Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Они могут, как и материальные координаты, служить наименованием частицы Х (ее "названием*'). В отличие от материальных координат ~1, ~~, ~з, лагранжевы координаты связаны с выбором параметра 1 = 1о. Поэтому может быть установлено непрерывное и взаимно однозначное соответствие: х = х(хо г). Подходь~ к описанию движения (1.5) Итак, после введения отсчетной и актуальной конфигураций можно определить движение тела Я Х как отображение отсчетной конфигурации в актуальную, т.е. заниматься только отображениями "фотографий" тела, а не самим телом (рис. 3).
В силу гипотезы непроницаемости отображе- Рис. 3 ние (1.4) будет биективным. Место, занимаемое частицей Х в отсчетной конфигурации, описывается радиусом-вектором го. го — го(41 ° 42143~ ~0) = хс (61 Ы (3> со) ~г ~ а в актуальной конфигурации — радиусом-вектором г г = х (6 42 43 ~) = хг(6 42 ~З ~Ж~ (1.6) где х; — эйлеровьс координаты или координаты места в ящике Я, занимаемого частицей, которая в момент 1 = 10 занимала место с координатами хо. Из (1.5), (1.6) следует, что соотношение (1.4) можно записать в виде х, = х,(хо, хо, хо, ~) или т = т (то, ~).
(1.7) В соотношениях (1.5) и (1.6), как и всюду далее в книге, используются следующие общепринятые правила суммирования 129, 55~: а) индекс, изображающийся малой латинской буквой, изменяется от 1 до 3; б) индекс, изображающийся большой латинской буквой, изменяется от 1 до 2; в) латинские индексы могут встречаться в каждом одночлене либо один, либо два раза; если индекс встречается два раза, он называется немым и по нему производится суммирование от 1 до 3 (если он изображается малой буквой) или от 1 до 2 (если большой), причем для краткости знаки суммы опускаются; если индекс встречается один раз, он называется свободным (во всех одночленах данной формулы свободные индексы должны совпадать); г) индексы, обозначающиеся греческими буквами, могут встречаться в каждом одночлене произвольное число раз, и по ним суммирование не производится (если, разумеется, Леки,ия 1 специально не написан знак суммы); разным греческим буквам в индексах в данной формуле обязательно соответствуют разные числовые индексы.
Так, например, компактная запись агни,баксас, =,~аг,у эквивалентна системе восемнадцати уравнений (каждое из следующих шести уравнений надо взять при о = 1, 2, 3): а!!!!ба!са! + а1!!2ба!с 2+ а! !2!ба2са! + + а1122ба2Са2 + а1131баЗса! + а!132бс>ЗСа2 — Уа!1 а1211ба1са! + а1212ба1са2 + а1221ба2са! + + а1222бс,2ес„2 + а1231баЗСа! + а1232бссЗСа2 — ЛЯ!2 а2!!!ба!с. ! + а21!2ба! с .2+ а2!2!б .2са! + + а2122ба2Са2 + а2131баЗСа! + а2132баЗса2 1а21 а2211ба1С 1 + а2212ба1С 2 + а2221ба2С 1 + + а2222ба2са2 + а2231 баЗса! + а2232баЗса2,>' а22> аз!!!б !с ! + аз!г26 !с 2+азг2!б 2с 1+ + аз!22ба2Са2 + аз!3!баЗСа1 + а3132баЗСа2 —,1а31 Сравнение двух предыдущих формул, без сомнения, убедит читателя в преимуществах использования тензорной алгебры.
Вернемся к соотношениям (1.7). Они устанавливают связь между отсчетной и актуальной конфигурациями, т. е. описывают закон движения сплошной среды. В силу условий непроницае- мости дхг дх. (1.8) фО соотношения (1.7) можно обратить следующим образом: хо = х~(х1, х2, хз, ~) или го = то(г, ~). (1.9) Если в отсчетной конфигурации зафиксировать материальную частицу (например, имеющую лагранжевы координаты хо = = С,), то из закона движения (1.7) получим уравнение линии: Хг — Хг(~'1> ~'2> ~'3 с). (1.10) Эта линия называется траекторией частицы. а32!1ба1са1 + а3212ба!са2 + а322!ба2са! + + а3222ба2са2 + а3231баЗса1 + а3232баЗса2 1а32.
Оодходь~ к описанию движения Если теперь положим в отсчетной конфигурации ~~ ~— — С2 — сопз1, ~з — — Сз = сопз1, (1.1 1) т. е. зафиксируем прямую линию, составленную из материальных частиц, параллельную оси координат (Ох1), то в актуальной конфигурации в фиксированный момент времени 1 = Т = сопз1 пол чим У ~г — .сг(~1, С2, Сз, Т). О (1.12) Уравнения (1.12) описывают некую кривую, составленную из материальных частиц, которые в отсчетной конфигурации лежали на прямой (1.11). Если теперь положим в отсчетной конфигурации хз — — Сз = сопз1, (1.13) т. е.
зафиксируем плоскость, составленную из материальных частиц, параллельную координатной плоскости (Ох1ф, то в актуальной конфигурации в фиксированный момент времени 1 = Т = сопз1 получим ~, = ~,(~О1 х2О Сз Т) (1.14) Уравнения (1.14) описывают поверхность, составленную из материальных частиц, в которую перешла при движении сплошной среды плоскость (1.13). Из (1.11), (1.12) следует, что ортонормированный базис, составленный из материальных частиц в отсчетной конфигурации, вообще говоря, превращается в актуальной конфигурации в "криволинейный" базис 136).
Заметим, что в силу (1.8) можно обратить соотношения (1.5) для материальных координат ~,: 4г = 6("'1т ~2> 2:з1~0) (1.15) Введем в рассмотрение вектор перемещения как разность векторов и го (рис. 4): й = г — го. (1.1б) Рис. 4 Компоненты и, в базисе Й, можно считать функциями лагранжевых координат и времени: и; = и,(х1, х2, хЗ, 1). ,О О .О Продифференцируем обе части закона движения (1.7) по времени и определим вектор скорости о с компонентами ю, в базисе й;, являющимися функциями лагранжевых координат Леки,ия 1 и времени: ~г(Х1 Х2 Хз ~) =,~ (Х1 Х2 Хз ~) = д (Х1 Х2 Хз ~) о о .о 1~ха о о,о дхг о о о сЫ ' ' ' д1 пг" Ий дг" дй ~(го ~) (го ~) (го ~) (го ~), (хо ~). Ю Ю д1 д1 (1.17) В (1.17) полные производные по времени совпадают с частными, поскольку лагранжевы координаты хо от времени не зависят.
Продифференцируем обе части (1.17) по времени еще раз и определим вектор ускорения ш с компонентами ю; в базисе й;, являющимися функциями лагранжевых координат и времени: 2 о о о д~г о о о д х' о о о 1>>г(Х1, Х2, ХЗ, 8) = (Х1> Х2, ХЗ, Й) 2 (Х1' Х2> Хз' ~)' дй дг" дй 1(го ~) = д (го ~) = д 2 (го ~) = д, (го ~) д~ д~2 д~2 Компоненты тех же самых векторов перемещения, скорости и ускорения в силу (1.9) можно представить и как функции эйлеровых координат х; и времени: у1(х1 х2, хз, 1) = 'и~'(х!, х2, хз, 1); (1.19) ~г(Х1 х2 ХЗ> ~) = ~г(х1 х2 хз 1) (1.20) 10з(Х1> Х2> ХЗ> ~) — 1111(Х1> Х2> ХЗ> ~) ° (1.21) Векторы й~(г",г) и й(г",1) связаны между собой следующими формулами: ой дй дй дх, дй дй дхг или покомпонентно: М д1 дх1' вг дг дх~ В (1.22) и (1.23) видно различие между полной производной и частной производной по времени.
Для любой физической величины Е(х1, х2, хз, г), зависящей от эйлеровых координат и времени, полная производная по времени (ее также будем обозначать точкой справа вверху буквы) представима в виде Е (Х1,Х2, ХЗ,1) = (Х1,Х2,ХЗ,Е) = иг дЕ дГ (Х1, Х2, хз, ~) + (х1, Х2> хз, ~) ог > (1.24) Оодходь~ к описанию движения 15 т.е. в виде суммы частной производной по времени и конвективной производной по времени. В зависимости от того, какие координаты — лагранжевы х, О или эйлеровы х, — выбраны в качестве независимых переменных, различаются два подхода к описанию движения сплошной среды, связанные с именами Ж.Л. Лагранжа и Л. Эйлера 145~.
При лагранжевом подходе целью является нахождение закона движения (1.7), т.е. траекторий всех частиц тела. Лагранжево описание деформирования сплошной среды применяется чаще в механике деформируемого твердого тела, где удобно следить за движением границы тела. При эйлеровом подходе целью является нахождение поля вектора скорости й как функции г и 1. Эйлерово описание применяется в случаях, когда необходима информация о том, как изменяется со временем та или иная физическая величина в данной точке пространства (ящика Я). Такой подход чаще используется в гидроаэромеханике при исследовании жидкости [10~. Оба подхода эквивалентны. Действительно, зная закон движения (1.7), можно найти согласно (1.17) и (1.18) векторы скорости о(го, 1) и ускорения 1о(го, 1) и, воспользовавшись соотношениями (1.9), в силу (1.20), (1.21) получить векторные поля о(т, 1) и й~(т, 1).
Пусть теперь имеются три функции ю,(х1,х2,хз,1). Выпишем систему дифференциальных уравнений относительно функций т1(с): ~~1 = о1(~1 с2> хЗ> ~). сй (1.25) Решая систему (1.25) с начальными условиями х,(0) = хо (задачу коши), находим закон движения х,(х,, х2, хз, г). Рассмотрим ниже три характерные задачи.
Пусть имеется закон движения сплошной среды: ~1 — ~1 + а~~2> О О О О х2 = х2 — а1х1, О хз = хз (1.2б) где а — постоянная. Надо найти поле скоростей о,;(х1,х2, тз,г) в эйлеровом пространстве. 16 Леки,ия 1 Заметим, что х,(0) = хо и, кроме того, 1 а~Π— а~10 0 01 ~-)х1 дхо =1+а~~~) О, (1.27) т.е. система (1.26) действительно представляет собой закон движения. Дифференцируя (1.26) частным образом по 1, получим ю1 = ах2, и2 = — ах1, оз =О, (1.28) а обращая (1.26), будем иметь О Х1 а~х2 ] + а2~2 О х2+ а1Х1 а2~2 о ХЗ = Хз Подставим обратный закон движения (1.29) в (1.28) и выпишем решение задачи: (1.29) х2 + а~х1 1+ а26 ' агх2 — х1 ~2 — а +а 1 оз = О.
(1.30) 01 = ых2, О2 = — и)х1, юз = ОО, (1.31) где ы и оо постоянны. Требуется определить закон движения частиц. Для этого необходимо решить задачу Коши для трех уравне- ний ах1 ах2 ~ЬЗ Ю й Ю = ~Х2, = — и~х1, = оо (1.32) с начальными условиями х;(0) = хо. Следствием (1.32) является система И Х1 а'Хз ~Й = — ~С~ Х1, ~Й = 11о. (1.33) Как следует из (1.28) и (1.30), вид функций о,(Х1, хо, хо, ~) и о;(Х1, Х2, хз, 8) существенно различен (хотя эти функции и обозначаются одной буквой). Пусть теперь дано другое поле скоростей о;(х1,Х2,хз,~) в эйлеровом пространстве: Подходь~ к описанию движения 17 Выпишем ее общее решение: х1 = С1 совиное+ С2з1пиЛ, Х2 = СЗ СОЗ сав + С4 З1П сов, хз = 'оов + С5. (1.34) ~1 = сх2 — бхз, ~2 = ахз — сх1, оЗ = бх1 — ах2, (1.36) где а, б, с — некоторые постоянные.
НеобхоРис. 5 димо найти траектории частиц. Исследуем систему уравнений задачи Коши, возникающей в данном случае: ах1 аг = сх2 — бхз, сгх2 й = ахЗ вЂ” сх!, с1хз аг = бх1 — ах2, х,. (О) — хо Умножим первое уравнение (1.37) на с и просуммируем: дх1 ах 2 а +б + ~Ю ~Й на а, второе на б, а третье с~х 3 с аг (1.38) 2 Б.Е. Победри, Д.В. Георгиевский Подставим теперь решение (1.34) в уравнения (1.32) и начальные условия, тем самым связывая константы С1,...,С5 и х, В ре- 0 зультате получим закон движения Х1 = Х1 СОВ Сао + Х2 В1П сЛ, о,, о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
