование световых пучков в оптической системе происходит за счетпреломления и отражения света поверхностями, а также за счет ограниченияпучков диафрагмой. Кроме того, пучки света могут преобразовываться за счетдифракции и поглощения.Основными функциональными элементами оптических системявляются:• оптические среды,• оптические поверхности,• зеркала,• диафрагмы,• дифракционные оптические элементы.Оптические средыОптические среды – это прозрачные однородные среды с точнымзначением показателя преломления (с точностью до 4-6 знаков после запятой).В качестве оптических сред в оптических системах в основном применяют:• воздух (вакуум) (n ≈ 1) ,• оптические стекла – точно известны их показатели преломления иразличные оптико-физические свойства (n = 1,42 ÷ 2,0) ,• оптические кристаллы – работают в более широком диапазоне длинволн, чем стекла,• оптические пластмассы – не подходят для точной оптики из-занезначительной твердости и высокого коэффициента тепловогорасширения, но могут применяться для изготовления простыхоптических элементов и позволяют изготавливать очень дешевыеэлементы со сложной формой различными методами, например,прессованием.Оптические системы используются в широком интервале длин волн (отУФ до ИК), поэтому важно знать показатели преломления стекол и кристалловдля разных длин волн.

Дисперсия оптических материалов – это зависимостьпоказателя преломления от длины волны.59Сущностью явления дисперсии является неодинаковая скоростьраспространения лучей света c различной длиной волны в прозрачномвеществе – оптической среде (тогда как в вакууме скорость света всегдаодинакова, независимо от длины волны).

Обычно чем больше частота волны,тем больше показатель преломления среды и меньше ее скорость света в ней(нормальная дисперсия):• у длины волны красного цвета максимальная скорость в среде иминимальная степень преломления;• у длины волны фиолетового цвета минимальная скорость света в среде имаксимальная степень преломления.Однако в некоторых веществах (например, в парах иода) наблюдаетсяэффект аномальной дисперсии, при котором синие лучи преломляются меньше,чем красные, а другие лучи поглощаются веществом. Аномальная дисперсияшироко распространена, например, она наблюдается практически у всех газовна частотах вблизи линий поглощения, однако у паров иода она достаточноудобна для наблюдения в оптическом диапазоне, где они очень сильнопоглощают свет.Показатель преломления материала можно вычислить по различнымдисперсионным формулам, например, используя формулу Зельмейера:4 −5bn2 = 1 + ∑ 2 k 2 ,(5.1.1)λ−λk =1kили формулу Кошиn = a1 + a2 λ2 + a3λ4 + a4 λ−2 + a5λ−4 + a6 λ−6(5.1.2)Таким образом, можно описывать оптические материалы либо значениямикоэффициентов дисперсионной формулы, либо непосредственно значениямипоказателя преломления для различных длин волн.Оптические материалы могут работать только в определенном интерваледлин волн (от λ1 до λ2 ), называемом полосой пропускания, в пределах которогопоказатель преломления хорошо описывается дисперсионными формулами.Вблизи границ этого интервала зависимость показателя преломления сильноотличается от описанного дисперсионной формулой (показатель преломлениялибо резко убывает, либо резко увеличивается).

Пограничные интервалы длинволн называются полосами поглощения. У различных оптических материаловполосы поглощения разные.В видимой области спектра имеются стандартные длины волн,называемые Фраунгоферовыми линиями:60i – 365 нмd – 587 нмh – 404 нмD – 589 нмG ′ – 434 нмC ′ – 643 нмg – 436 нмC – 656 нмF ′ – 480 нмr – 706 нмF – 486 нмA′ – 768 нмe – 546 нмОсновными характеристиками стекол являются показатель преломлениядля основной длины волны nλ0 и общая дисперсия nλ1 − nλ2 , где λ1 , λ2 –наибольшая и наименьшая длины волн, которые пропускает стекло.В качестве опорных или основных длин волн для видимой областииспользуются: центральная длина волны λ0 = e , крайние длины волн λ1 = F ′ ,λ2 = C ′ . Ранее в качестве основных длин волн использовались:λ0 = D, λ1 = F , λ2 = C .Оптическое стекло характеризуется показателем преломления дляосновной длины волны ne (или nD ), а также общей дисперсией nF ′ − nC ′(или nF − nC ).Еще одной важной характеристикой стекла является число Аббе(коэффициент относительной дисперсии):n −1νe = e(5.1.3)n F ′ − nC ′илиνD =nD − 1nF − nCЭрнст Аббе (Ernst Abbe) – немецкий ученый, основатель современной прикладнойоптики, научный руководитель фирм Carl Zeiss и Schott (конец XIX века).Чем меньше число Аббе, тем больше дисперсия, то есть сильнеезависимость показателя преломления от длины волны.

По числу Аббеоптические стекла делят на две группы:• ν e > 60 – кроны,• ν e < 60 – флинты.Комбинация стекол, принадлежащих различным группам, позволяеткомпенсировать хроматические аберрации, возникающие вследствие дисперсииоптического материала и дает возможность создавать высококачественныеоптические системы. Кроны и флинты – это основные группы оптическихстекол.Оптические поверхностиОптическая поверхность – это гладкая регулярная поверхность точноизвестной формы.61Поверхности могут быть:• плоские,• сферические,• асферические.Чаще всего в оптике применятся сферические и плоские поверхности. Длясферических поверхностей задается один параметр поверхности – радиускривизны R , равный расстоянию от вершины преломляющей илиотражающей поверхности до центра кривизны сферической поверхности.Плоской поверхностью можно считать сферическую поверхность с радиусомкривизны равным бесконечности R = ∞ .При компьютерных расчетах удобно также использовать не радиускривизны, а кривизну поверхности:1ρ=(5.1.4)RФорма оптических поверхностей должна выдерживаться с точностьюменьше длины волны.

В идеальных оптических системах отклонения отидеальной формы поверхности не должны превышать 0.1 − 0.02λ , при этомдопуск не зависит от размера поверхности.Плоские и сферические поверхности из стеклянных заготовокизготавливаются достаточно просто (методом притирки), и поэтому именно ихчаще всего используют в оптических системах. Асферические поверхностииспользуются редко из-за сложности их изготовления и контроля, так как у нихразличная величина радиуса кривизны по различным направлениям.