Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина (1060852), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Награнице раздела двух сред луч преломляется в соответствии с закономпреломления.В неоднородной среде, где показатель преломления непостоянен, лучиискривляются в сторону градиента показателя преломления ∇n , то есть сувеличением показателя преломления возрастает кривизна луча. При этомкривизна луча пропорциональна ∇n . В общем случае, когда луч - это криваялиния, вектор q направлен по касательной к лучу в каждой точке (рис.4.2.2).qлуч∇nРис.4.2.2. Оптический луч в неоднородной среде.С помощью изучения траекторий лучей в неоднородной среде можноанализировать влияние неоднородностей на распространение света, например,используя наземные оптические телескопы учитывать неоднородностьатмосферы Земли.474.2.2. Оптическая длина лучаПусть имеется однородная среда (n = const ) , тогда отрезок луча междуточками P1 и P2 – это отрезок прямой с геометрической длиной l (рис.4.2.3).P2P1lРис.4.2.3.
Оптическая длина луча в однородной среде.Оптическая длина луча в однородной среде:Оптическая длина луча в однородной среде – это произведениегеометрической длины пути луча l на показатель преломления n среды, вкоторой распространяется свет:[P1P2 ] = nl(4.2.4)Если среда является неоднородной (n ( x, y , z ) ≠ const ) , то путь луча можноразбить на бесконечно малые отрезки dS , в пределах каждого из которыхпоказатель преломления можно считать постоянным (рис.4.2.4).P2dSP1Рис.4.2.4.
Оптическая длина луча в неоднородной среде.В этом случае оптическая длина луча вычисляется как криволинейныйинтеграл:P2[P1P2 ] = ∫ n ⋅ dS(4.2.5)P1Если есть несколько однородных сред, разделенных границами (рис.4.2.5),то оптическая длина луча вычисляется как сумма оптических длин лучей вкаждой среде:[P1P2 ] = ∑ lk nk(4.2.6)n0P1l0n1nkl1lkP2Рис.4.2.5. Оптическая длина луча в нескольких средах.48Если среды неоднородные, то можно пользоваться выражением (4.2.5),считая интеграл по ломаной линии.4.2.3.
Конгруэнция лучейПучок лучей – это множество линий, пронизывающих пространство. Но некаждое множество кривых или прямых линий, пронизывающих пространство,можно назвать пучком лучей. Для того чтобы множество линий образовывалопучок лучей, нужно чтобы это множество составило конгруэнцию.Конгруэнция – это такая совокупность линий в пространстве, для которойвыполняется условие, что через любую точку пространства можнопровести только одну линию из этой системы (рис.4.2.6).Рис.4.2.6.
Конгруэнция.Конгруэнция определяется следующим уравнением:rot (q (r )) = 0(4.2.7)или(∇ × q(r )) = 0где запись q(r ) определяет множество лучей в пространстве. Выражение(4.2.7) означает, что совокупность лучей не образует вихревые структуры.Нормальная конгруэнция – это конгруэнция, все линии которойпересекаются некоторой поверхностью под прямым углом.Пучок лучей – это множество лучей, которое представляет собойнормальную конгруэнцию.4.3. Основные законы геометрической оптикиВсе законы геометрической оптики следуют из закона сохранения энергиии не являются независимыми друг от друга.4.3.1. Закон независимого распространения лучейЕсли через точку пространства проходит несколько лучей, то каждый лучведет себя так, как если бы других лучей не было.49Это справедливо для линейной оптики, где показатель преломления независит от амплитуды и интенсивности проходящего света.4.3.2.
Закон обратимостиТраектория и длина хода лучей не зависят от направленияраспространения.То есть, если луч, который распространяется от точки P1 до точки P2 ,пустить в обратном ходе (от P2 к P1 ), то он будет иметь такую же траекторию,как и в прямом.4.3.3. Закон прямолинейного распространенияВ однородной среде лучи – прямые линии (см. параграф 4.2.1).4.3.4.
Закон преломления и отраженияЗакон отражения и преломления подробно рассматривается в Главе 3. Врамках геометрической оптики формулировки законов преломления иотражения сохраняются.4.3.5. Принцип таутохронизмаE2E1P2P1Рис.4.3.1. Принцип таутохронизма.Рассмотрим распространение света, как распространение волновыхфронтов (рис.4.3.1).Оптическая длина любого луча между двумя волновыми фронтами одна ита же:[P1P2 ] = E2 − E1 = const(4.3.1)Волновые фронты – поверхности, которые оптически параллельны(конгруэнтны) друг другу. Это справедливо и для распространения волновыхфронтов в неоднородных средах4.3.6.
Принцип ФермаПусть имеются две точки P1 и P2 , расположенные, возможно, в различныхсредах. Эти точки можно соединить между собой различными линиями. Среди50этих линий будет только одна, которая будет являться оптическим лучом,который распространяется в соответствии с законами геометрической оптики(рис.4.3.2).лучP1P2Рис.4.3.2. Принцип Ферма.Можно сосчитать для сравнения оптическую длину этого луча и какихлибо других линий. В результате такого сравнения был получен принципФерма (Fermat principle).Принцип Ферма:Оптическая длина луча между двумя точками минимальна по сравнениюсо всеми другими линиями, соединяющими эти две точки:[P1P2 ] = min(4.3.2)Существует более полная формулировка:Оптическая длина луча между двумя точками является стационарной поотношению к смещению этой линии.Луч – кратчайшее расстояние между двумя точками. Если линия, вдолькоторой мы измеряем расстояние между двумя точками, отличается от луча навеличину 1-го порядка малости, то оптическая длина этой линии отличается отоптической длины луча на величину 2-го порядка малости.Если оптическую длину луча, соединяющего две точки, поделить наскорость света, то получим время, необходимое на преодоление расстояниямежду двумя точками:[P1P2 ] = Δt ⇒ [P P ] = cΔt(4.3.3)1 2cЕще одна формулировка принципа Ферма:Луч, соединяющий две точки, идет по такому пути, который требуетнаименьшего времени (по самому быстрому пути).Из этого принципа могут быть выведены законы преломления, отраженияи т.д.4.3.7.
Закон Малюса-ДюпенаНормальная конгруэнция сохраняет свойства нормальной конгруэнции впроцессе прохождения через различные среды.514.3.8. ИнвариантыИнварианты (от слова неизменный) – это соотношения, выражения,которые сохраняют свой вид при изменении каких-либо условий, например,при прохождении света через различные среды или системы.Интегральный инвариант ЛагранжаПусть имеется некоторая нормальная конгруэнция (пучок лучей), и двепроизвольные точки в пространстве P1 и P2 (рис.4.3.3). Соединим эти две точкипроизвольной линией и найдем криволинейный интеграл.P2∫ (qdr )(4.3.4)P1Криволинейный интеграл (4.3.4), взятый между двумя любыми точками P1и P2 , не зависит от пути интегрирования.qP2P1Рис.4.3.3. Интегральный инвариант Лагранжа.Дифференциальный инвариант ЛагранжаЛуч в пространстве полностью описывается радиус-вектором r , которыйсодержит три линейные координаты ( x, y , z ) , и оптическим вектором q ,который содержит три угловые координаты ( X , Y , Z ) .
Всего, таким образом,имеется 6 параметров для определения некоторого луча в пространстве. Однакоиз этих 6 параметров только 4 являются независимыми, так как можно получитьдва уравнения, которые связывают параметры луча друг с другом.Первое уравнение определяет длину оптического вектора:X 2 + Y 2 + Z 2 = n2(4.3.5)где n – показатель преломления среды.Второе уравнение вытекает из условия ортогональности векторов q и r :(r ⋅ q ) = 0илиxX + yY + zZ = 0(4.3.6)Из выражений (4.3.5) и (4.3.6), воспользовавшисьгеометрией, можно вывести следующее соотношение:52аналитическойIe =∂ r ∂q ∂ r ∂ q⋅−⋅∂U ∂V ∂V ∂U(4.3.7)где U и V – это пара любых из 6-ти параметров луча.Дифференциальный инвариант Лагранжа:Величина I e сохраняет свое значение для данного луча прираспространении пучка лучей через любую совокупность оптических сред.Инвариант ШтраубеляРассмотрим в пространстве бесконечно малые площадки dS1 и dS 2 ,находящиеся на некотором расстоянии друг от друга (рис.4.3.4).
Углы α1 и α 2 –углы между нормалями к площадкам и направлением луча.dS1dΩ1α1qdΩ 2dS 2α2N1N2Рис.4.3.4. Световая трубка.Если мы соединим все возможные точки краев площадки друг с другом, тополучим так называемую лучевую (световую) трубку.Геометрический фактор лучевой трубки записывается так:G = n 2 ⋅ dS1 ⋅ cos α 1⋅ dΩ1 = n 2 ⋅ dS2 ⋅ cos α 2 ⋅ dΩ 2 ==(4.3.8)n 2 ⋅ dS1 ⋅ dS2 ⋅ cos α1 ⋅ cos α 2c2Рис.4.3.5. Инвариант Штраубеля.Инвариант Штраубеля:Геометрический фактор остается инвариантным при распространениилучевой трубки через любую последовательность различных сред(рис.4.3.5).Инвариант Штраубеля выражает закон сохранения энергии, так как онпоказывает неизменность лучистого потока.53Из определения яркости можно получить следующее равенство:d 2 Φ = LR ⋅ G(4.3.9)L– приведенная яркость, которая инвариантна, как уже былоn2сказано в главе 2.где LR =4.4.
Пучки лучей4.4.1. Гомоцентрические пучки лучейГомоцентрические пучки лучей имеют общий центр, то есть все лучивыходят или сходятся в одной точке.Гомоцентрические пучки лучей могут быть сходящимися (рис.4.4.1.а),расходящимися (рис.4.4.1.б), или параллельными (рис.4.4.1.в).ООa) расходящийсяб) сходящийсяв) параллельныйРис.4.4.1. Пучки лучей.Фокус пучка – это точка, в которой все лучи сходятся или из которой онивсе выходят. Волновой фронт такого пучка представляет собой сферическуюповерхность. В частном случае фокус пучка находится на бесконечности, тогдаволновой фронт плоский, а все лучи параллельны.Фокус, focus (лат.) – очаг, место где горит огоньФокус может быть мнимым или действительным. Действительный фокусобразован самими лучами, а мнимый – их продолжениями (рис.4.4.2).действитльный фокусмнимый фокусРис.4.4.2.
Действительный и мнимый фокус.54Все рассмотренные здесь пучки являются двухпараметрическими(показатель преломления фиксирован, положение фокуса зависит отоптического вектора q , а он имеет два параметра). Кроме таких пучков,существуют пучки, обладающие более сложными свойствами (например,лазерные пучки). Их структура определяется не двумя, а четырьмяпараметрами.4.4.2. Негомоцентрические пучкиНегомоцентрический пучок – это пучок, не имеющий общего фокуса(лучи не пересекаются в одной точке).
Волновой фронт такого пучка – несферической и не плоской формы (рис.4.4.3).локальный фокусРис.4.4.3. Негомоцентрический пучок.У негомоцентрических пучков нет общего фокуса, но есть локальныефокусы. Локальный фокус – это точка, в которой пересекается часть лучейпучка (рис.4.4.3). У бесконечно узкого пучка всегда есть локальный фокус.Если рассматривать широкий пучок как совокупность бесконечно узких пучков,то совокупность локальных фокусов образует поверхность сложной формы,которая называется каустикой.4.4.3. Астигматический пучокЧастным случаем негомоцентрического пучка является астигматическийпучок.
Бесконечно узкий астигматический пучок имеет два локальных фокуса –сагиттальный фокус Fs и меридиональный фокус Fm . Широкийастигматический пучок имеет две плоскости симметрии, которые взаимноперпендикулярны – меридиональную и сагиттальную. Каустика представляетсобой две полоски (вертикальная и горизонтальная) (рис.4.4.4). У широкогоастигматического пучка поверхность волнового фронта – поверхность двоякойкривизны, то есть волновой фронт имеет торическую форму.Расстояние между точками Fs и Fm – это мера астигматизма. Эторасстояние называют продольным астигматизмом δ (Fs , Fm ) . Если δ (Fs , Fm ) = 0 ,то пучок будет гомоцентрическим. Совокупность лучей астигматическогопучка называют конусом Штурма.55меридиональная плоскостьмеридиональная каустикаFsFmсагиттальная каустикасагиттальная плоскостьРис.4.4.4.
Астигматический пучок.4.5. Перенос поля в приближении геометрической оптики.Пределы применимости геометрической оптики4.5.1. Уравнение переноса комплексной амплитуды в приближениигеометрической оптикиВ приближении геометрической оптики поле распространяется вдольлучей. При таком подходе перенос поля – это перенос комплексной амплитудыU (P1 ) из точки P1 в точку P2 .U ( P2 )U ( P1 )P2P1Рис.4.5.1. Перенос поля из точки в точку.Пусть имеются точки P1 и P2 , которые находятся в различных средах(рис.4.5.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
