Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды

УДК 532+539.3 ББК 22,25 П41 Книга представляет собой оригинальный курс лекций. Излагаются кинематика сплошной среды, теория деформированного и напряженного состояний, законы сохранения, анализ размерностей. Вводятся изотермические модели идеальной жидкости, вязкой жидкости, упругого тела. Даются основы феноменологической термодинамики, и с привлечением ее законов формулируются замкнутые постановки задач для неизотермических моделей, в том числе связанных задач термомеханики, электротермоупругости, магнитной гидродинамики.

Особое внимание уделяется теории определяющих соотношений. Приводится программа курса «Механика сплошной среды». Рекомендовано Учеоно-методическим советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Механика». Учебное издание ПОБЕДРЯ Борис Ефимович ГЕОРГИЕВСКИЙ Дмитрий Владимирович ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. КУРС ЛЕКЦИЙ Редактор Н.Б. Бартогиевич-Жагель Оригинал-макет: Е.А.

Королева Оформление переплета: А.И. Алехина Подписано в печать 3.10.2005. Формат 60х90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ, л. 17. Уч.-изд. л. 17,0. Тираж 1500 экз. Заказ Хо Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90 Е-п~а11: 11кгпа1®гпай.гп, 1гп1за!е®гпай.гш 511 р;//жив.1гп1.гп Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Чебоксарская типография й1« 1» 428019, г.

Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15 1ВВ1Ч 5-9221-0649-Х 9 765922 106490 ® ФИЗМАТЛИТ, 2006 © Б. Е. Победря, Д. В. Георгиевский, 2006 15 ВХ 5-9221-Об49-Х Победря Б. Е., Георгиевский Д. В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 200б. 272 с. — 1БВМ 5-9221-0649-Х. ВВЕДЕНИЕ Вот уже почти 40 лет на механико-математических факультетах классических университетов одним из основных курсов является курс механики сплошной среды (МСС). Его основателями и первыми лекторами были великие ученые-механики, профессора МГУ Леонид Иванович Седов и Алексей Антонович Ильюшин. Оба они написали прекрасные учебники 115, 52~, многократно переиздававшиеся и переведенные на многие иностранные языки, На этих учебниках воспитывалось большое количество отечественных ученых и научных сотрудников.

За прошедшее время у нас и за рубежом вышло довольно много лекционных курсов и монографий по данному предмету. Программа курса механики сплошной среды непрерывно модифицировалась, в нее включались новые актуальные разделы и уточнялось дедуктивное описание на основе появляющегося нового математического аппарата, компьютерной техники и инженерных задач.

Авторы также принимали участие в этом процессе, регулярно излагая свои мысли в курсах механики сплошной среды, читаемых студентам-механикам 2-го и 3-го курсов и студентам-математикам 5-го курса механико-математического факультета, а также студентам 3-го курса факультета наук о материалах (ФНМ) МГУ. Накопленное выносится теперь на суд читателя. Мы рассчитываем, что таким читателем будет всякий, кто интересуется современным университетским курсом механики сплошной среды и знает математику в объеме первого курса ВТУЗа.

Весь необходимый математический аппарат дается по ходу изложения. При этом почти везде он представлен только в минимальном виде, с тем чтобы объяснить основную концепцию механики сплошной среды. Вдумчивый и любознательный читатель сможет расширить свои математические познания, используя литературу, на которую, в частности, ссылаются авторы. В МСС излагаются общие свойства континуальных моделей и предметом исследования могут быть разнообразные объекты.

Законы, изучаемые в МСС, позволяют прогнозировать явления Введение самой различной природы, и потому знакомство с МСС облегчит труд во многих областях науки и техники по расшифровке свойств моделей, выявлению всех следствий и т.д. Программа курса МСС, читаемого в течение многих лет студентам-механикам механико-математического факультета МГУ профессором Б.Е. Победрей, представлена в приложении. Материал, изложенный в настоящей книге, соответствует только части программы (второму семестру 2-го курса). Поэтому книга названа "Основы механики сплошной среды". В ней излагаются основные модели МСС сначала для изотермических процессов, а затем с использованием основных законов термодинамики.

Для лучшего понимания изложенного в книге материала авторы рекомендуют читателям воспользоваться сборниками задач и упражнений ~18, 30~. Авторы признательны доценту кафедры механики композитов МГУ Л.В. Муравлевой, внимательно прочитавшей рукопись и сделавшей ряд полезных для авторов замечаний. Авторы с благодарностью примут отзывы читателей и постараются максимально учесть их в дальнейших изданиях. Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский ЛЕКЦИЯ 1 ПОДХОДЫ К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ По-разному можно определить предмет механики сплошной среды, впрочем как и всей механики. Объективности здесь не может быть никакой и все зависит от точки зрения исследователя. Однако в любом определении будет утверждаться, что механика сплошной среды (МСС) — наука феноменологическая.

Это означает, что в ее основу положен аксиоматический подход, хотя и не в таком законченном виде, как в математике. Дело в том, что одним из элементов построения МСС является эксперимент. Понятие "эксперимент" многогранно и требует подробного разъяснения, о чем немного говорится в дальнейшем. Априорное присутствие этого понятия в формулировке задачи МСС заставляет исследователей в области механики именовать "кирпичики" феноменологического подхода не аксиомами, а постулатами. В последнее время приобрело особую популярность словосочетание математическое моделирование. Именно моделированием и занимается механика. В частности, МСС занимается моделированием процессов деформирования.

Подобно тому как в геометрии каждый вводит понятия: шар, конус, параллелепипед и т.д., не заботясь о том, существуют ли реально такие объекты в природе, в МСС оперируют такими моделями, как упругое тело, идеальная жидкость, совершенный газ и т. п., хотя реальные среды описываются названными моделями лишь при определенных допущениях. Сплошная среда (или континуум) вводится для описания дискретных физических объектов, с тем чтобы воспользоваться мощным аппаратом математического анализа.

Сама по себе сплошная среда никакими априорными свойствами не обладает. Подобно тому как любое множество только после введения некоторой структуры становится пространством, сплошная среда, чтобы стать объектом построения моделей, нуждается во введении системы аксиом и постулатов. Они будут рассмотрены в последующих лекциях.

Лекция 1 Х2 Рис. 2 Рис. 1 Отметим, что принцип континуализаиии, используемый для введения сплошной среды, не решает всех проблем. После постановки задачи МСС требуется привлечение вычислительной техники для ее решения. Для этого задачу требуется превратить в алгебраическую, т.е.

провести процесс дискретизации. В целях анализа полученного решения и сравнения его с экспериментальными результатами приходится вновь континуализировать задачу. Таким образом, процессы дискретизации и континуализации задачи МСС повторяются несколько раз на различных уровнях.

Частично такими проблемами занимается бурно развивающийся раздел механики — вычислительная механика 142~. Об этом пойдет речь в дальнейшем. Для описания событий, происходящих в сплошной среде, выберем некоторую систему отсчета. Чаще всего это будет инерциальная система отсчета: К~ х й. Одномерное пространство К' называется временным: О ( 1 ( сс, а пространство й— координатным. Инерциальной системой отсчета она называется потому, что в ней справедлив закон инерции, т.е. она либо покоится, либо движется относительно другой инерциальной системы поступательно, равномерно и прямолинейно. Геометрические свойства и размерность пространства Й выбираются в зависимости от цели предпринимаемого исследования. Предположим, что существуют двумерные создания, живущие в плоскости листа (рис.

1). Чтобы сделать операцию на сердце такому созданию, двумерный хирург должен сначала рассечь тело пациента. Мы же, трехмерные люди, можем коснуться его сердца, не производя никаких разрезов. Если такие двумерные создания живут на "гофрированной" двумерной поверхности, которую сжали с обеих сторон двумя жесткими плитами, то они будут испытывать "напряженное состояние", от которого нельзя освободиться никакими силами, действующими Лодкодм к описанию движения (г 1г Ы1 ~ 121 43) (1.1) Функции ~,' непрерывно дифференцируемы достаточное число раз. Кроме того, во всех точках якобиан преобразования (1.1) отличен от нуля: (1.2) ') По повторяющемуся индексу г производится суммирование от 1 до 3 (см.

стр. 11). в плоскости деформированного гофра (рис. 2). Ведь гофр может разгрузиться только в трехмерном пространстве, которое для двумерных созданий является математической абстракцией. Точно так же в нашем реальном трехмерном мире возникают напряжения (например, при сварке), от которых можно освободиться только выходя, вообще говоря, в шестимерное евклидово пространство. Поэтому, чтобы изучать такое напряженное состояние, нужно в качестве Й рассматривать шестимерное евклидово пространство К или трехмерное риманово пространство Чз 138, 39). Однако чаще всего за координатное пространство й принимается трехмерное евклидово пространство Кз, которое будем также называть вмеи~аюи~им яи1иком Я.

В нем всегда может быть введена прямоугольная декартова система координат, благодаря чему любая точка вмещающего ящика Я описывается радиусом-вектором г = х,й;, где Й, — векторы ортонормированного базиса ') . Величины х, называются пространственными координатами данной точки или данного места в ящике Я. Определим далее тело о (сплошную среду) как трехмерное дифференцируемое многообразие.

Под многообразием понимается множество Е, представленное в виде объединения (с,г) конечного или счетного числа областей. Для каждой области Г задано взаимно однозначное отображение ее в открытую область трехмерного евклидова пространства К~ (задан гомеоморфизм в К~). Тем самым в каждой области заданы координаты ~1,~2,~з (à — координатная окрестность или карта; совокупность карт называется атласом). Пересечение (' й Г каждой пары областей в каждом множестве Е является областью, в которой действуют две системы координат: ~1,(2,~з (в (г) и (н,~2,~з (в Г).

При этом одна система координат выражается через другую соотно- шениями Лекция 1 т.е. преобразование ~, — ~,' невырожденно или локально обратимо. Тогда по теореме о неявной функции существует обратное к (1.1) преобразование 6 =6(6 ~2 ~з) (1.3) Таким образом, с каждым телом В можно связать атлас (в двумерном случае сфера состоит из двух карт). Если же тело В само является евклидовым пространством Кз или его частью, то атлас состоит из одной карты и может рассматриваться одна система координат ~, для всех окрестностей à — элементов многообразия В е Кз. Элементы тела В называются частицами Х, а величины ~, (~ = 1, 2, 3) — материальными координатами этих частиц.

Конфигурацией Б тела В назовем гладкий гомеоморфизм В в область трехмерного евклидова пространства Кз. Таким образом, название частиц связано с одной из таких конфигураций. Движением тела В будем называть однопараметрическое семейство конфигураций Б® с временным параметром 1.

Это означает, что в каждый момент времени 1 имеется "фотография" тела В в ящике Я. Итак, конфигурация тела В в момент времени 1 представляет собой множество всех мест х, которые занимают составляющие это тело частицы Х: х = Б(В, 1) = (Б(Х, 1), Х Е В1. Предполагается, что отображение  — Б(В, 1) биективно, т.е. две различные частицы в одно и то же время не могут находиться в одном месте ящика и, наоборот, никакая частица ни в один момент врмени не может занимать два различных места. Это положение носит название гипотезы непроницаемости. Конфигурация в момент времени 1 = 1о называется отсчетной конфигурацией: хо = Б(В, 1о), а в текущий момент 1 — актуальной конфигурацией: х = Б(В, г). Координаты ящика хо, хо, хо, соответствующие отсчетной конфигурации, называются лагранжевыми координатами.