Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина, страница 11

Если Φ = 0 , то f ′ = ∞ .5.2.4. Построение изображенийНайдем изображение A′ точки A . Для этого необходимо построить хотябы два вспомогательных луча, на пересечении которых и будет находитьсяточка A′ (рис.5.2.5). Вспомогательный луч 1 можно провести через точку Aпараллельно оптической оси. Тогда в пространстве изображений луч 1′ пройдетчерез задний фокус оптической системы. Вспомогательный луч 2 можнопровести через точку A и передний фокус оптической системы. Тогда впространстве изображений луч 2′ пойдет параллельно оптической оси.

Напересечении лучей 1′ и 2′ будет находиться изображение точки A . Теперь вточке A′ пересекаются все лучи (1 - 2 - 3) , выходящие из точки A .70K1H′K1′K3K 3′H1A32F1'F′3'A′K2K 2′2'Рис.5.2.5. Построение изображения точки.Построим теперь ход луча r (рис.5.2.6).1 способ. Можно построить вспомогательный луч, параллельный данномуи проходящий через передний фокус (луч 1 ). В пространстве изображений луч1′ будет идти параллельно оптической оси. Так как лучи r и 1 параллельны вплоскости предметов, то в пространстве изображений они должны пересекатьсяв задней фокальной плоскости.

Следовательно, луч r ′ пройдет через точкупересечения луча 1′ и задней фокальной плоскости.2 способ. Можно построить вспомогательный луч, идущий параллельнооптической оси и проходящий через точку пересечения луча r и переднейфокальной плоскости (луч 2 ). Соответствующий ему луч в пространствеизображений (луч 2′ ) будет проходить через задний фокус.

Так как лучи r и 2пересекаются в передней фокальной плоскости, в пространстве изображенийони должны быть параллельными. Следовательно, луч r ′ пойдет параллельнолучу 2′ .Hn2−ωn′r′1'r−ωH′A′y′2'FF′1Рис.5.2.6. Построение хода луча.5.3. Основные соотношения параксиальной оптикиОсновные соотношения параксиальной оптики связывают между собойфокусные расстояния, положение и размеры предмета и изображения, угловое,линейное и продольное увеличения.715.3.1.

Вывод зависимости между положением и размером предмета иизображенияf'K1AK1'13'2yz'3O−αHH'Fα′F'O'y′1'-f-zK2K2'A'2'a'-aРис.5.3.1. Схема для вывода основных соотношений параксиальной оптики.Для вывода зависимости между положением и размером предмета иизображения воспользуемся рис.5.3.1. ΔOAF подобен ΔFHK 2 , следовательно:y−zy′f, отсюда==−− y′f′yzТогда, в соответствии с выражением (5.2.1), линейное увеличение можновыразить следующим образом:y′f(5.3.1)β = =−yzАналогично, из подобия треугольников ΔH ′K1′F ′ и ΔF ′O ′A′ можнополучить выражение:z′(5.3.2)β =−f′Таким образом, увеличение можно выразить как через передние, так ичерез и задние отрезки. Отсюда можно получить формулу Ньютона:z ⋅ z′ = f ⋅ f ′(5.3.3)Если оптическая система находится в однородной среде ( n = n′ ), тоf = − f ′ , и формула Ньютона получает вид:z ⋅ z′ = − f ′2(5.3.4)Выразим z и z ′ через фокусные расстояния и передний (− a ) и задний (a ′)отрезки:z′ = a′ − f ′72z=a− fТогда выражение (5.3.3) можно записать в виде:(a − f ) ⋅ (a ′ − f ′) = f ⋅ f ′После преобразований получим выражение, связывающее фокусныерасстояния и передний и задний отрезки (формула отрезков или формулаГаусса):f′ f+ =1(5.3.5)a′ a5.3.2.

Угловое увеличение и узловые точкиТеперь рассмотрим угловое увеличение, воспользовавшись снова рис.5.3.1.Из ΔOK1H , видно, что:yy= α , отсюда − α =−a−aАналогично можно вывести выражение:yα′ =a′Теперь можно выразить угловое увеличение через соответствующиеотрезки (а и а’, z и z’):α′ y ⋅a af +z(5.3.6)W= == =α y ⋅ a′ a′ f ′ + z′Выразим z ′ из формулы Ньютона (5.3.3), тогда после преобразованийполучим выражение для вычисления углового увеличения:zfW=(5.3.7)=f ′ z′tg (− α ) =Из выражения (5.3.7) следует, что если выбрать плоскости предмета иизображения таким образом, что z = f ′ и z ′ = f , то в точках на оптической осив пространстве предметов (изображений) угловое увеличение равно единице.Такие точки называются узловыми точками.Чтобы найти узловые точки N и N ′ , от переднего фокуса откладываетсязаднее фокусное расстояние, а от заднего фокуса откладывается переднеефокусное расстояние (рис.5.3.2).

Отрезки NN ′ и HH ′ равны. Если − f ′ = f( n = n′ ), то узловые точки совпадают с главными точками.Следствием выражений (5.3.2) и (5.3.7) является следующее соотношение:fnβ ⋅W = − =(5.3.8)f ′ n′73F −αf′H H′ fF′α ′N N′Рис.5.3.2. Узловые точки.5.3.3. Частные случаи положения предмета и изображенияРассмотрим различные положения предмета и изображения (различные zи z ′ ):• z = − f . Тогда z ′ = − f ′ , линейное увеличение β = 1 , следовательно,предмет и изображение – это главные плоскости. Угловое увеличениеfnW =− = .f ′ n′• z = f ′ .

Тогда z ′ = f , угловое увеличение W = 1 , следовательно, предметfnи изображение – это узловые точки. Линейное увеличение β = − = .f ′ n′• z = f . Тогда z ′ = f ′ , линейное увеличение β = −1 , угловое увеличениеfn= − , следовательно, предмет находится на двойном фокусномW=f′n′расстоянии, то есть расстояние между предметом и изображениемминимально.• z = 0 . Тогда z ′ = ∞ , линейное увеличение β = −∞ , угловое увеличениеW = 0 , следовательно, предмет находится в переднем фокусе, аизображение – в бесконечности.• z ′ = 0 . Тогда z = −∞ , линейное увеличение β = 0 , угловое увеличениеW = ∞ , следовательно, предмет находится на бесконечности, аизображение – в заднем фокусе.5.3.4. Связь продольного увеличения с поперечным и угловымА lA1F′Fl′ A1′А′z1′− z1z′−zРис.5.3.3. Связь продольного увеличения с поперечным и угловым.74Рассмотрим рис.5.3.3.

Длину отрезков l и l′ можно выразить следующимобразом:l = z1 − zl′ = z′ − z1′По определению продольного увеличения (5.2.4):l′ z ′ − z1′Q= =l z1 − zПосле преобразований, с учетом выражений (5.3.1) и (5.3.2), получим:f′(5.3.9)Q = − ⋅ β ⋅ β1fгде β и β 1 – поперечные (линейные) увеличения в точках A′ и A1′ .Или, с учетом выражения (5.2.5):n′Q = ⋅ β ⋅ β1(5.3.10)nТеперь рассмотрим продольное увеличение для бесконечно малыхотрезков ( l → 0 , l′ → 0 ) (по определению это и есть продольное увеличение).В этом случае линейное увеличение в точках A′ и A1′ будет одинаковым,следовательно:n′f′ 2(5.3.11)⋅βQ = ⋅β2 =l→0nfИз выражения (5.3.8) можно получить:fnW = − ⋅ β −1 = ⋅ β −1f′n′(5.3.12)Если оптическая система находится в однородной среде ( n′ = n ), то:Q = β 2 , W = β −1(5.3.13)То есть продольное увеличение равно квадрату линейного увеличения, аугловое обратно пропорционально ему.5.3.5.

Диоптрийное исчислениеДиоптрийное исчисление – это измерение продольных отрезков вобратных единицах (диоптриях):−1⎛a⎞D = ⎜ ⎟ , [дптр]⎝n⎠aгде – приведенная длина.nОдна диоптрия соответствует приведенному отрезку в 1м. Если отрезокизмеряется в мм, то обратный отрезок измеряется в килодиоптриях.75Используя формулу отрезков (5.3.5) и выражение (5.2.5) можно получитьважное соотношение для приведенных отрезков в пространстве предметов иизображений и оптической силы, измеряемых в диоптриях:n′ n n′= +a′ a f ′илиD′ = D + Φ(5.3.14)где D и D′ – приведенные передний и задний отрезки в диоптриях. Тоесть оптическая система увеличивает приведенный отрезок в пространствеизображений (в дптр) на величину оптической силы.5.3.6.

Инвариант Лагранжа-ГельмгольцаИнвариант Лагранжа-Гельмгольца связывает линейный размер предмета иугловой размер пучка лучей (рис.5.3.4). Эта величина инвариантна, то естьнеизменна в любом пространстве.n′ny−αα ′y′Рис.5.3.4. Величины, которые связывает инвариант Лагранжа-Гельмгольца.Для вывода этого инварианта воспользуемся выражением (5.3.8),связывающим угловое и линейное увеличения. Тогда воспользовавшисьвыражениями (5.2.1) и (5.2.3), определяющими линейное и угловое увеличения,получим следующее соотношение:α ′ ⋅ y′ n(5.3.15)=α ⋅ y n′Выражение (5.3.15) можно преобразовать, и тогда получим инвариантЛагранжа-Гельмгольца:α ⋅ y ⋅ n = α ′ ⋅ y ′ ⋅ n′(5.3.16)Инвариант Лагранжа-Гельмгольца характеризует информационнуюемкость оптической системы, то есть величину пространства, которое можетбыть отображено оптической системой.

Этот инвариант математическивыражает закон сохранения информации в геометрической оптике.766. Матричная теория Гауссовой оптики6.1. Преобразование координат лучей оптической системойОсновное действие оптической системы заключается в изменении ходалучей, которое описывается преобразованиями двух параметров – линейной иугловой координат луча. Эти преобразования наиболее удобно описывать припомощи аппарата матричной оптики. Матрица преобразования полностьюописывает распространение лучей через оптическую систему.6.1.1.

Координаты лучей в пространстве предметов и пространствеизображенийПараметры луча в пространстве предметов и изображений могут бытьзаданы только в том случае, если выбраны опорные плоскости. Опорнаяплоскость (ОП) – это некоторая произвольно выбранная плоскость,перпендикулярная оптической оси. Опорные плоскости в пространствепредметов и изображений выбираются из соображений удобства и могут бытьлибо сопряженными, либо нет.На рис.6.1.1 показаны линейная координата луча y и угловая координаталуча α .α′−αy′yОПОП′Рис.6.1.1. Координаты луча.Вместо угла α часто используют направляющий косинус Y оптическоголучевого вектора:Y = n ⋅ cos β y = −n ⋅ sin α = −n ⋅ αгде β y – угол между лучом и осью y , n ⋅ α – приведенный угол.Для лучей в меридиональной плоскости направляющий косинус X = 0 ,таким образом, в параксиальной оптике луч может быть однозначно определенчерез линейную координату y и угловую координату Y = −n ⋅ α :⎛ y⎞⎜⎜ ⎟⎟⎝Y ⎠(6.1.1)77Аналогично, луч в пространстве изображений описывается линейнойкоординатой y ′ и угловой координатой Y ′ = −n′ ⋅ α ′ :⎛ y′ ⎞(6.1.2)⎜⎜ ⎟⎟′Y⎝ ⎠6.1.2.

Преобразование координат оптических лучейДействие оптической системы заключается в преобразовании координатлучей:⎛ y⎞⎛ y′⎞⎜⎜ ⎟⎟ → (ОС ) → ⎜⎜ ⎟⎟⎝Y ⎠⎝Y ′⎠Разложим выходные координаты луча в ряд:y ′ = a0 + a1 y + a2Y + a3 y 2 + a4 yY + a5Y 2 + ...Y ′ = b0 + b1 y + b2Y + b3 y 2 + b4 yY + b5Y 2 + ...Если оптическая система является центрированной, то a0 = b0 = 0 . Всечлены ряда, начиная с a3 и b3 , можно отбросить, так как они стремятся к нулюна порядок быстрее, чем предыдущие.