Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина, страница 2

Для полного описанияраспространения светового поля вмсте с уравнениями Максвелла используютматериальные уравнениямя (5-6), которые учитывают свойства вещества.•∇ × E = −B•(1)∇ × H = D+ J∇⋅D = ρ(2)(3)D=ε E(5)∇⋅B = 0(4)B=μH(6)(1.2.1)Уравнения Максвелла в классических обозначениях имеют вид:•rotE = − B(1)•rotH = D + J(2)divD = ρ(3)divB = 0(4)(1.2.2)6В вакууме и диэлектриках, плотность заряда и токи равны нулю:ρ = 0 , J = 0 , поэтому уравнения Максвелла для диэлектрической средывыглядят следующим образом:•∇ × E = −B(1)•∇×H = D(2)∇⋅D = 0(3)∇⋅B = 0(4)(1.2.3)Для вакуума из уравнений Максвелла можно получить следующее важноесоотношение:1ε 0 μ0 =(1.2.4)cгде c = 3 ⋅ 108 м– скорость распространения электромагнитногосизлучения в вакууме, ε 0 и μ0 – электрическая и магнитная постоянные ввакууме.Электрическая проницаемость ε для разных сред может приниматьразличные значения, а магнитная проницаемость μ для оптических частот вовсех средах практически не отличается от μ0 .

Для линейных сред ε и μ независят от E и H , то есть электрическая и магнитная постоянные линейнойсреды не зависят от интенсивности света.Уравнения Максвелла описывают векторное поле. Вектор электрическойнапряженности перпендикулярен вектору магнитной напряженности, и оба ониперпендикулярны направлению распространения света (рис.1.2.2), поэтомутакое поле называется поперечным.ESHРис.

1.2.2 . Взаимное расположение векторов электрической (E) и магнитной(H ) напряженности и направления распространения света (S ) .1.3. Математическое описание электромагнитных волнРаспространение электромагнитного поля в пространстве – это волновойпроцесс, описание которого можно получить из уравнений Максвелла (1.2.1).Уравнения Максвелла описывают свойства электромагнитных волн в наиболееобщем случае, но их непосредственное использование не всегда удобно.7Поэтому для случая линейных и однородных сред можно получить болеепростые волновые уравнения, из которых следуют все законы геометрическойоптики.1.3.1. Волновые уравненияВ оптике часто рассматривают изменение электрического и магнитногополей независимо друг от друга, и тогда векторный характер поля не являетсясущественным, а электромагнитное поле можно рассматривать и описывать какскалярное.

Скалярная теория значительно проще векторной, и вместе с тем даетвозможность достаточно глубоко анализировать распространение световыхпучков и процессы образования изображения в оптических системах. Вгеометрической оптике скалярная теория широко используется именноблагодаря тому, что электрическое и магнитное поля в этом случае могут бытьописаны независимо друг от друга, а волновые уравнения одинаковы длявекторного и скалярного полей.Рассмотрим вывод волновых уравнений непосредственно из уравненийМаксвелла. Возьмем уравнение для ротора электрического поля, определяемогочерез производную по времени от магнитной индукции:•∂Bμ ∂H∇×E = −B = −=−∂t∂tВекторно домножим это уравнение на ∇ :⎛ ∂ ⎛ ∂ D ⎞⎞⎛⎛∂⎞∂H⎞∇ × ∇ × E = − μ ⎜⎜ ∇ ×⎟⎟ = − μ ⎜⎜ (∇ × H )⎟⎟ = − μ ⎜⎜⎜⎜⎟⎟ ⎟⎟ =tttt∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎠⎝⎛∂2⎞∂ 2E⎟⎜= − μ ⎜ 2 (ε E)⎟ = −ε μ 2∂t⎝∂ t⎠Воспользовавшись выражением (А.15) из Приложения А, получим:∂ 2E∇ ⋅ (∇ ⋅ E) − ∇ E = −ε μ 2∂t2Так как дивергенция электрического поля в диэлектрической среде∇ ⋅ D = 0 , то в однородной среде ∇ ⋅ E = 0 , что следует из уравнений Максвелла(4, 5).

Тогда получим волновое уравнение для электрической составляющейполя:∂ 2E∇ E =εμ∂t 22(1.3.1)или∂2E∇ E −εμ=0∂t 228⎛ Ex ⎞⎜ ⎟Поскольку E = ⎜ E y ⎟ , векторное уравнение представляется в виде трех⎜ ⎟⎝ Ez ⎠скалярных уравнений:⎧ 2∂ 2 Ex⎪ ∇ Ex = ε μ∂ t2⎪∂ 2Ey⎪ 2⎨∇ E y = ε μ∂ t2⎪⎪ 2∂ 2 Ez∇=Eεμz⎪∂ t2⎩(1.3.2)Рассуждая аналогичным образом, можно получить волновое уравнениедля магнитной составляющей поля:∇ 2H = ε μ∂ 2H∂ t2(1.3.3)⎛Hx ⎞⎜⎟Поскольку H = ⎜ H y ⎟ , то это векторное уравнение также представляется в⎜⎟⎝ Hz ⎠виде трех скалярных уравнений:⎧ 2∂ 2H x∇=Hεμx⎪2∂t⎪∂ 2H y⎪ 2(1.3.4)⎨∇ H y = ε μ2∂t⎪⎪ 2∂ 2H z⎪∇ H z = ε μ ∂ t2⎩Из уравнений Максвелла следует, что каждая из составляющих E x , E y , E zвектора E подчиняется абсолютно одному и тому же скалярному уравнению.Поэтому, если требуется знать изменение только какой-нибудь одной изсоставляющих вектора E , мы можем рассматривать векторное поле какскалярное.

Перед тем, как окончательно перейти к скалярной теории, следуетзаметить, что составляющие вектора E не являются независимыми функциями,что вытекает из условия ∇ ⋅ E = 0 . Поэтому, хотя скалярные волновыеуравнения являются следствием уравнений Максвелла, обратно перейти от нихк уравнениям Максвелла нельзя.Пусть скалярная величина V – это любая из составляющих электрическоговектора: ( E x , E y или E z ). Иными словами, это возмущение поля в какой-то9точке пространства в какой-то момент времени V ( x, y , z, t ) .

Тогда можнозаписать волновое уравнение в общем виде:∂ 2V∇ V = εμ 2∂t2(1.3.5)где ∇ 2V – вторая производная возмущения по пространственнымкоординатам,∂ 2V– вторая производная возмущения по времени.∂ t2Смысл этого уравнения заключается в том, что волна образуется тогда,когда у некоторого возмущения вторая производная по пространственнымкоординатам пропорциональна второй производной по времени.Можно показать, что скорость распространения волны для диэлектриковсвязана с электрической и магнитной проницаемостями среды следующимобразом:1εμ = 2(1.3.6)υСледовательно,определяется так:1υ=скоростьраспространенияволнывпространстве(1.3.7)εμТогда общий вид волнового уравнения можно записать следующимобразом:1 ∂ 2V∇V= 2⋅ 2υ ∂t2(1.3.8)Волновое уравнение для одной оси координат:∂ V 1 ∂ 2V=⋅∂ x υ 2 ∂ t2(1.3.9)Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называетсяпоказателем преломления данной среды (index of refraction):n=cυ=εμε 0μ 0(1.3.10)1.3.2.

Монохроматическое полеМонохроматическое поле – это поле, обладающее очень малымразбросом частот, в идеале - одной длиной волны.Монохроматическое поле изменяется во времени по гармоническомузакону (рис.1.3.1):(1.3.11)V (r, t ) = a (r ) cos(ω t − ϕ 0 (r ))10где a (r ) – амплитуда возмущения (функция пространственныхкоординат),ω – циклическая частота изменения поля во времени,ϕ 0 (r ) – фаза поля (функция пространственных координат).λVatTРис.1.3.1. Изменение монохроматического поля во времени.Монохроматическое поле также характеризуется периодом колебаний Tили частотой ν :1ν = , [c −1 ] = [Гц ](1.3.12)Tпричем циклическую частоту ω можно выразить через частоту ν :ω = 2πν , ⎡⎢ рад с ⎤⎥⎣(1.3.13)⎦Гармоническую волну характеризуют также пространственный период –длина волны λ :λ =υ ⋅T =υ υ= ⋅ 2π , [ед.длины]ν ω(1.3.14)и волновое число:k=2πλ=ω, [ед.длины−1 ]υ(1.3.15)400450500550600ИКкрасныйоранжевыйжелтыйголубойзеленыйсинийУФфиолетовыйИзлучение с определенной длиной волны соответствует определенномуцвету в видимом диапазоне (рис.1.3.2).650λ , нм700Рис.1.3.2.

Спектр видимого излучения.Постоянными характеристиками, не зависящими от показателяпреломления, для монохроматического поля являются: частота ν , циклическаячастота ω и период колебаний T . Длина волны λ и волновое число kменяются в зависимости от показателя преломления, так как меняется скорость11распространения света в среде(υ = c n ).Итак, частота в среде всегдасохраняется, а длина волны изменяется. Длину волны и волновое число внекоторой среде с показателем преломления n можно определить так:λ=λ0(1.3.16)nk = k0 nгде λ0 – длина волны в вакууме, k0 – волновое число в вакууме.Иногда при описании монохроматического поля вместо фазы ϕ 0используют другие величины.

Введем в выражение для волнового возмущенияволновое число k0 вместо циклической частоты ω :k0 =ω(1.3.17)cТогда волновое возмущение примет вид:V (r, t ) = a (r ) cos k 0 [ct − E (r )](1.3.18)где E (r ) – это эйконал поля:E=ϕ0k0=ϕ0λ0 , [нм]2π(1.3.19)Слово “эйконал” происходит от греческого слова εικων (эйкон – образ). Врусском языке этому соответствует слово “икона”.В отличие от фазы поля эйконал более удобная величина для оценкиизменения фазы от луча к лучу, так как непосредственно связан сгеометрической длиной хода луча.Оптическая длина луча n l (optical path difference, OPD) – этопроизведение показателя преломления n на геометрическую длину пути l .Приращение эйконала равно оптической длине луча:ΔE = nlЕсли фазаизменяетсяна2π ,тоэйконал(1.3.20)изменяется на λ0 :Δϕ = 2π ⇒ ΔE = λ0 ; если фаза изменяется на π , то эйконал изменяется наΔϕ = π ⇒ ΔE =Δϕ =π⇒ ΔE =λ02; если фаза изменяется наλ0π2, то эйконал изменяется наλ02λ04::.24Эйконал очень важен в теории оптического изображения, так как понятиеэйконала позволяет, во-первых, описать весь процесс образования изображенияс позиций волновой теории света, а во-вторых, наиболее полнопроанализировать искажения передачи изображения оптическими приборами.Теория эйконала, разработанная в XIX веке Петцвалем, Зейделем иШварцшильдом,явиласьважнымфундаментальнымдостижением12геометрической оптики, благодаря которому стало возможным созданиеоптических систем высокого качества.1.3.3.