Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина, страница 12

Таким образом, для идеальнойоптической системы:y ′ = Ay + BY(6.1.3)Y ′ = Cy + DY6.2. Матрица преобразования лучей6.2.1. Общий вид матрицы преобразования (ABCD-матрица)Выражение (6.1.3) для преобразования линейной и угловой координатлуча, рассмотренные в параграфе 6.1, можно записать в матричной форме,тогда преобразование координат луча оптической системой можно представитьв виде умножения некоторой матрицы вектора на вектор входных координатлуча:⎛ y′ ⎞ ⎛ A B ⎞ ⎛ y ⎞(6.2.1)⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟′YCDY⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠Все свойства идеальной оптической системы полностью описываютсяматрицей преобразования лучей G , называемой также гауссовой матрицейили ABCD-матрицей:⎛ A B⎞G = ⎜⎜(6.2.2)⎟⎟CD⎝⎠Выражение (6.2.1) можно также записать в виде:b′ = G ⋅ b78(6.2.3)где b – вектор-столбец входных координат, b′ – вектор-столбецвыходных координат, G – матрица, описывающая оптическуюсистему.6.2.2.

Геометрический смысл элементов матрицы преобразованияРассмотрим луч с координатами y = 1 , Y = 0 (рис.6.2.1).ОПОП′yy′α′F′S F′ ′f′Рис.6.2.1.Схема для нахождения элементов A и C матрицы преобразования.Подставив в выражение (6.1.3) значения y и Y ′ , получим:y ′ = Ay + BY = AY ′ = Cy + DY = C(6.2.4)Из рис.6.2.1 видно, что:y′yf ′ = , S F′ ′ =α′α′Отсюда с учетом того, что y = 1 , можно получить выражения для y ′ и Y ′ :S F′ ′f′n′Y ′ = − n′α ′ = −f′y ′ = S F′ ′ ⋅ α ′ =(6.2.5)Таким образом, подставив выражения (6.2.5) в (6.2.4), мы получим дваэлемента матрицы преобразования:S′A = F′f′(6.2.6)n′C = − = −Φf′1Теперь рассмотрим луч с входной координатой Y = 1 ( α = − ) и выходнойnкоординатой Y ′ = 0 ( α ′ = 0 ) (рис.6.2.2).79F−αОПОП ′yy′– SF–fРис.6.2.2. Схема для нахождения элементов B и D матрицы преобразования.Подставив в выражение (6.1.3) значения y и Y ′ , получим:y ′ = Ay + BY = Ay + BY ′ = Cy + DY = Cy + D = 0(6.2.7)Из рис.6.2.2 найдем входную и выходную линейные координаты:fy ′ = −α ⋅ ( − f ) = −n(6.2.8)SFy = −α ⋅ ( − S F ) = −nИз выражений (6.2.7) и (6.2.8) можно получить еще два элемента матрицыпреобразования:⎛ n′ ⎞ ⎛ S ⎞ nD = −Cy = −⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − F ⎟ =⎝ f ′⎠ ⎝ n ⎠ ff S′ ⎛ S ⎞B = y ′ − Ay = − − F ′ ⋅ ⎜ F ⎟ =nf′ ⎝ n ⎠⋅SF SF=nfS F ⋅ S F′ ′ f S F ⋅ S F′ ′ − f ⋅ f ′− =n⋅ f ′nn⋅ f ′(6.2.9)Таким образом матрица преобразования имеет следующий вид:S F′ ′S F ⋅ S F′ ′ − f ⋅ f ′ ⎞⎛⎟⎜′′fnf⋅⎟(6.2.10)G=⎜SF⎟⎜ − Φ = − n′⎟⎜f′f⎠⎝Элемент матрицы C зависит только от параметров оптической системы, аэлементы A , B и D зависят еще и от выбора опорных плоскостей.Определитель матрицы преобразованияОпределитель матрицы преобразования любой оптической системы равенединице:det G = AD − BC = 1(6.2.11)80Обратная матрица преобразованияПо определению обратной матрицы должно выполняться следующееравенство:G −1G = GG −1 = I(6.2.12)⎛ 1 0⎞где I = ⎜⎜⎟⎟ – единичная матрица.01⎝⎠Обратная матрица преобразования описывает обратное преобразование (извыходных координат во входные):b = G −1 ⋅ b′или⎛ y⎞⎛ y′ ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = G −1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎝Y ⎠⎝Y ′⎠Обратная матрица преобразования имеет следующий вид:⎛ D − B⎞G −1 = ⎜⎜⎟⎟CA−⎝⎠(6.2.13)(6.2.14)Условие сопряжения опорных плоскостейВ общем случае все элементы матрицы преобразования не равны нулю, нодля случая сопряженных опорных плоскостей элемент B = 0 .6.2.3.

Виды матриц преобразованияСуществуют два основных вида матриц преобразования, описывающих двапростых преобразования – перенос луча в свободном пространстве ипреломление луча на преломляющей поверхности или в оптической системе.Матрица преломленияОП ОП ′yy′Рис.6.2.3. Преломление луча.Для вывода матрицы преломления совместим опорные плоскости сглавными плоскостями ( ОП = H , ОП ′ = H ′ ).

Из рисунка (6.2.3) видно, чтоy = y ′ . Поскольку опорные плоскости сопряжены, то B = 0 и y ′ = Ay . ТогдаA = 1 , а поскольку определитель матрицы всегда равен единицеdet G = AD − BC = 1 , следовательно D = 1 .81В данном случае матрица преобразования имеет смыслпреломления:⎛ 1 0⎞R = ⎜⎜⎟⎟−Φ1⎝⎠Матрица преломления описывает преломление луча оптическойпри этом у луча изменяется только угловая координата:y′ = yY ′ = −Φ y + Yматрицы(6.2.15)системой,(6.2.16)Матрица переноса− α′−αy′ydОП ′ОПРис.6.2.4. Перенос луча.При переносе луча изменяется только линейная координата. Из рис.

6.2.4видно, что:Yy ′ = y + (− α ) ⋅ d = y + ⋅ d(6.2.17)nУгловая координата не изменяется:Y′ =YВ данном случае матрица преобразования имеет смысл матрицыпереноса:d⎞⎛1⎜⎟T=(6.2.18)n⎟⎜⎝0 1 ⎠гдеd– приведенное расстояние между опорными плоскостями.n826.2.4. Матрица одной преломляющей поверхностиnn′-εK- ε′yOϕ–αMα′O′CrРис.6.2.5. Преломляющая поверхность.Рассмотрим рис.6.2.5. Из треугольников ΔOKC и ΔCKO ′ можно вывести:− ε = −α + ϕ(6.2.19)− ε ′ = −α ′ + ϕДомножим оба выражения на n и n′ соответственно:− nε = − nα + nϕ− n′ε ′ = − n′α ′ + n′ϕ(6.2.20)Из закона преломления (3.1.5) следует, что nε = n′ε ′ , следовательно:− nα + nϕ = − n′α ′ + n′ϕУгол ϕ можно найти из ΔКМC :y(6.2.21)rТогда, с учетом того, что − nα = Y , − n′α ′ = Y ′ , можно получить итоговоевыражение для преобразования угловой координаты луча при преломлении насферической поверхности:yY ′ = Y − (n′ − n )(6.2.22)rилиY ′ = Y − y ⋅ ρ ⋅ ( n′ − n )ϕ=где ρ – кривизна поверхности.Поскольку в матрице преломления Y ′ = Y + Cy , элемент матрицыC = − ρ ⋅ ( n′ − n ) .

Кроме того, C = −Φ , следовательно, оптическая силасферической преломляющей поверхности:Φ = ρ ⋅ (n′ − n )(6.2.23)83В этом случае опорные плоскости совпадают с главными плоскостями, исоставляют одну плоскость, касательную к поверхности.Итак, матрица преломления сферической поверхности выглядитследующим образом:10⎞⎛R = ⎜⎜(6.2.24)⎟⎟⎝ − ρ ( n′ − n ) 1 ⎠6.2.5.

Матрица зеркальной (отражающей) поверхностиРассмотрим зеркальную поверхность (рис.6.2.6).nn′ = – nРис.6.2.6. Зеркальная поверхность.Если поверхность является отражающей, то n′ = −n , следовательнооптическая сила зеркальной поверхности:Φ = ρ (− n − n ) = −2 ρn(6.2.25)Тогда матрица преломления зеркальной поверхности:0⎞⎛ 1 0⎞ ⎛ 1R = ⎜⎜⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜−Φ12ρn1⎝⎠ ⎝⎠(6.2.26)где ρ – кривизна поверхности, n – показатель преломления среды.В случае плоского зеркала ( ρ = 0 ) матрица отражения единичная:⎛ 1 0⎞R = ⎜⎜(6.2.27)⎟⎟01⎝⎠Следовательно, плоское зеркало не меняет хода луча (геометрическийкосинус изменяется, а оптический преломленный (отраженный) косинусостается прежним).6.3. Матрицы оптической системы, состоящей из несколькихкомпонентовЛюбую оптическую систему можно представить как совокупностьнескольких компонентов, разделенных промежутками.

Пусть дана некотораяпроизвольная система, в которой для каждого компонента известно положениеглавных плоскостей и оптическая сила, а также известны расстояния между84компонентами и показатели преломления (на рис.6.3.1 указаны расстояниянепосредственно между главными плоскостями компонентов).H1ОПH′1H2Ц1d0Ц3d2n1IОП′H′3Ц2d1n0H3H′2d3n2IIn3IIIРис.6.3.1. Оптическая система из нескольких компонентов.Матрица такой системы будет состоять из произведения матрицпреломления Rn и переноса Tn для отдельных компонентов:G = T3 R3T2 R2 T1 R1T0 = Rn Tn ...R1T1T0(6.3.1)dn ⎞⎛0⎞⎟⎜1⎟⎟ , Tn = ⎜nn ⎟ .1⎠⎜0 1 ⎟⎠⎝Каждый из компонентов может быть разложен по этой же схеме на болеепростые составляющие (вплоть до отдельных поверхностей).Если между компонентами нет промежутков ( d n = 0 ), то матрица переносамежду этими компонентами становится единичной Tn = I , и ее можно неучитывать.

Если оптическая сила компонента равна нулю Φ n = 0 , то матрицапреломления для этого компонента также становится единичной Rn = I .⎛ 1где Rn = ⎜⎜⎝ − Φn6.3.1. Пакет из плоскопараллельных слоевРассмотрим оптическую систему, состоящую из компонентов, оптическаясила которых равна нулю Φ = 0 (рис.6.3.2).n1n2d1d2Рис.6.3.2.

Пакет из плоскопараллельных слоев.Матрица такой системы состоит только из матриц переноса:85d 2 ⎞⎛d1 ⎞ ⎛⎛ d d ⎞⎞⎛⎜1⎟⎜ 1⎟ ⎜ 1 ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⎟G = T2T1 = ⎜(6.3.2)n2n1 = ⎜⎝ n1 n2 ⎠ ⎟⎜ 0 1 ⎟⎟⎜⎜ 0 1 ⎟⎟ ⎜⎟1⎝⎠⎝⎠ ⎝0⎠Приведенные толщины всех элементов складываются, и могут бытьзаменены общей приведенной толщиной:d ddt = t1 + t2 + ... + tn = 1 + 2 + ... + n(6.3.3)n1 n2nnДействие на проходящие лучи пакета слоев с разными геометрическимитолщинами и показателями преломления эквивалентно одному слою,толщина которого равна приведенной толщине.Таким образом, приведенная матрица переноса для пакета изплоскопараллельных слоев будет выглядеть так:⎛1 t ⎞T = ⎜⎜(6.3.4)⎟⎟⎝ 0 1⎠6.3.2. Оптическая система с нулевыми расстояниями междукомпонентамиРассмотрим оптическую систему, в которой расстояния междукомпонентами равны нулю d = 0 . Матрица такой системы:0 ⎞⎛ 10⎞ ⎛10⎞⎛ 1G = R2 R1 = ⎜⎜(6.3.5)⎟⎟⎜⎜⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟⎝ − Φ 2 1 ⎠⎝ − Φ1 1 ⎠ ⎝ − (Φ1 + Φ 2 ) 1 ⎠То есть оптические силы таких компонент складываются:(6.3.6)Φ = Φ1 + Φ 2 + ...

+ Φ n6.3.3. Двухкомпонентная оптическая системаРассмотрим оптическую систему, состоящую из двух компонентов,разделенных ненулевым промежутком.Матрица такой системы:G = R2 DR1(6.3.7)Оптическая сила:d(6.3.8)nРассмотрим частные случаи двухкомпонентной системы.• Если d = 0 , тогда Φ = Φ1 + Φ 2 .d1• Если t = =, это значит, что второй компонент (его главнаяn Φ1плоскость) находится в заднем фокусе первого компонента. ТогдаΦ = Φ1 + Φ 2 − Φ1Φ 286Φ = Φ1 , то есть второй компонент может иметь какую угоднооптическую силу.d1, то первый компонент находится в переднем фокусе• Если t = =n Φ2второго компонента, тогда Φ = Φ 2 .d Φ + Φ211, тогда Φ = 0 .• Если t = = 1=+nΦ1Φ 2Φ1 Φ 2Афокальные (телескопические) системыАфокальные или телескопические системы – это системы из двух илиболее компонентов, оптическая сила которых равна нулю. Такие системыпредназначены для наблюдения удаленных объектов.У афокальных систем оптическая сила равна нулю, то есть C = −Φ = 0 ,следовательно, определитель матрицы det G = AD − BC = AD = 1 .