Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина, страница 7

Распределение энергии между отраженным и преломленнымполямиРассмотрим теперь, как энергия поля падающей волны распределяетсямежду отраженным и преломленным полями. Для этого можно использоватьинтенсивности падающей, прошедшей и отраженной волн, определяемые черезквадраты их амплитуд:I i ~ A2 ⋅ (cos ε ⋅ n )2I t ~ T 2 ⋅ (cos ε ′ ⋅ n′)2(3.2.9)I r ~ R 2 ⋅ (cos ε ⋅ n )2Коэффициент отражения ρ показывает, какая часть энергии отражаетсяпо отношению к падающей:R 2 (n cos ε )R2ρ= 2= 22AA (n cos ε )2(3.2.10)Коэффициент пропускания τ показывает, какая часть энергии проходитпо отношению к падающей:τ=T 2 (n′ cos ε ′)2A2 (n cos ε )2(3.2.11)В сумме коэффициенты отражения и пропускания равны единице:ρ+τ = 1(3.2.12)Коэффициенты отражения и пропускания зависят от направленияполяризации падающей волны:⎧tg 2 (ε − ε ′ )⎪ρ | |= 2⎪tg (ε + ε ′)⎨2⎪ ρ = sin (ε − ε ′ )⎪⎩ ⊥ sin 2 (ε + ε ′ )(3.2.13)⎧sin 2 ε + sin (ε − ε ′ )⎪τ | | =⎪sin 2 (ε + ε ′ )cos 2 (ε − ε ′ )(3.2.14)⎨2′()sinεsinεε+−⎪τ =⎪⎩ ⊥sin 2 (ε + ε ′ )Отсюда следует, что при прохождении светом границы раздела двух средего состояние поляризации изменяется.413.3.

Различные случаи падения и отражения светаМатематическое описание прохождения полем границы раздела двух средимеет большое значение при проектировании оптических систем, гдевстречается ряд практически важных частных случаев. Ниже рассматриваютсяэти случаи, а также пример применения формул Френеля для расчетапросветляющих покрытий, уменьшающих потери света на отражение.3.3.1. Нормальное падениеПри нормальном падении ε = ε ′= 0 . Тогда коэффициент отраженияопределяется так:2⎛ n′ − n ⎞ρ ⊥ = ρ | |= ρ = ⎜(3.3.1)⎟⎝ n′ + n ⎠Исходя из выражения (3.2.12), получим коэффициент пропускания:n4n ′ = 4 nn ′τ=(3.3.2)22′()+nnn⎛⎞⎜ + 1⎟⎝ n′ ⎠Если граница раздела сред – стекло-воздух, то ρ ≈ 0.04 , то есть принормальном падении света на стекло отражается около 4% энергии.3.3.2.

Угол БрюстераИз выражения (3.2.13) следует, что при угле падения таком, что ε + ε ′=коэффициентотраженияпараллельнополяризованногосветаπ,2ρ || = 0 .Следовательно, при определенном угле падения свет при параллельнойполяризации совсем не отражается, а отражается только ортогональнополяризованный свет (рис.3.3.1).Угол, при котором происходит полная поляризация при отражении,называется углом Брюстера:tgε =n′n(3.3.3)Nε′πn′niεεt2rРис.3.3.1. Угол Брюстера.42Можно наглядно показать различия зависимостей коэффициентовотражения света от границы раздела двух сред для двух случаев поляризации.Для этого строится график зависимости ρTE и ρTM от угла падения ε i(рис.3.3.2). Индекс TE обозначает такое состояние поляризации света, прикотором электрический вектор перпендикулярен плоскости падения ( E⊥ ), аTM – состояние поляризации, при котором электрический вектор лежит вплоскости падения ( E | | ).

График показывает, что граница раздела двух средоказывает наиболее сильное влияние на поляризацию падающего света дляуглов падения, близких к углу Брюстера. Это явление используется присоздании специальных преобразователей светового поля – поляризаторов.ρ10.90.80.70.60.5ρTE0.40.3ρTM0.2εi0.10010203040505660708090Рис.3.3.2. График зависимости коэффициентов отражениядля TM и TE поляризованного света от угла падения ε i .3.3.3. Просветление оптики. Тонкие пленкиПри прохождении света через сложные оптические системы с большимколичеством оптических деталей на каждой поверхности теряется около 4%света.

В результате через систему может пройти всего 20% светового потока.Применение тонкослойных пленок для ослабления френелевского отраженияназывается просветлением оптики. Просветляющие покрытия могутуменьшить отражение в 3-4 раза.Принцип действия просветляющих покрытий основан на явленииинтерференции. На поверхность оптической детали наносят тонкую пленку,показатель преломления которой меньше показателя преломления стеклаn пл < n ст . Луч, отраженный от поверхности пленки, и луч, отраженный отграницы пленка-стекло когерентны.

Можно подобрать толщину пленки так,чтобы при интерференции они погасили бы друг друга, усиливая, такимобразом, проходящий свет (рис.3.3.3).43n0nплncтd плстекловоздухпленкаРис.3.3.3. Просветление оптики.Для этого, во-первых, амплитуды двух отраженных волн должны бытьравны (ρ1 = ρ 2 ) , и, во-вторых, фазы (эйконалы) должны отличаться наполовину периода, чтобы лучи погасили друг друга ( E1 − E2 =ϕ1 − ϕ 2 = π ).

Для этого необходимо выполнение следующих условий:λ2или(3.3.4)nпл = nср ⋅ nстЕсли внешней средой является воздух, то nпл = nст .n пл ⋅ d пл =λ(3.3.5)4444. Геометрическая оптика4.1. Приближение коротких длин волн. Уравнение эйконалаГеометрическая оптика – это раздел оптики, в котором предполагается,что длина волны пренебрежимо мала (λ 0→ 0) . В основу геометрической оптикиположено уравнение эйконала. Его можно получить из волнового уравнениядля комплексной амплитуды (уравнения Гельмгольца) (1.3.26).Вначале рассмотрим известные из математики тождества, справедливыедля некоторой функции U , заданной в экспоненциальной формеU = e β (r ) = e β ( x , y , z ) :∂U∂β∂β= eβ=U(4.1.1)∂x∂x∂x⎡⎛ ∂β ⎞ ∂ 2 β ⎤∂ 2U∂β ∂β∂ 2β=U+U= U ⎢⎜⎜⎟⎟ +2 ⎥∂x∂x∂x∂ x2∂ x2∂x⎢⎣⎝⎠⎥⎦2(4.1.2)Таким образом:∇ 2U =[∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U2++= U (∇β ) + ∇ 2 β222∂x∂y∂z](4.1.3)Пусть теперь U – это комплексная амплитуда, которая представлена ввиде:U = e β = e[α (r )+ ik 0 E (r )](4.1.4)Тогда, применив преобразование (4.1.3), получим следующее выражение:{}(4.1.5)(∇α + ik0∇E )2 + ∇2α + ik0∇2 E + k02n 2 = 0(4.1.6)U [∇[α (r ) + ik0 E (r )]]2 + ∇ 2 [α (r ) + ik0 E (r )] + k02 n 2U = 0отсюда:В итоге получим следующее уравнение:(∇α )2 + 2ik0∇E∇α − k02 (∇E )2 + ∇2α + ik0∇2 E + k02n 2 = 0или:[(∇α )2] []− k 02 (∇E ) + ∇ 2α + k 02 n 2 + i k 0 ∇ 2 E + 2k 0 ∇E∇α = 02(4.1.7)(4.1.8)Поскольку в левой части уравнения (4.1.8) – комплексное число, торавенство нулю правой части предполагает равенство нулю как вещественной,так и мнимой частей этого комплексного числа.

Нас интересует вещественнаячасть:(∇α )2 − k 02 (∇E )2 + ∇ 2α + k 02 n 2 = 0(4.1.9)Перепишем это уравнение в виде:45(∇E )2 − n 2 =где k 0 =2πλ0[12()∇α+ ∇ 2α2k0], или:[λ 02(∇E ) − n = 2 (∇α )2 + ∇ 2α4π22](4.1.10)Применим к уравнению (4.1.10) приближение коротких длин волн. Еслидлина волны стремится к нулю (λ 0→ 0) , то в правой части уравненияполучается величина, близкая к нулю. Отсюда можно получить уравнениеэйконала:(∇E )2 = n 2(4.1.11)или:222(∇E ) = ⎛⎜⎜ ∂ E ⎞⎟⎟ + ⎛⎜⎜ ∂ E ⎞⎟⎟ + ⎛⎜⎜ ∂ E ⎞⎟⎟ = n 2 (x, y, z )(4.1.12)xyz∂∂∂⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠Из уравнения эйконала следует, что геометрическая оптика примениматолько для коротких длин волн.

Чем короче длина волны, тем точнееприближение геометрической оптики.24.2. Основные понятия геометрической оптики4.2.1. Волновой фронт и лучиИз приближения коротких волн, рассмотренного в параграфе 4.1, следуетподход к изучению распространения света на основе понятия лучей.Луч – это линия (прямая или кривая), вдоль которой распространяетсяэнергия светового поля.Таким образом, геометрическая оптика описывает распространениеэлектромагнитного поля как распространение лучей в пространстве. Кромелучей существует еще одно важное понятие геометрической оптики – волновойфронт.Волновой фронт – это поверхность равной фазы или равного эйконала:E (r ) = const(4.2.1)Изменяя значение const можно получить различные волновые фронты.При перемещении волнового фронта из одного положения в другое происходитувеличение эйконала.Основные свойства волновых фронтов:• волновые фронты в рамках геометрической оптики не пересекаютсямежду собой;46• через каждую точку пространства проходит волновой фронт, и причемтолько один.лучqE3E1E2Рис.4.2.1.

Волновые фронты и лучи.В геометрической оптике лучи определяются как нормали к волновомуфронту. Направление луча совпадает с направлением распространенияволнового фронта и определяется оптическим вектором q в каждой точкепространства (рис.4.2.1).Уравнение волнового фронта:q = ∇E(4.2.2)Если среда, в которой распространяется свет однородна, то есть еепоказатель преломления не зависит от пространственных координат (n = const ) ,то из уравнения эйконала (4.1.11) следует, что направление луча остаетсяпостоянным:q = const(4.2.3)Следовательно, в однородной среде лучи являются прямыми линиями.