Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 9

(5.53) Выберем теперь некоторую точку Мо с координатами хо и будем считать, что в ней известны перемещения и,(Мо) = ио и повороты й; (ЛХо) = й~~. Кроме того, всюду известны деформации я; . Тогда перемещения в любой точке М с координатами х, запишем следующим образом: и; = и + ди; = и, + яцд4~+ Й~г~К3' (5.54) ,уО ,уО ц.О где ЦЛХо) = хо, ~,(ЛХ) = х,, и преобразуем последний интеграл в (5.54), пользуясь тождествами (5.34): — Ц(~у, — я ~,) й~~ = й~;х — й,х + О,х о о — Й;;х; — 'с„(кд,, — у,,,) сК~ = й,(х — х,) + Мо + х~ ~К|,и: г~~и ~у(~ю,~ е~1с,г) гХЬ = и ,уО = ф(х, — ф+ (х — ~ )(~д, — з ь,) сКк. (5.55) %алые деформации 67 Подставляя (5.55) в (5.54), придем к формулам Чезаро 'Ог = ~г + ~~~г(~~' ~~) + ~дс + (~~ 1~)(~ьк,~ ~~'~,г) ~ХЬ.

д~О (5.56) ~и+ (т, — ~~Мк,,~ — ~я ) о (5.5?) для любой точки ЛХо(хо), принадлежащей контуру 7, Итак, для односвязного тела необходимым и достаточным условием интегрируемости является выполнение условий совместности (5.39), или (5.46), или (5.50), или (5.51). Если же тело многосвязно, то перечисленные условия только необходимы, и к ним требуется добавить по три уравнения (5.5?) для каждого контура 7, не стягивающегося в одну точку. В силу сделанных предположений правая часть (5,56) известна в точке М с координатами х,.

Таким образом, формулы Чезаро позволяют определить перемещения в любой точке (М) среды по заданным всюду деформациям и известным в одной точке (ЛХо) перемещениям и поворотам. В формулы Чезаро входит интегрирование по произвольному контуру, начинающемуся в фиксированной точке ЛХо и заканчивающемуся в точке М, где и определяются перемещения. Устремим ЛХ к ЛХо так, чтобы этот контур стал замкнутым.

Из (5.56) получим ЛЕКЦИЯ б ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ т= рдГ (6.1) Для объяснения причин возникновения движения материальных тел требуется введение понятия силы. Едва ли во всех естественных науках есть более распространенное и менее поддающееся определению понятие. Поэтому не будем останавливаться на нем подробно, а предположим, что читатель уже немного знаком со вторым законом Ньютона из классической механики.

Заметим только, что Герц сформулировал все законы механики, вовсе не используя понятие силы. К сожалению, механика Герца не получила широкого распространения. В МСС силы делятся на массовые и поверхностные (иногда вместо массовых сил используют объемные силы). С помощью этих понятий можно сформулировать основные постулаты механики сплошной среды. Прежде чем переходить к их формулировкам, докажем ряд вспомогательных лемм, имеющих, впрочем, и самостоятельное значение. Основная лемма.

Пусть С Е Кз и Ъ" — произвольная подобласть С. Функция ~(х1,х2,хз,~) непрерывна в С и обладает свойством (6.2) для любого момента времени ~. Тогда ~ = О. В предыдущих лекциях были изучены характеристики кинематики и деформирования сплошной среды и дано определение ее движения. Правда, под такое определение подходит и движение нематериальной среды (например, тени). Материальность среды задается плотностью вещества. Каждой частице приписывается положительный скаляр р(~',~~,~з,~). Тогда масса т некоторого объема 1' определяется интегралом Основные постулаты 69 ~Л' > а Шс~ = — таас ) О, Г 4 3 (б.З) что противоречит условию (б.2) леммы. Следовательно, наше предположение о наличии в С хотя бы одной точки (х1, х2, хз), где г(х1, х2, хз, 1) ф О, неверно.

Основная лемма доказана. Назовем жидким, или подвижным, объемом меняющуюся со временем область пространства, состоящую из одних и тех же материальных частиц. Лемма о дифференцировании п о времени интеграла по жидкому объему. Пусть Ъ' — жидкий объем. Тогда — ~Л' = + ~йчо Л', (б.4) где ~(х~, х2, хз, г) = г'(х, г) — любая функиия, для которой существуют обе части равенства (б.4). ~ В момент времени 1 жидкий объем занимал область Ъ' в пространстве, а в близкий к 1 момент 1 + Л1 область Г = Ъ' + ЬЪ'. При этом ~У~, как видно из рис 22, состоит из элементарных цилиндрических объемов Л' та/ ких1 что Л'=ИЕо йЬ~, (6.5) где аŠ— элемент поверхности Ъ', являющийся основанием цилиндра Л', а ~7 йЬ1 — высота Л'.

Рис. 22 Обозначим левую часть (б.4) через 1®. Согласно определению производной функции одного переменного и формуле Доказательство проведем от противного, а именно: предположим, что в С существует точка (х1,.х2, хз), такая что ~(х1, х2, хз, ~) ~ 0 (для определенности г'(х1, х2, хз, ~) ) О). В силу непрерывности ~ существует шар Ш.(х1,х2,хз) радиуса е с центром в (х1, х2, хз), который полностью принадлежит С и в котором г > а ) О. Выберем Г = Ш, и, используя свойства определенного интеграла, запишем Лекция 6 Остроградского-Гаусса (2.43) 1Я = 1пп ~(х, ~ + Ь~) Л' — ~(х, ~) Л' 1 ~~ — «О Ь1 = 1пп — ~(х, ~ + Ь~) Л' — ~(х, ~) Л' + 1 и оЛ1 + 1пп — ~(х, ~ + Ь|) Л' = (х, ~) Л" + 1 д~ л~ оЫ д1 + ~(х, ~)о йИХ =,' + Йч (~о) Л'. (6.6) д1" д1 Х Заметим теперь, что д~ . д~ д~ , „ ф д1 + Йч(~'о) = + о, + ~йчю = + ~й~й.

(6.7) хг ~Й Из (6.6) и (6.7) следует утверждение (6.4) леммы. Из доказательства следует, что г может быть не только скаляром, но иметь также векторную либо тензорную природу. ~ Сформулируем первый постулат механики сплошной среды, который называется законом сохранения массы. Закон сохранения массы (1 постулат МСС). Пусть Ъ' — произвольный жидкий объем в Кз. Тогда в любой момент времени (6.9) =О, (6.8) где величина т определена в (6.1). Простое и интуитивно понятное ("масса никуда не исчезает и ниоткуда не возникает") равенство (6.8) представляет собой интегральную формулировку закона. Воспользуемся леммой о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объему (равенство (6.4) ) . Получим 0 = — р(х, г) Л' = + рйчо Л'. д „др ~Й * ~Й Жидкий объем Ъ' произволен, поэтому основная лемма приводит к соотношению ар й + рйъо =0 (6.10) в любой точке пространства и в любой момент времени.

Основные постулаты Соотношение (6.10) называется уравнением неразрывности. Оно являетя следствием первого постулата, его дифференциальной формулировкой. В дальнейшем увидим, что все постулаты МСС могут быть сформулированы либо в интегральном виде (для произвольного объема в любой момент времени), либо в дифференциальном (в любой точке пространства в любой момент времени). Уравнение неразрывности (6.10) записывают и по-другому. Согласно (6.7) др д1 + с1и(ро) = О, (6.1 1) или, разделив обе части (6.10) на р, д1п р йг, +йчо=О. (6.12) Среда называется несжимаемой, если плотность не изменяется со временем: Ир Ю (6.13) Тогда согласно (6.10) (6.14) йчо = О.

Таким образом, поле вектора скорости при движении несжимаемой среды соленоидально и поток вектора скорости через любую замкнутую поверхность равен нулю. Очевидно и обратное: если скорость удовлетворяет соотношению (6.14), то среда несжимаема. Обратим внимание, что в определении (6.13) фигурирует полная, а не частная производная по времени. Приведем пример несжимаемого течения, в котором др/д~ ф О. На рис. 23 изображена неограниченная сплошная среда с плотностью р(х1,г), движущаяся — — — х10 поступательно вдоль оси х1 слева направо. Поступательность движения обеспечивает несжимаемость, т.е. ар/Ю = О.

С другой стороны, находясь в сечении х1 = х1о и наблюдая за частицами, проходящими со временем через это сечение, легко видеть, что сначала шли "легкие" частицы, а затем "тяжелые", т.е. др/д~ ) О. Данный контрпример связан с неоднородностью среды по плотности. Если же материал однороден, т.е. дгаг1 р = О, то равенства Лекция 6 (6.15) ат: Р ~~ = Ро ~~о — = ото где дто = Ит~ . Учитывая формулы (3.59), (5.22) для относительного изменения объема, из (6.15) получим Ро Р (6.16) Тогда для малых деформаций имеем ро = р(1+ 0), или р = ро(1 — 0) (6.17) Как видно из (6.17), при лагранжевом подходе плотность можно определить, зная объемное расширение — сжатие 0, т.е. кинематику процесса деформирования. В дальнейшем пригодится следующая простая лемма. Л е м м а 1.

Пусть à — жидкий объем. Тогда — Р~Л~ = р Л', (6.18) где ~(х1, х2, хз,1) = ~(х, 1) — любая функиия, для которой существуют обе части равенства (6.18). 4 Преобразуем левую часть (6.18), используя лемму о диффе- ренцировании по времени интеграла по жидкому объему: — Р~~Л' = + р~г11к с ~Л~' = р — '+ ~ — + Р~Ат с Л'. (6.19) ф ар Но сумма второго и третьего подынтегральных слагаемых в правой части (6.19) в силу уравнения неразрывности (6.10) равна нулю. Лемма доказана. ~ ар/й = 0 и др/д~ = 0 равносильны и эквивалентны равенству р = ро = сопз1.

При лагранжевом описании закон сохранения массы формулируется следующим образом: Лекиия 6 где величина и г пропорциональна стехиометрическому коэффи1(иенту, с которым компонент о входит в Х-ю химическую реакцию; 31 — скорости химических реакций. Таким образом, дс +йч(р о ) = Та. (6.26) Суммируя и равенств (6.26), придем к уравнению неразрывности (6.11), т.е. сумма образований всех веществ в многофазной среде равна нулю: Т„= '~ ~ маса = О. (6.27) ьА 11П1 = У'~л;с, лг-о Ьт ~~'эл~ (6.30) Рис.

24 получим новый вектор — массовую силу Гм, приложенную в точке ЛХ. Поле Е(х, 1) образует векторное поле массовых а — 1 а — 1У вЂ” 1 Соотношения (6.26) представляют собой уравнения неразрывности для каждого компонента многофазной среды. Пользуясь уравнениями неразрывности для многофазных сред, выведем уравнения диффузии и'с р +йчу = Т, о =1,...,п,. (6.28) Для этого преобразуем левую часть (6.26): дРа . „дР„ + ~1~ (РсРа) — д + С~1~ (Ра Са Рас'+ Ра4) д1 дс 1 ХР . дР. — р — + Йчо = +с1к~ + угас(р с+ Р й дс е(Р . ИРа . -.' дР + р г11мо — с — р ото = + Йч„1 — с Ж " Ю сй д(с р) др . -.