Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 6
Текст из файла (страница 6)
= .,-,, Х ~112'''/д 31 12''' 1д х А»'. А»', ...А» а»'»2 '» . (3.25) »1»2 ' ' ' »»> >!$2 "$>г Чтобы построить по компонентам (3.25) сам тензор (и+ + т)-го ранга — инвариантный объект, не изменяющийся при преобразованиях (3.13), введем полиаду (и+ т)-го порядка: е" Зе" З...Зе'" Зе,, Зе2З...Зе, (3.26) как конгломерат, составленный из векторов ковариантного (3.5) и контравариантного (3.9) базисов отсчетной конфигурации. Нетрудно видеть, что полиада (3.26) преобразуется при переходе (3.13) от одной системы координат к другой по тензорному закону: е~1 З е~2 З...
З е~" З е З е З... З е. »1 »2 / '/ '/ =.4'-.4' ...А~'" В»12В»2, В», е" Зе'2 З... /1 >2 /»»1»2 ... З е'" З е, З е;2 З... З е „,. (3.27) Символ З называется символом тензорного произведения. Итак, тензор (п+ т)-го ранга а может быть записан в виде »!»2 "»~е1! З еен2 З З е1и З 1! $2" 1д зе,, зеез...зе .
(328) Полиада второго порядка называется диадой. В зависимости от типа составляющих ее векторов она представляется четырьмя различными способами, в результате чего тензор второго ранга имеет следующие записи: а = а, е' З е» = а,»е' З е, = а'.е, З е» = а'»е, З е . (3.29) Тензор 1, / /1 П» — — //1 / /» 91/»/ е1/ е»' — В '/В /е1 ' е» вЂ” /В ~/В '/91»'> (3.31) 1 = д' е1 з е» = е/ з е' = у;, е' з е» = у'»е, з е», (3 30) называется единичным тензором второго ранга. Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а скаляр — тензором нулевого ранга. Не всякая величина, у которой отсутствуют индексы, есть скаляр. Рассмотрим, например, ковариантную фундаментальную матрицу (3.6).
Ясно, что Деки,ия 3 и определитель д' матрицы (3.6): д' = (с1еС)В', !) д, (3.37) (3,39) ,Я =,,,„, д, (3.3~) 1 г хотя и не имеет индексов, однако не преобразуется по тензорному закону, т. е. скаляром не является. Нетрудно видеть, что определитель любой матрицы, в том числе А',, может быть записан с помощью символов ЛевиЧивиты следующим способом: А'; = А~~А~~А™„,Р™. (3.33) Следовательно, символы Леви — Чивиты, вообще говоря, не являются компонентами тензора третьего ранга.
Однако величины ~дс, ~ и с'~~/ ~д при переходе от одной криволинейной системы координат к другой преобразуются по тензорному закону. Выберем три вектора Иа, сЬ, Ис: да = йа'е;, йЬ = с1Уе, Ис = Яссе~, (3.34) имеющие длины оа~ = огд; Йа'Нот, ~йо = ° гдтос'ггог, ~дс = ттгддггт тос'Ы, Рассмотрим выражения для скалярного, векторного, тензорного и смешанного произведений этих векторов. а) Скалярное произведение да ИЬ = д, да'сй~. (3.35) б) Векторное произведение. Используя компоненты тензоров Леви-Чивиты, получим Иа х 6Ь = /дс, ~да'йУе = — со~да,йЬ е~. (3.36) Векторное произведение аа х ссЬ совпадает с векторным элементом площади параллелограмма, построенного на векторах Иа и сЬ. Поэтому ИЕо = ИЕой = Ясс,тдда'ЙУ е (с~~ 0)се = Пг:ос~~ О = у д сусАа где й = п~е~ — единичная нормаль к площадке в отсчетной конфигурации.
в) Тензорное произведение да З сЬ = да' сР е; З е,. (3.38) г) Смешанное произведение (сна х сЬ) дс =,Я сцкйаа сПР дс . Инвариантность кинематических величин (3.42) причем Е' Е' = С'~С~~Е~ Е~ = С'~С~~Сц = С'~У, = С'~, (3.46) Е' Ц = СЯЕ' Е к = С ИС ' = д '. (3.4?) Единичный тензор 1 может быть выражен и с помощью диады актуальной конфигурации: 1 = Е, З Е' = С, Е' З Е~ = С'~ Е, З .Е . (3.48) Возьмем три вектора (3.34), составленные из материальных частиц. Им в актуальной конфигурации соответствуют векторы ИА = сна'Е,, йВ = йУЕ~, ИС = Ис Е~.
(3.49) Смешанное произведение (Иа х Иб) дс представляет собой ориентированный обьем Л'о элементарного косоугольного параллелепипеда, "натянутого" на векторы аа, дб и ас: —— /у е,,ч, аа' сЬ~ ас~. (3.40) Нулевой индекс в (3.37), (3.40) соответствует отсчетной конфигурации. Рассмотрим теперь радиус-вектор актуальной конфигура> ции (3.2). Введем ковариантный локальный базис Е;: Е.— (3.41) и определим ковариантную фундаментальную матрицу актуальной конфигурации: С>>: С>>: Ег Е>'> С: С>.>~ Ф 0. Согласно (3.41) и (3.42) ~в. = чХ Х =,'К.
(3.43) Матрица С'~, обратная к С,, удовлетворяет соотношениям С'~С~ = У~, С;~С~' = 6 ', С'~~ = — (3.44) и называется контравариантной фундаментальной матрицей актуальной конфигурации. Контравариантный локальный базис Е' актуальной конфигурации получается с помощью поднятия индексов: Е' = С'~Е~, (3.45) Лекция 8 (3.52) (3.56) )с1г сЬ (3.57) !А=О! вО Относительное изменение площади с1»О получим из (3.37) и (3.52): (3.58) О са а относительное изменение объема Л~Π— из (3.40) и (3.55): Л' с~1'о (3.59) Их длины равны ~ИА~ = ° т6; Заяа~', ~НД =,тсй; Зу оот', ~ттС = ° тть;,т Зс' Ист.
для этих векторов справедливы нижеперечисленные операции. а) Скалярное произведение с1А сИ = С,» да' ИУ. (3.50) б) Векторное произведение ИА х йВ = ~IСс, ~да'Ы Е = с'»~да,сй»; Е~, (3.51) Гс = с~~ »~г = ъ~Ссс»»рйа'Ю.Е дЕ„= Х,„ИЕ = у'С с,.„Иа' дУ. — и В (3.52) Х = Х~Е~ — единичная нормаль к площадке с1Е в актуальной конфигурации. в) Тензорное произведение ИА З йВ = да' АУ .Е, З Е . (3.53) г) Смешанное произведение (дА х йВ) . сКС = ъ~С с, ~да' йУ дс~, (3.54) Лд = ъ/Ссс»»рсса'Ю Ис . (3.55) Рассмотрим теперь величины, характеризующие актуальную конфигурацию среды. Так, относительное изменение длиньс "материального" вектора сса имеет вид ИА Сг ' Иаг да» сна~ дпд~ да'и Иа" Если а = г", то согласно (3.1) и (3.2) Инвариантность кинематических величин Ф вЂ” 1 Векторы да и дб ортогональны, но векторы ИА и дВ, вообще говоря, таковыми не будут, ибо сов(сКА, сКВ) = — " .
(3.60) НА ~АВ~,,~С;;йаЫЫ,Жцйа~йЫ Рассмотрим теперь некоторый вектор а с компонентами а' в отсчетной и А' в актуальной конфигурациях: а — а~г — ~Ег (3.61) и возьмем частную производную по (~ от всех частей равенст- ва (3.61). Получим да да', де, дА' -,дЕ, д(з д~з ' д~з д~З ' д~~ (3.62) Равенства (3.62) запишем следующим образом: , =~7а=~7а е~=~7А Еь, д~~ (3.63) о й 7~а =а,.= . +Г~ а, 7~А: — А~',= . +Г~ А.
о да' о д4' (3.64) о Величины Г, и и Г;.~ представляют собой символы Кристоффеля второго рода соответственно в отсчетной и актуальной о конфигурациях. Из (3.62) и (3.64) следует, что Г; и являются коэффициентами разложения векторов де,/д~~ в базисе е,: де, . =Г,- еь, (3.65) а Г, " суть коэффициенты разложения векторов дЕ,/д~~ в базисе Е,: Г, Е~. (3.66) Скалярно умножая обе части равенств (3.65) и (З.бб) на е' и Е соответственно и учитывая (3.11) и (3.47), получим сле- где введены ковариантные производные контравариантных компонент векторов а и А: Лекция 3 о Г;'и Г,~: ДЕ, ДЕ~ Д(~ ' Д~~ ' (3.67) дующие явные выражения для Дег Д('~ ' Д~~ ' Покажем, что ~т Яхт Д9~т Д9г~ Д~у Д~~ Д~т / ' С~т (ДСгт Дат ДСг, 1 О 2 ~ Д~~ + Д~г Д~т/' (3.68) (3.69) 1 1' Д9' Д%п Д9ч' '~ 2 ~, Д~~ Д~' Д~",/ ' (3.74) Для этого воспользуемся определением (3.6) и преобразуем выражение, стоящее в правой части (3.68) в скобках: Д9гт ДЧ~т Д9г~ Дет Д~г' Д~~ Д~' Д(' ' Д~~ Д~~ Дет „Де; „Де~ Де, Де,.
Приведение подобных слагаемых в (3.70) произошло в силу равенства смешанных частных производных: Дег Дг Д" Д5 Д~~ Д~г Д~,~ Д~~ Д~г Д~г Умножим, наконец, оба конца цепочки (3.70) на 9' /2 и с учетом (3.67) получим требуемое равенство (3.68). Совершенно аналогично доказывается и равенство (3.69). Формулы (3.65), (3.71) указывают на симметрию символов Кристоффеля второго рода по нижним индексам: (3.72) Из символов Г, и Г,, путем опускания индексов можно о получить символы Кристоффеля первого рода Г, д и Г, д.
Гг~;и = Ггу 9~п —— оп ' ., Г,~.д —— Г;~ С~„= Ед ., (3.73) которые также симметричны по первым двум нижним индексам. о Подставим в (3.73) выражения Г, ' и Г, ' из (3.68) и (3.69), будем иметь Инвариантность кинематических величин 1 1 ~'ДС, ДС,„ДСй Д~у Д~г Д~п ) (3.75) Дифференцируя соотношения (3.76) по ~~ и пользуясь (3.67), получим Д~2 .
= ~7-а =Ч.аде =Ч АрЕ (3.77) где введены ковариантные производные ковариантных компонент векторов а и А: о Да~, о ~7 аь=а~ч..= . — 7ц а~, Д~з (3.? 8) При этом Д' = Г,г1, ДЕ,= Г. ЕВ (3.79) — —,~й Заметим, что соотношения (3.65), (3.66) и (3.79) могут быть записаны следующим образом: 'Г~е,=О, Я Е;=О, ~7 е'=О, т7;Е'=О. (3.80) Аналогично имеем для любого тензора, например для тензора 6: ~~ = о е; З е' = о Ег ® Е', (3.8 1) ,: — Я~Б = ~~Ь' е, 8е~ = Чр,'оВ Е, З Е~, (3.82) Д~й где (3.83) Д~й Как следует из вышеприведенных обозначений, запятая в нижнем индексе означает ковариантную производную в отсчетной конфигурации, а вертикальная черта — ковариантную производную в актуальной конфигурации.
Разложим вектор а (3.61) в базисах е' и .Е' отсчетной и актуальной конфигурациий: г 1Ег (3.76) Лекция 3 Отметим, что ковариантные производные величин, не имеющих индексов, совпадают с соответствующими частными производными, причем такой величиной может быть не только скаляр с, но и любой инвариантный объект, например вектор а или тензор второго ранга б.
Этот факт отражен в формулах (З.бЗ), (3.7?) и (3.82). Из (3.80) следует д, у, = О, д'~,, = О, С,1~ — — О, С',„= О. (3.84) Рассмотрим теперь повторную ковариантную производную а, г, ковариантной компоненты вектора а. Пользуясь правилами дифференцирования (3.78), запишем д~, а; в — Гга~ — 1 г,а,= д~ о Гг~ д .~ ~ иг Ггк о Если в (3.85) поменять местами индексы ~ и й, а затем вычесть одно соотношение из другого, получим 2аг,у~ = аг,~тс — аг,~у = Л,,т~г й (3.8б) где о о дГ,,' дГ;,' ~йг — й~г — д~ д~~ + о о о о пг г ггг + Ги Гщ — Гу Гы о о о : — 2 '. + Г,гг~Г,, ', (3.87) а пара индексов в квадратных скобках означает операцию альтернирования по этим индексам (3.86). Соотношения (3.87) определяют компоненты тензора кривизны Римана.
Для евклидова пространства они тождественно равны нулю. Симметрия, следующая из определения (3.8?), а также тождества Риччи (3,88) Инвариантность кинематических величин Жй;и В,~,п = — 2 .' +7гь 7„„.п = О. (3.90) влекут за собой тот факт, что число независимых компоо нент й ~,' в Х-мерном пространстве равно Х2(Х2 — 1)/12. В трехмерном пространстве их всего шесть, в двумерном — одна. Опуская с помощью д~п индекс 1 в тензоре Римана: о о ЦЫп = Ц~сг' Яп (3.88) получим из (3.87) для евклидова пространства о о (Я'.~ о о В ~ы — = 2 ' +7,ь 7,; = О.
(3.89) Выполняя описанные выше выкладки для актуальной конфигурации, получим, аналогично (3.89): ЛЕКЦИЯ 4 МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ Чтобы связать компоненты деформации (4.1) с вектором пе- ремещений (1.16), продифференцируем (1.16) по координате ~'. Е;= . +е,. г — Д~г (4.2) Тогда из (3.42) имеем ~'гг — Ег ' Ц вЂ” + ег ' ° + е~ Дй „ Дй +,, е + . е,+д; (4.3) Дй Дй Д~г Д~~ и из (4.1) и (4.3) получим 1 Дй ~О = 2 ег' д~.
+е,г Дй Дй Дй (4.4) Д~г Д~г Д~~ За меру деформации естественно принять величину, которая показывает, как изменяются длины материальных волокон при деформировании и как изменяются углы между ними. Этим требованиям удовлетворяет фундаментальная матрица актуальной конфигурации С, . В самом деле, в предыдущей лекции было установлено, что с ее помощью рассчитывается относительное изменение длины волокна (формула (3.56)), изменение угла между двумя волокнами (формула (3.60)), изменение площади параллелограмма, построенного на двух материальных векторах (формула (3.58)), и объема параллелепипеда, построенного на трех материальных векторах (формула (3.59)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
