Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина, страница 13

ОтсюдаD = A−1 . Тогда матрица G будет выглядеть следующим образом:⎛A B⎞ ⎛A B ⎞G = ⎜⎜(6.3.9)⎟⎟ = ⎜⎜−1 ⎟⎟⎝ 0 D⎠ ⎝ 0 A ⎠Если опорные плоскости сопряжены, то B = 0 , и следовательно:⎛A 0 ⎞G = ⎜⎜⎟⎟⎝ 0 − A⎠Тогда координаты луча:y ′ = Ay + BY = Ay(6.3.10)(6.3.11)Y ′ = Cy + DY = A−1YИз выражения (6.3.11) видно, что для афокальной системы элемент Aматрицы равен линейному (поперечному) увеличению, а его обратная величинаимеет смысл углового увеличения:y′(6.3.12)=βA=yY ′ − n′α ′ n′A −1 = == W(6.3.13)− nαnYВ телескопических системах линейное и угловое увеличение не зависят отположения сопряженных опорных плоскостей и, следовательно, не зависят отположения предмета и изображения:y′= const = Ay(6.3.14)α′= const = A−1α87Двухкомпонентная оптическая система является телескопической, еслизадний фокус первого компонента совпадает с передним фокусом второго(рис.6.3.3):d11t= =(6.3.15)+n Φ1 Φ 2yF′1=F2– y′f ′1– f2Рис.6.3.3.

Положение фокусов компонентов телескопической системы.Линейное увеличение такой системы:y′ fβ= = 2yf 1′(6.3.16)Матрица тонкой линзыРассмотрим линзу в воздухе. Такую линзу можно рассматривать какдвухкомпонентную систему, состоящую из двух поверхностей, разделенныхпромежутком d (рис.6.3.4).ОПОП′n2 = 1n0 = 1dnr1– r2Рис.6.3.4. Линза в воздухе.Для линзы в воздухе T0 = T2 = I , следовательно G = R2T1R1 .

Тогда матрицапреобразования линзы в общем случае будет выглядеть следующим образом:8810 ⎞ ⎛⎜ 1⎛G = R2T1R1 = ⎜⎜⎟⎟ ⋅()−1−1ρn⎝⎠ ⎜⎝ 02Элементы полученной матрицыd⎞10⎞⎟ ⎛(6.3.17)n ⎟ ⋅ ⎜⎜ − ρ (n − 1) 1 ⎟⎟⎠1⎠ ⎝ 1преобразования можно выразить черезпараксиальные характеристики, как показано в выражении (6.2.10). Такимобразом, зная матрицу преобразования линзы, можно найти ее параксиальныехарактеристики.У тонкой линзы толщина по оси равна нулю d = 0 (d << r1; r2 ) .

У такойлинзы матрица преобразования:⎛ 1 0⎞G = ⎜⎜(6.3.18)⎟⎟⎝ − Φ 1⎠где Φ = (ρ1 − ρ 2 )(n − 1) – оптическая сила тонкой линзы, ρ1 , ρ 2 –кривизны поверхностей.6.3.4. Расчет параксиальных (нулевых) лучей через оптическуюсистемуНулевые лучи – это лучи, которые преломляются по законампараксиальной оптики, но имеют произвольно большие координаты.Расчет нулевых лучей через оптическую систему состоит из операцийпереноса луча между компонентами и преломления луча на компонентах,которые можно описывать либо в матричной форме (6.2.3), (6.3.1), либо в видерекуррентных соотношений:dy= y+ Y(6.3.19)nY = Y − Φyd0Y0 – перенос до первого компонента, Y1 = Y0 − Φ1 y0 –n0преломление после первого компонента.Вычисления согласно выражениям (6.3.19) выполняются столько раз,сколько компонентов имеется в оптической системе. Однако, для полногорасчета лучей через оптическую систему вначале нужно определитькоординаты лучей в пространстве предметов, а после завершения расчетовопределить координаты лучей в пространстве изображений.

Таким образом,расчет нулевых (параксиальных) лучей включает в себя три этапа:• определение входных координат луча,• вычисление хода луча (последовательное определение его координат навсех компонентах),• определение выходных координат луча.Например, y1 = y0 +897. Реальные оптические системы. Ограничения пучков7.1. Реальные (действительные) лучиЧерез реальную оптическую систему в отличие от идеальной проходятреальные лучи, а не нулевые (параксиальные).

Ход реального луча отличаетсяот хода нулевого (идеального) луча. Отклонение хода реального луча отидеального связано со строгим выполнением законов преломления и отраженияна реальных поверхностях оптических систем.Отличия реальной оптической системы от идеальной:• В реальной оптической системе происходит ограничение пучков, то естьне все существующие лучи проходят через оптическую систему идостигают пространства изображений. Проходящие пучки лучей имеютконечные размеры.• Ход лучей, проходящих через оптическую систему, не совпадает с ходомидеальных лучей (реальные оптические системы обладаютаберрациями).Аберрации лучей (лат.

– отклонение) – отклонение хода реального лучаот идеального. Аберрации лучей являются погрешностью (искажением)изображений в оптических системах.7.1.1. Расчет хода реальных лучейРассмотрим ход реальных лучей в меридиональной плоскости (рис.7.1.1).HH′d−αydS′SРис.7.1.1. Ход реального луча.Реальные лучи, в отличие от нулевых, преломляются не на главныхплоскостях H и H ′ , а на реальных оптических поверхностях S и S ′ .Основные характеристики оптической системы определяют на основерасчетов параксиальных лучей.

Но для вычисления аберраций и при решенииеще целого ряда задач необходимо выполнить расчет через оптическую системуреальных лучей. Расчет хода реального луча состоит из двух основных шагов.На первом шаге определяется точка пересечения луча с поверхностью, а навтором шаге вычисляется направление преломленного луча с использованием90закона преломления. Аналитические формулы расчета реального луча похожина расчет нулевого луча (параграф 6.3.4) и состоят из переноса и преломления:dy= y+ Y(7.1.1)nY = Y − Φyгде d – расстояние вдоль луча между поверхностями (косая толщина),Φ – оптическая сила поверхности в точке преломления луча.Оптическая сила поверхности в параксиальной области вычисляется припомощи следующего выражения:(7.1.2)Φ = ρ ( n '− n )Для вычисления силы поверхности реального луча необходимо учитыватьуглы падения ε и преломления ε ′ реального луча:Φ = ρ ( n' cos ε '−n cos ε )(7.1.4)Для нулевых лучей d и Φ для данной поверхности постоянны, а дляреальных лучей они зависят от координат точки пересечения конкретного лучас этой поверхностью.

Благодаря отличиям d от d и Φ от Φ , и тому, что лучпреломляется на самих поверхностях, а не на главных плоскостях, появляютсяотличия в ходе реальных и идеальных лучей – аберрации.7.1.2. Причины «непрохождения» лучей через поверхностьВ отличие от параксиальных лучей, которые в любом случае попадают наглавную плоскость поверхности, реальные лучи могут либо вообще невстретить поверхность, либо встретить ее в такой точке, которая несоответствует условиям физической или конструктивной реализуемостиоптической системы.Луч не попадает на поверхностьНа рис.7.1.2 показано, что нулевой луч преломляется на главной плоскостиповерхности, а реальный луч идет слишком высоко и вообще не встречается споверхностью. Дальнейший расчет такого луча невозможен (не соответствуетусловиям физической и математической реализуемости).91реальный лучнулевой лучРис.7.1.2.

Реальный луч не попадает на поверхность.Полное внутреннее отражениеПри падении луча на поверхность, за которой находится среда споказателем преломления меньшим, чем предыдущий (рис.7.1.3), возможнополное внутреннее отражение (параграф 3.1). Нулевой луч в этом случае всеравно преломляется на главной плоскости и идет дальше, так как условия егопреломления на поверхности не зависят от его координат, а реальный лучполностью отражается и его дальнейший расчет через оптическую системуневозможен.nn'n > n'нулевой лучреальный лучРис.7.1.3. Полное внутреннее отражение реального луча.Луч проходит за острым краемВполне возможно, что луч оказывается выше точки пересеченияповерхностей, это называется прохождение за острым краем. Точкапересечения луча с одной из поверхностей становится мнимой (рис.7.1.4) ивозникает ситуация, когда математически расчет луча может быть продолжен,но такая система не может быть физически реализована.92мнимая точка пересеченияострый крайРис.7.1.4.

Реальный луч проходит за острым краем.Луч проходит за краем диафрагмыЕсли по конструктивным соображениям габариты поверхностейспециально ограничивают диафрагмами, то часть лучей отсекаетсядиафрагмами (рис.7.1.5). Расчет таких лучей через оптическую систему непроизводят, хотя математически расчет вполне возможен. В том случае, когдаповерхности оптической системы ограничены диафрагмами, рассчитываюттолько те лучи, для которых выполняется условие попадания лучей в заданныегабариты.Рис.7.1.5.

Реальный луч проходит за краем диафрагмы.7.2. Ограничения пучков лучейОграничения пучков в оптических системах связаны с конечностьюфизических размеров оптических элементов. Эти ограничения обозначаются насхемах и чертежах в виде диафрагм, роль которых могут играть оправы линз, атакже отдельно стоящие диафрагмы.В принципе диафрагмы могут рассматриваться не только для реальных, нои для нулевых лучей (то есть в параксиальной области). Как правило, в первомприближении анализ габаритов пучков производится в параксиальной области,но впоследствии расчеты обязательно уточняют с использованием реальныхлучей.937.2.1.

Апертурная диафрагмаОграничение размера пучков – результат совместного действия всехимеющихся в оптической системе диафрагм. Однако выделяют одну диафрагму(апертурную диафрагму), ограничивающую пучок лучей, выходящих изосевой точки предмета (рис.7.2.1). Любая диафрагма, не являющаясяапертурной, не учитывается при расчете хода реальных лучейАпертура (лат. – отверстие) – это понятие, которое в геометрическойоптике определяет размер пучка лучей.апертурныйлучвх. зрачоквых.

зрачокапертурнаядиафрагмаРис.7.2.1. Апертурная диафрагма.Апертурная диафрагма – это диафрагма, которая ограничивает размеросевого пучка (идущего из осевой точки предмета).Луч, идущий из осевой точки предмета и проходящий через крайапертурной диафрагмы называется апертурным лучом.Чтобы определить, какая из диафрагм оптической системы являетсяапертурной, надо найти изображение всех диафрагм в пространстве предметовв обратном ходе лучей по законам параксиальной оптики. Апертурной являетсята диафрагма, изображение которой видно под наименьшим углом из осевойточки предмета.Если предмет находится на бесконечности, то апертурная диафрагма – этодиафрагма, изображение которой имеет наименьшие линейные размеры.Рассмотрим апертурную диафрагму и предшествующую ей частьоптической системы:Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в пространствепредметов или апертурная диафрагма, расположенная в пространствепредметов, называется входным зрачком оптической системы.Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в пространствепредметов определяют в обратном ходе лучей через предшествующуюапертурной диафрагме часть оптической системы.94Выходной зрачок – это параксиальное изображение апертурнойдиафрагмы в пространстве изображений или апертурная диафрагма,расположенная в пространстве изображений.Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в пространствеизображений определяют в прямом ходе лучей через последующую частьоптической системы.Входной зрачок, выходной зрачок и апертурная диафрагма сопряжены.Апертурный луч внутри системы проходит через край апертурной диафрагмы, впространстве предметов – через край входного зрачка, а в пространствеизображений – через край выходного зрачка.Главный луч – это луч, идущий из внеосевой точки предмета ипроходящий через центр апертурной диафрагмы.По законам параксиальной оптики главный луч также проходит черезцентр входного зрачка в пространстве предметов и через центр выходногозрачка в пространстве изображений (рис.7.2.2).верхний лучглавный лучнижний лучвх.