Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 5

Но исходя из (2.53) и первой формулы Грина (2.46) можно показать, что интеграл от,Ьр по любому шару Ъ; с поверхностью Е, равен ~ и не зависит от а. Таким образом, Ьр — необычная функция: она равна нулю везде, кроме начала координат, но интеграл от нее по любому шару с центром в начале координат равен Я ~ О.

Функция Ьр а(х1, ж2, хз) представляет простейший пример В обобщенной функиии (дельта- функции). (О правилах использования дельта-функции см. 1421.) Выберем некоторую кривую, соединяющую точки А и В (рис. 17), -4 и назовем циркуляцией ГАВ век- Рис. 17 торНОГО ПОЛЯ 0,(х1, х2, хЗ) ВДОЛЬ Лекция 2 этой кривой криволинейный интеграл ГАв = а й': — аг ахи.

(2.55) Циркуляция зависит от направления интегрирования, и ГВА = = — ГАн. Если контур С замкнут, то имеем в (2.55) Гс = а Иг = — агат ° (2.56) С с При этом положительным считается обход контура С против часовой стрелки. Если поле а(х1, х2, хз) потенциально, то по определению (2.55) циркуляция ГАВ равна в ГАд = дгас1~р. Йт = байр = р В А (2.57) Гс1 = ЬГ = а1Ьх1+ (а2+ Ьа2)Ьх2 — (а1+ Ьа1)Ьх1— / ~а2 ~а1 ~ — а2Лх2 = Ла2Лх2 — Ьа1Ьх1 = ~ — ~ЛЕз. (2.58) ~Х1 ~Х2 Устремляя стороны Ьх1 и Ьх2 к нулю, тем самым стягивая контур С к точке О, получим ИГ = ( — ~1аХ = (го1а) йзсУХз = (го1а) абаз, (2.59) ~ ~х1 ~х2 ~ или дГ (го1а)з = абаз' (2.60) т.

е. каждая компонента ротора векторного поля есть изменение циркуляции по соответствующему замкнутому контуру на единицу площади, ограничиваемой этим контуром. В этом со- На плоскости (Ох1х2) рассмотрим элементарный замкнутый контур С, ограничивающий прямоугольник со сторонами Ьх1 и Ьх2 и площадью ЬЕз = Ьх1Ьх2 (рис. 18), Так как согласно определению (2.56) ИГс = а, дх,, то Элементьг векторного анализа Рис. 19 Рис. 18 стоит механический смысл дифференциального оператора го1, определенного с помощью (2.22).

Из формулы 12.59) следует а Йт= го1а ИХ = го1а йдХ. (2.61) С Е Х Направление нормали в (2.61) выбирается так, что с конца вектора й обход контура С виден в положительном направлении. Соотношение (2.61) называется формулой Стокса '), означающей, что циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку (в соответствующем направлении) ротора данного поля через любую поверхность, натянутую на этот контур. Для векторного поля скорости й (2.61) имеет вид й Ит=2 Ы йдХ. (2.62) :о а',т"= + + + о. дт"= 2 ы1") бй = О. (2.63) С С~ Сз С2 С4 Х„, Кроме того, + о ат= О.

(2.64) Сз С4 ') Она справедлива для односвязных областей Е. 3 Б.Е. Победри, Д.В. Георгиевский Рассмотрим вихревую трубку, ограниченную контурами С1 и С2 (рис. 19). Пусть Сз и С4 — контуры по образующей этой трубки. Обозначим через Е поверхность, натянутую на С = = С1 0 Сз 0 С2 0 С4. Тогда, очевидно, Леки,ия 2 Обозначая через С' контур С2 с противоположным обходом, получим ю'с!7'= ю'Й".

(2.65) Таким образом, доказана Первая теорема Гельмгольца. Циркуляция скорости вдоль любого контура, охватывающего одну и ту же вихревую трубку, постоянна. Эта циркуляция называется напряженностью г' вихревой трубки и служит важной ее характеристикой: г„,= й Иг.

(2.66) С Согласно формуле Стокса (2.62) и первой теореме Гельмгольца величина !, равна удвоенному потоку (в положительном направлении) вектора вихря ь~ через любое сечение вихревой трубки. Таким образом, данный поток также может служить характеристикой вихревой трубки. Утверждение, аналогичное первой теореме Гельмгольца, справедливо не только для й, но и для любого соленоидального поля.

Так, например, если поле скоростей й соленоидально, — ) т. е. существует векторный потенциал ф> (2.25), то величина г„ г, = ~ф с!г, (2.67) С постоянна для любого контура С, охватывающего трубку тока, и представляет собой напряженность трубки тока. Величина г, также равна потоку скорости через любое сечение трубки тока. Вторая теорема Гельмгольца. Вихревая трубка не может начинаться либо обрываться внутри тела, а должна быть замкнутой либо выходить на границу тела.

Действительно, в силу того что поток вихря через любое сечение вихревой трубки постоянен, модуль вектора й~ в месте обрыва трубки или стягивания ее в одну точку был бы равен бесконечности. В природе замкнутыми вихревыми трубками являются, например, кольца дыма, выходящего из трубы. Водоворот также представляет собой вихревую трубку, один конец Элементь~ векторного анализа ~~ АВ д ю — (дг) = ~Й а'г + й Ю+ — ( о~ — ~й~А). (2.68) 2 Если точку В устремить к А, тем самым образуя контур С, то ~ь  — ~ ю А, и из (2.68) будем иметь (2.69) С С Равенство (2.69) составляет утверждение кинематической теоремы Кельвина. Т е о р е м а К е л ь в и н а . Производная по времени от циркуляции скорости вдоль замкнутого контура равна циркуляции ускорения вдоль того же контура.

Иногда теорему Кельвина формулируют и для разомкнутой кривой в форме (2.68). которой упирается в дно, а другой выходит на поверхность водоема. Особо опасен смерч — трубка, обладающая огромной напряженностью и способная, как известно, вырывать с корнем деревья и переносить тяжелые предметы на большие расстояния. Один конец такой трубки опирается на землю или поверхность океана, а другой уходит в слой облаков. Возьмем теперь производную по времени от циркуляции скорости по кривой, соединяющей точки А и В на рис. 17: ЛЕКЦИЯ 3 ИНВАРИАНТНОСТЬ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Место, занимаемое частицей Х в отсчетной конфигурации, описывается соотношениями (1.5), которые представим в виде го = го(4' ~' ~з ~о) = лоЫ~,~',~',йо)й;.

(3.1) В актуальной конфигурации место, занимаемое частицей, описывается соотношениями (1.6), которые теперь представим в виде (~1 ~2 ~з ~) г(~1 ~2 ~з ц) (3 2) Если материальные координаты ~' и лагранжевы координаты х' выбраны прямоугольными декартовыми, то расположение индексов (вверху или внизу) у компонент радиусов-векторов ~~ и г" не имеет значения: ~г ~, г .О (3.3) Иначе обстоит дело, если выбранная система координат является криволинейной.

Даже если координатные линии, составленные из материальных частиц х' = сопз1 или ~' = сопз1 в отсчетной конфигурации были прямолинейными, то в актуальной конфигурации они, вообще говоря, становились кривыми. В некоторых случаях и в недеформированном состоянии бывает удобней вводить ту или иную криволинейную систему координат. Предположим поэтому, что линии = сопз1 (г = 1, 2, 3), выбранные в некоторой точке (3.1) (рис. 20), таковы, что выполняются условия о~то Д~э (3.4) ф О.

Тогда тройка векторов д~' (3.5) так называемого ковариантного локального базиса отсчетной конфигурации будет некомпланарной. Рис. 20 Инвариантность кинематических величин 911 = д~н = е1 ~'-у 9 = ~ду'~ Ф О. Согласно (3.5) и (З.б) ~е =;ге м =,,'д (3.7) Обратная к д; матрица д'~, удовлетворяющая соотношениям 1Й ~1 Й1 ~ 1 911 ~ч ~ 11~ (3 8) д называется контравариантной фундаментальной матрицей отсчетной конфигураи,ии. Путем поднятия индексов у векторов ковариантного локального базиса (3.6) е' = д'~е1. (3.9) можно получить контравариантный локальный базис е' отсчетной конфигурации, Вообще говоря, он не является голономным, т.

е. связанным с какой-либо системой координат. Заметим, что е'. е~ = д'~9~1е~ е1 = 9'~9~19у1 = Я911 = д'1, (3.10) ег е д ег ей д дег Д г (3.1 1) Рассмотрим произвольное векторное поле а в отсчетной конфигурации. В каждой точке вектор а может быть разложен по векторам как базиса (3.5), так и базиса (3.9): 1- -1 а=ае,=ае . (3.12) Пусть ~' — новая криволинейная система координат, связанная со старой ь' законом преобразования ~1' ~1'(~1 ~2 ~З) При этом д~г' Д~1 (3.14) ф О. Тогда матрица А', = д~' /д~' будет невырожденной в каждой точке и существует обратная ей матрица В',, = д~'/д(': (3.15) Определим теперь ковариантную фундаментальную матрии,у отсчетной конфигураи,ии: Лекция 3 Векторы локального базиса е, в новой системе координат (3.13) выражаются через базис (3.5) следующим образом: дго д~о Ж' ег' д~г/ д~ д~ / егВ г' (3.1 6) Разложим теперь вектор а по векторам базиса (3.16): (3.17) Из (3.12) и (3.17) имеем (3.19) -г а, е~ — — ад,~ — — а,д .=а~, в новой системе координат из (3.20) будем иметь (3.20) (3.21) а/=а е,/.

Учитывая (3.16) и (3.20), получим из (3.21) а,/ = а . е.В~~, = а В~~,. (3.22) Наконец, используя второе разложение (3.12) вектора а в старом и новом базисе, запишем -г -г' г.гг -г' а = аге = агре = агв г/е 1 (3.23) откуда — г' л г' — г (3.24) Теперь выясняется смысл введения верхних и нижних индексов. Как видно из (3.19) и (3.24), величины с верхним индексом ,/ преобразуются с помощью матрицы А', (контравариантный закон преобразования), а величины (3.16) и (3.22) с нижним индексом — с помощью обратной и транспонированной к А', матрицы В',, (ковариантный закон преобразования). Назовем компонентами тензора (п+ т)-го ранга, п раз ковариантными и т раз контравариантными, систему величин а...

~'г'"'.г', преобразующуюся при переходе к новой системе координат (3.13) по закону (тензорному закону) 148, 50~ аг Вг аг' (3.18) Умножая обе части (3.18) на Аг,, суммируя по г и учитывая (3.15), получим '/ '/ ° / '/ А~а'=А.гВ' а' =У.,а' =а~. г г' г' Умножив скалярно вектор а (3.12) на е,: Инвириантность кинематических величин / / / »!»2" » В11 В!2 В1„ ачч ..