Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина, страница 6

Прохождение света через границу раздела двух сред3.1. Отражение и преломление света на границе раздела двухсредРассмотрим падение плоской волны на границу, разделяющую двепрозрачные однородные диэлектрические среды с показателями преломления nи n′ . Будем считать, что граница представляет собой плоскость (так как впределах бесконечно малой области любую поверхность можно считатьплоской). Будем также считать, что сама граница раздела свет не поглощает.После прохождения границы раздела двух сред падающая плоская волна(луч i ) разделяется на две волны: проходящую во вторую среду (луч t ) иотраженную (луч r ) (рис.3.1.1).zNε′2tn′nxiεεr1Рис.3.1.1.

Преломление и отражение света на границе двух сред.На рис.3.1.1 N – вектор нормали к поверхности в точке падения единичнойдлины ( N = 1) . Поместим начало координат в точку падения. Определимследующие величины:Угол падения ε – это угол между лучом i , падающим на преломляющуюили отражающую поверхность, и нормалью N к поверхности в точкепадения.Угол преломления ε ′ – это угол между преломленным лучом t инормалью N к поверхности в точке преломления.Угол отражения ε – это угол между отраженным лучом r и нормалью Nк поверхности в точке отражения.3.1.1.

Закон преломленияПосле прохождения светом границы раздела двух сред необходимоопределить направление распространения преломленной волны t и отраженнойволны r , и распределение энергии между отраженной и преломленной волной.В соответствии с уравнением плоской волны (1.4.9) запишем выражениядля комплексных амплитуд падающей, отраженной и преломленной волн:уравнение падающей плоской волныik (q , r )(3.1.1)U i (r ) = U i e 0 iуравнение преломленной плоской волны35U t (r ) = U t eik0 (q t , r )(3.1.2)уравнение отраженной плоской волныik (q , r )U r (r ) = U r e 0 r(3.1.3)где q i , q r , q t – оптические векторы падающей, отраженной ипреломленной волн, k0 – волновое число, r – радиус-векторпроизвольной точки.Здесь мы используем соотношения скалярной теории, поскольку законпреломления одинаков для векторных и скалярных волн.Из уравнений падающей и преломленной плоской волны следует, что награнице раздела двух сред у падающей и преломленной волн амплитуды могутбыть различны, но должны совпадать значения эйконалов (этого требуетусловие физической реализуемости, так как иначе волна будет иметь разрыв награнице раздела):(qi , r ) = (q t , r )(3.1.4)Равенство (3.1.4) соблюдается на границе раздела, то есть для всех r ,перпендикулярных вектору нормали.

Таким образом, выражение (3.1.4) можнозаписать в виде:(q t , r ) − (qi , r ) = 0 при (r, N ) = 0или:((qt − qi ), r ) = 0 при (r, N ) = 0То есть (q t − q i )⊥r , если N⊥r . Выполнение этих условий возможно тогдаи только тогда, когда (q t − q i ) || N . Таким образом, можно вывестиформулировки закона преломления в векторной форме:(qt − qi ) = N ⋅ Γ(3.1.5)где Γ – некоторый скаляр, или:[(qt − qi ) × N] = 0или:[q t × N] = [qi × N](3.1.6)(3.1.7)Так как длина оптического вектора равна показателю преломления среды( q i = n , q t = n′ ), то из выражения (3.1.7) и определения векторногопроизведения можно вывести классический закон преломления Снеллиуса(Snell law).Закон преломления (refraction law):качественная часть закона:падающий луч, преломленный луч и нормаль к поверхности раздела двухсред в точке падения лежат в одной плоскости.количественная часть закона:36произведение показателя преломления на синус угла между лучом инормалью сохраняет свое значение при переходе в следующую среду:(3.1.8)n ⋅ sin ε = n′ ⋅ sin ε ′Чтобы найти скаляр Γ , домножим скалярно выражение (3.1.5) на векторнормали N :(N ⋅ q′) − (N ⋅ q ) = (N ⋅ N ) ⋅ Γ(N ⋅ N ) = 1 , следовательно n′ ⋅ cos ε ′ − n ⋅ cosε = Γq′ = q + N ⋅ Γ(3.1.9)где Γ = n′ ⋅ cos ε ′− n ⋅ cosε .Величина Γ имеет большое значение в математическом аппарате расчеталучей (ray tracing) на компьютере.3.1.2.

Закон отраженияЗакон отражения можно вывести в векторной форме аналогично законупреломления, подставив вместо оптического вектора преломленного луча q tоптический вектор отраженного луча q i (рис.3.1.2).N2tπ −εn′niεr1Рис.3.1.2. Отражение света на границе двух сред.Закон отражения (reflection law):sin(π − ε ) = − sin ε(3.1.10)Закон отражения можно представить как частный случай законапреломления при n′ = −n (рис.3.1.3).

Следует отметить, что в отрицательномзначении показателя преломления нет никакого физического смысла, этопросто прием для удобства расчета лучей в геометрической оптике.nn ′ = −nРис.3.1.3. Отражение света на границе двух сред.(q r − qi ) = N ⋅ Γ(3.1.11)Величина Γ в таком случае будет равна:37Γ = −2n ⋅ cos ε(3.1.12)3.1.3. Полное внутреннее отражениеЕсли угол падения ε невелик, то часть поля отражается, а частьпреломляется.

Однако, при переходе из более плотной среды в менее плотную(n > n′) , при некотором угле падения синус угла преломления по законупреломления должен быть больше единицы, что невозможно. Поэтому в такомслучае преломления не происходит, а происходит полное внутреннееотражение (ПВО, entire inner reflection) (рис.3.1.4):2n′ < nn1Рис.3.1.4. Полное внутреннее отражение.Условие полного внутреннего отражения (ПВО):n'(3.1.13)sin ε ≥nПВО – это явление отражения электромагнитных волн от границы разделадвух прозрачных сред при условии, что волна падает из среды с бо́льшимпоказателем преломления и при условии, что угол падения превосходитнекоторый критический угол.

Коэффициент отражения при ПВО не зависит отдлины волны. ПВО широко используется в оптической технике благодаря тому,что при ПВО падающая волна отражается полностью, то есть потерь энергиинет.Нарушение полного внутреннего отражения (НПВО) заключается в том,что коэффициент отражения света от границы раздела сред становится меньшеединицы вследствие поглощения света в приграничном слое отражающейсреды. Степень ослабления отражённой волны зависит от поляризациипадающей волны и пропорциональна показателю поглощения отражающейсреды, а спектр НПВО подобен спектру поглощения этой среды. НПВО,несущественное для геометрической оптики, послужило основой для развитияспектроскопии НПВО, имеющей ряд преимуществ перед традиционнымиметодами исследования спектров отражения и поглощения. Особенноэффективен метод НПВО для исследований поверхностных оптических свойствобъектов, а также для сильно поглощающих сред.383.2.

Формулы Френеля. Соотношение между амплитудамипадающих, преломленных и отраженных волнПри выводе законов преломления и отражения (параграф 3.1) непринимались во внимание энергетические соотношения между падающим,преломленным и отраженным лучами. Для учета этих соотношенийнеобходимо использование векторного описания падающего поля.3.2.1. Формулы ФренеляРассмотрим, какое количество света преломляется, а какое отражается, взависимости от угла падения и показателей преломления сред. Эта задача быларешена в первой половине XIX века Френелем (Fresnel).Рассмотрим границу раздела двух сред с показателями преломления n иn′ . Разложим электрический вектор падающей плоской волны E(i ) на двесоставляющих: одна лежит в плоскости падения ( A | | ), другая перпендикулярнаплоскости падения (и плоскости рисунка) ( A⊥ ) (рис.3.2.1).zε′εrn′n A||itT||A⊥T⊥εxR⊥R||rРис.3.2.1. Отражение и преломление плоской волны.

Формулы Френеля.Тогда компоненты электрического вектора поля падающей плоской волнызапишутся в виде:E x(i ) = − A | | cosεE (yi ) = A⊥(3.2.1)E z(i ) = A | | sinεПоскольку вектор H перпендикулярен вектору E , то его компонентыможно выразить следующим образом:H x( i ) = − A ⊥ n cosεH y(i ) = − A | | ⋅ n(3.2.2)H z( i ) = A⊥ n sinεАналогично можно разложить комплексную амплитуду отраженной волныR и преломленной волны T на параллельную и перпендикулярнуюсоставляющие.Тогда поле прошедшей волны:39E x(t ) = −T | | cosε ′H x( t ) = −T⊥ n' cosε 'E (yt ) = T⊥H y( t ) = −T | | ⋅ n′E z(t ) = T | | sinε ′H z( t ) = T⊥ n' sinε '(3.2.3)Поле отраженной волны:E x( r ) = − R | | cosε rH x( r ) = − R ⊥ n cosε rE y( r ) = R⊥H (yr ) = − R | | ⋅ nE z( r ) = R | | sinε rH z( r ) = R ⊥ n sinε r(3.2.4)На границе раздела двух сред не должно быть разрывов функций, то естьтангенциальные составляющие векторов E и H (х- и у- составляющие,лежащие в плоскости границы раздела) должны быть непрерывны, что следуетиз уравнений Максвелла (1.2.1), и, следовательно, должны выполнятьсясоотношения:E x( i ) + E x( r ) = E x( t )H x( i ) + H x( r ) = H x( t )E y( i ) + E y( r ) = E y( t )H y( i ) + H y( r ) = H y( t )(3.2.5)Эти уравнения описывают непрерывность тангенциальных (лежащих вплоскости границы) компонент электрического и магнитного полей, еслипоглощения на границе нет.Подставив в (3.2.5) значения всех компонент, и учитывая, чтоcos ε r = cos(π − ε ) = − cos ε , получим:cos ε (A | | − R | | ) = cos ε ′T | |A⊥ + R⊥ = T⊥(3.2.6)n cosε ( A ⊥ − R ⊥ ) = n′ cos ε ′T⊥n(A | | + R | | ) = n′T | |Можно решить уравнения (3.2.6) относительно компонент отраженной ипрошедшей волн, выразив их через компоненты падающей волны.

Послепреобразований получим формулы Френеля, для амплитуд прошедшей T | | , T⊥и отраженной R | | , R⊥ волн соответственно:2n cos ε⎧n′ cos ε − n cos ε ′⎧TA||=R || =A||||⎪⎪⎪n′ cos ε + n cos ε ′n′ cos ε + n cos ε ′(3.2.7)⎨⎨2n cos εn cos ε − n′ cos ε ′A⊥⎪ R⊥ =⎪T⊥ =A⊥⎪⎩n′ cos ε ′ + n cos εn cos ε + n′ cos ε ′⎩Пользуясь законом преломления (3.1.8 – 3.1.9), из этих формул можноисключить показатели преломления n и n′ :402 sin ε ′ cos ε⎧=TA||||⎪⎪sin (ε + ε ′ )cos(ε − ε ′)⎨2 sin ε ′ cos ε⎪T⊥ =A⊥⎪⎩sin (ε + ε ′)tg(ε − ε ′)⎧RA||=||⎪⎪tg(ε + ε ′)⎨sin (ε − ε ′ )⎪ R⊥ = −A⊥⎪⎩sin (ε + ε ′ )(3.2.8)3.2.2.