Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина, страница 3

Комплексная амплитудаГармонические колебания удобно описывать через комплекснуюамплитуду. Для этого применяют экспоненциальное представлениекомплексных чисел:eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ(1.3.21)где cosϕ – действительная часть, а sin ϕ – мнимая часть комплекснойфункции.Представим, что монохроматическое поле (1.3.18) – это действительнаячасть от некоторой функции:{}{V (r, t ) = Re a (r ) ⋅ e − k 0 [ct − E (r ) ] = Re a (r ) ⋅ eik 0 E (r ) ⋅ e − ik 0 ct}(1.3.22)где составляющая a (r ) ⋅ eik 0 E (r ) зависит только от пространственныхкоординат, а составляющая e −ik 0 ct зависит только от времени.Пусть U (r ) – комплексная амплитуда поля, то есть функция толькопространственных координат:ik E (r )U (r ) = a ( r ) ⋅ e 0(1.3.23)где a (r ) = U (r ) – вещественная амплитуда (или просто амплитуда).Если вещественная амплитуда волны не зависит от пространственныхкоординат, то такая волна называется однородной волной.Тогда эйконал поля выразим так:1E (r ) = arg [U (r )](1.3.24)k0где arg [U (r )] = ϕ 0 (r ) – фаза поля.Удобство использования такой записи заключается в простоте сложенияполей.Допустим,имеютсядваполя:V1 (r, t ) = U1 (r ) ⋅ e −ik 0 ct ,иV2 (r, t ) = U 2 (r ) ⋅ e −ik 0 ct .

При сложении полей их комплексные амплитудыскладываются, а временной экспоненциальный множитель можно вынести заскобки и не учитывать:U ∑ = U1 + U 2(1.3.25)Таким образом, можно считать, что комплексная амплитуда полностьюописывает монохроматическое поле, так как она объединяет амплитуду иэйконал.1.3.4.

Уравнение ГельмгольцаЕсли поле является монохроматическим, то дифференцирование повремени, сводится к умножению скалярной амплитуды на мнимый множитель13(− ik 0 c ) .Таким образом, если подставить в волновое уравнение (1.3.18)описание монохроматического поля (1.3.23), то после преобразований мыполучим волновое уравнение для монохроматического поля, в которое будетвходить только комплексная амплитуда (уравнение Гельмгольца).Уравнение Гельмгольца (Helmgolz equation):(∇ 2 + k 2 ) ⋅ U = 0(1.3.26)или∇ 2U + n 2 k 02U = 01.4.

Регистрируемые (наблюдаемые) характеристики поля1.4.1. Интенсивность поляАмплитуда поля не может непосредственно наблюдаться или измеряться,так как поле очень быстро меняется во времени с частотой ν ≈ 1015 сек −1 иT = 10 −15 сек , а любые приемники излучения имеют значительно большее, чемпериод колебаний, время инерции Δτ >> 10 −15 сек . Поэтому регистрируетсялишь усредненная во времени величина – интенсивность поля I .Из уравнений Максвелла следует, что интенсивность пропорциональнаквадрату амплитуды поля I ~ a 2 , то есть равна квадрату модуля комплекснойамплитуды (произведению комплексной амплитуды на величину, комплексносопряженную ей):2I = U = UU *(1.4.1)Можно измерить квадрат модуля комплексной амплитуды, но невозможноизмерить фазу и эйконал поля. Для сохранения информации о фазе (эйконале)требуется измерение интенсивности поля, складываемого из нескольких полей.1.4.2.

Наблюдаемые величины при сложении полейiϕПри сложении двух полей U1 = a1e 1 (с фазой ϕ1 = k0 E1 ) и U 2 = a2 eiϕ 2 (сфазой ϕ 2 = k0 E2 ), суммарную интенсивность можно представить в виде:I = U∑2= U ∑U ∑* = (U 1 + U 2 )(U 1* + U 2* ) = U 1U 1* + U 2U 2* + U 1U 2* + U 2U 1* == a12 + a 22 + a1 a 2 e i (ϕ1 −ϕ 2 ) + a1 a 2 e −i (ϕ1 −ϕ 2 ) = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 ⋅ cos(Δϕ ) = I ∑Таким образом, суммарная интенсивность записывается в виде уравненияинтерференции двух полей:(1.4.2)I ∑ = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 ⋅ cos(Δϕ ) ,где Δϕ = ϕ1 − ϕ 2 =2π ΔEλ0– разность фаз поля.14Явление, возникающее при сложении двух полей, называетсяинтерференцией, а интерферограмма – это картина, наблюдаемая приинтерференции.Сложение когерентных полейКогерентные поля характеризуются тем, что разность фаз (эйконалов)двух полей остается постоянной за время инерции приемника.В этом случае суммарная интенсивность определяется выражением (1.4.2),а картина распределения интенсивности представляет собой чередованиетемных и светлых полос, форма которых зависит от изменения разности фазΔϕ .Введем понятие референтного (эталонного) поля, которое имеетизвестную картину фаз.

При сравнении с ним выявляются параметры другого –объектного поля (интенсивность и фаза). Картину взаимодействия двух полей(интерферограмму), одно из которых референтное, можно записать нафотопластинку (или иной регистрирующий материал) в виде голограммы.Голограмма – это запись полной информации о поле, то есть его комплекснойамплитуды. Если эту пластинку поместить в поле, близкое к референтному, тосуммарное поле будет преобразовано в поле, близкое к объектному.Интерферограмма и голограмма – способы записи комплексной амплитудыполя путем сравнения его с эталонным полем.Сложение некогерентных полейЕсли разность фаз полей меняется случайным образом много раз за времярегистрации, то поля являются некогерентными.

При регистрации суммарнойинтенсивности ее значения по времени усредняются:I ∑ = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 ⋅ cos(Δϕ )(1.4.4)В выражении (1.4.4) I1 и I 2 – постоянны, их можно не усреднять, аcos(Δϕ ) = 0 , тогда, получим выражение для сложения двух некогерентныхполей:I ∑ = I1 + I 2(1.4.5)1.4.3.

Квазимонохроматическое и полихроматическое полеПоле, излучаемое реальными источниками света, не бывает строгомонохроматическим. Оно бывает лишь очень близким к полноймонохроматичности, то есть квазимонохроматическим.Полихроматическое поле U (r, t ) можно считать суммой (суперпозицией)монохроматических составляющих, а интенсивность такого суммарного полявычислять следующим образом:λ2I = ∫ I (λ ) ⋅ S (λ ) ⋅ dλ(1.4.6)λ115где I ( λ ) – распределение интенсивности монохроматическойсоставляющей по длинам волн, S ( λ ) – весовая спектральная функция(например, спектральная чувствительность приемника), λ1 и λ2 –реальные границы диапазона излучения.На рис.1.4.1 показан пример графика распределения интенсивности ивесовой спектральной функции.S (λ )I (λ )λ1λ2Рис.1.4.1.

Интенсивность и весовая спектральная функция.1.4.4. Простейшие монохроматические волныРассмотрим два типа волн: плоские волны и сферические волны.Плоские волныПлоские волны (plane waves) называются так потому, что они имеютплоские волновые фронты (рис.1.4.2).Направлениераспространенияy…xzE4E3E2E1Рис.1.4.2. Плоские волны.Волновой фронт – это поверхность в пространстве, на которой эйконалполя (или фаза) имеет одинаковые значения:E (r ) = const(1.4.7)Различным значениям эйконала соответствуют разные волновые фронты.Если менять эйконал, то волновой фронт будет перемещаться в пространстве,16переходя из одного состояния в другое. Поле распространяется в сторонуувеличения эйконала.Направление распространения света перпендикулярно волновым фронтам,как показано на рис.1.4.2.Длина вектора, показывающего направление, может быть выбранаразличным образом:• S – единичный вектор направления (орт), S = 1 ;⎛ 2π ⎞= ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ n , где k – волновое число;λ ⎝ λ0 ⎠• q – оптический лучевой вектор, q = n ,• k – волновой вектор, k = k =2π⎛ q x ⎞ ⎛ X ⎞ ⎛ n cosα x ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟q = ⎜ q y ⎟ = ⎜ Y ⎟ = ⎜ n cosα y ⎟(1.4.8)⎜ ⎟ ⎜Z ⎟ ⎜⎟⎝ q z ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ n cosα z ⎠где X , Y , Z – это направляющие косинусы (умноженные напоказатель преломления среды косинусы углов между осямикоординат и направлением распространения).

Составляющие лучевоговектора q x и q y называют также пространственными частотамиплоской волны.Все эти векторы ( S , k , q ) имеют одинаковое направление (в сторонураспространения поля), но разную длину.Уравнение плоской волны имеет следующий вид:(1.4.9)U (r ) = U 0 ⋅ eik 0 E ( r )Для плоской волны амплитуда постоянна, меняется только эйконал,который можно записать как уравнение плоскости:(1.4.10)E (r ) = (q ⋅ r ) = xX + yY + zZИз аналитической геометрии следует, что при таком описании эйконалаволновой фронт плоский и перпендикулярен вектору распространения, то естьоптическому лучевому вектору q . Плоские волны замечательны тем, что любоесложное поле можно представить в виде совокупности плоских волн. Поэтомуэти волны являются универсальным базисом для описания световых полей.Сферические волныСферические волны (spherical waves) имеют волновой фронт в видеконцентрических сфер (рис.1.4.3).17yxzE1E2…Рис.1.4.3.