Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 3

х2 — х1 в1псЛ + х совиЛ (1.35) хз = хз+~ог. 0 Уравнения (1.35) представляют собой параметрические уравнения спирали. Следовательно, каждая частица, не принадлежавшая в начальный момент оси хз, движется по спирали с постоянной осевой скоростью оО и постоянной угловой скоростью о2 (рис. 5). Ось же хз движется вдоль самой себя со скоростью по. В третьей задаче имеется поле скоростей оо ~,(х1,х2,хз,б) в эйлеровом пространстве: 18 Лекция 1 Интегрируя (1.38) по времени с учетом начальных условий: ах1 + ~х2 + схз ах1 + 1~х2 + ехай (1.39) придем к выводу, что каждая частица, имевшая в начальный момент координаты х,, х, х, будет оставаться в плоскости, о о о определяемой (1.39), т.е.

траектория каждой частицы является плоской. Умножим далее первое уравнение (1.37) на х1, второе на х2, а третье на хз и просуммируем: с1х1 с1х2 с~хз 1 ах1 ~х2 ~хЗ х1 +х2 +хз = — '+ + =О. (1.40) Ю М Ю 2 й Ю сИ Отметим некоторые часто встречающиеся законы движения сплошной среды. а) Трехмерное растяжение — сжатие: = (1+а (~))х (1.42) причем а;(0) = 0 и а;® ф — 1. Соответствующее поле скоростей о(г",1) имеет вид о = а = 1, 2, 3.

1+а (1А3) Интегрируя (1.40) по времени и опять же учитывая начальные условия, будем иметь х21 + 4+ х3 2= (х1)'+ (х2)'+ (хоз)' (1.41) т.е. каждая частица, имевшая в начальный момент координаты хо, хо, хо, будет оставаться на сфере, определяемой уравнением (1.41). Соотношения (1.39) и (1.41) называются первыми интегралами системы (1.37). Итак, траекториями будут окружности (для каждой частицы своя), являющиеся пересечением плоскости (1.39) и сферы (1.41) (рис.

6). Исключение составляют лишь частицы, находившиеся при 1 = 1о на прямой 1, которая проходит через начало координат и параллельна вектору (а; 6; с) (эти частицы, очевидно, будут находиться в покое). Подходь~ к описанию движения !9 Если аз® = О, то говорят о двумерном растяжении — сжатии в плоскости (Ох1х2), Если аа® = а2® = О, то имеет место одномерное растяжение — сжатие вдоль оси (Ох1). б) Одномерный сдвиг: х1 х1 + а(Ф2 х2 = х2 хЗ хЗ (1 44) о о о о причем а(0) = О. Поле о(г, й) имеет вид ~1 = ох2 ~2 = сз = О.

(1.45) в) Однородное состояние: (~) хо (1.46) причем А; (0) = А,; сЫА® ф 0; А, — символы Кронекера 1, если г=1, (1.47) О, если 1~ 1. Для скоростей о(г", ~) справедливы соотношения о,=В,~х~, В=А А ~, (1.48) где А х — обратная к А матрица, т. е. А А х = А х А =1; 1 — единичная матрица, компонентами которой в декартовой системе координат являются д; . ЛЕКЦИЯ 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Векторной линией данного векторного поля называется такая кривая, в каждой точке (х1,х2,хз) которой ее касается вектор а(х1, х2, хз), принадлежащий этому векторному полю х2, хз) Рис.

7 (рис?). Если а(х1, х2, хз, 1) явно зависит от времени, то картина векторных линий будет со временем меняться. Для векторного поля скоростей векторные линии называются линиями тока. Если через точку пространства проходит более одной линии тока, то эта точка называется особой. Примеры таких особых точек изображены на рис. 8. Проведем в момент времени 1 через некоторую неособую точку М с радиусом-вектором г линию тока (рис. 9). Вдоль этой линии выберем естественный параметр Рис.

9 Рис. 8 Элементы векторного анализа отсчета — длину дуги в. Тогда согласно определению линии тока Й. Кв(~1 з 2~ ~3 ~) (2.1) оЬ где К, вообще говоря, зависит от в. Запишем соотношение покоординатно: Йх; = Ко, сЬ = о, дЛ, КгЬ:— ИЛ, (2.2) Р С или в виде — дЛ, (2.3) 'о1 (Х1, Х2, ХЗ, ~) о2 (Х1, Х2, ХЗ, 1) ОЗ (Х1 Х2, ХЗ, 1) где параметр Л вЂ” скалярная функция длины дуги в. Система трех уравнений (2.3) определяет картину линий тока в пространстве в момент времени ~. Отметим существенное различие между решениями этой системы и решениями системы (1.25), которую по аналогии с (2.3) запишем следующим образом: — — — Ю.

(2.4) 'о1(Х1,Х2, Т3,1) 02(Х'1,Х2, Т3,1) ОЗ(Х1,Х2,Х3,1) Оно состоит в том, что в (2.3) время фиксировано и входит как параметр, а в (2.4) время меняется и представляет собой независимый аргумент. Поскольку решением системы (2.3) является семейство линий тока, а решением системы (2.4) — семейство траекторий, то линии тока, вообще говоря, отличаются от траекторий частиц. В самом деле, пусть плоское тело представляет собой квадрат АВСВ (рис. 10), двигающийся поступательно в своей плоскости, причем центр ЛХ квадрата вращается по окружности вокруг неподвижной точки О. Траекто- 12 риями точек квадрата в данном М случае будут окружности радиуса ~ОЛХ~ (например, для точ- 0 С ки А центр такой окружности А в' находится в точке А').

В силу же поступательности движения, о 83 М т.е. равенства скоростей всех то- о чек тела, линии тока в каждый момент времени будут представ- Рис. 10 лять собой семейство отрезков, Леки,ия 2 проходящих через все точки квадрата и перпендикулярных в ка~кдый момент времени отрезку ~ОМ . Найдем, например, линии тока для поля скоростей, задаваемого уравнениями (1.30). Подставляя (1.30) в систему (2.3), получим — — — аЛ.

(2.5) а~х1 + х2 а1х2 — х1 0 Из системы дифференциальных уравнений (2.5) следует, что линиями тока будут пересечения плоскостей хз = сопз1 и цилиндрических поверхностей, определяемых уравнением дх2 а~х2 х! (2.6) с1х1 а1х1 + х2 Для интегрирования уравнения (2.6) с помощью замены д(х) = х2/х1, х = х1 сведем его к уравнению с разделяющимися (2.8) переменными, 2 (2.7) которое имеет следующий интеграл: х1/~ +3~ ехР1а1 агидУ1 = с. Переходя опять к переменным х1, х2, запишем (2.8) в виде (х1)2 + (х2)2 ехр а1 агс1д = С (2.9) х1 или же в полярных координатах на плоскости Ох1х2 (г = (х1) + (х2) ~ ф = агсф (х2/х1)). г=Се ~~, хз=С1. (2.10) Таким образом, линии тока в любой момент представляют собой логарифмические спирали в плоскостях, ортогональных оси (Охз).

Траектории же частиц описываются уравнениями (1.26) и представляют собой прямые линии. Совпадение линий тока с траекториями происходит в двух случаях. Во-первых, это случай установившегося движения, когда поле скоростей стационарно, т.е. явно не зависит от времени: ~с1 д1 или О1 = ~1(х11х2т хз) ° (2,11) В этом случае уравнения (2.3) и (2.4) идентичны. Во-вторых, такое совпадение имеет место и при неустановившемся движении, если траектории всех частиц тела прямолинейны.

Тогда Элементы векторного анализа семейство огибающих поля скоростей также прямолинейно и не отличается в пространстве от траекторий частиц. Если выпустить из каждой точки некоторого замкнутого контура С линию тока (рис. 11), то в пространстве образуется трубка тока. Для дальнейшего изложения понадобятся некоторые понятия и теоремы векторного анализа 136). Пусть в ортогональной декартовой системе координат в Кз с базисными -Ф векторами Й, заданы векторы: а = а,й,, б = б,й,, с = о,Ц (рис.

12). Напомним два типа умножения векторов а и б. Рис. 11 Рис. 12 ~123 е231 ~312 ~213 ~132 ~321 1 (2 1 Ж Остальные же компоненты е; ~, т.е. те компоненты, где хотя бы два индекса одинаковы, равны нулю. Тогда Й х б: О|йг х Ь~'Р~': его)согбен~ (2.14) Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно ну— > лю, кроме того: а х б = — б х а. Заметим, что модуль векторного произведения (2.14) векторов а и б численно равен площади Е параллелограмма, "натянутого" на эти векторы (рис. 12): а х б = а ~ б з1по = г'.

(2.15) Вводя единичный вектор нормали й к поверхности Е, 2 и-' — пг' Йг ~ и ~ — и'~пг — 1 (2.1б) а) Скалярное произведение векторов. Для базисных векто— Р— Ф ров Й, . И = д,з. Тогда -Ф 1 > ~х ' б = аг""г ' Ц~з' = 0'~бз'~~~' = 0Фг. (2.12) Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно — ) нулю, кроме того: а б = б а. б) Векторное произведение векторов. Для базисных векторов Ц х й = ~; Я., где а; ~ — трехиндексный символ ЛевиЧивиты: Леки,ия 2 можно определить площадь Е как векторную величину: Š— Х~п — ~а х Ь~Й вЂ” а х Ь вЂ” Ег~г (2.17) Х щ = ад~ а; Ь~ — — Е~. ~7 = Ц=дй,.

(2,20) Применяя рассмотренные выше виды умножения к '7, получим ~7 а, = д,й, аА = А,д,а = д,а, = г1та, (2.21) ~ х а = дуайт х аД = етфсьд,.а~ = го1а, (2.22) ~7ф = 'д,<р Й;: — ~гас1 ~р, (2.23) где р(х1, х2, хз) — некоторая скалярная функция. Векторное поле а(х1, х2, хз) называется потенциальным, если существует такое скалярное поле р(х1,х~,хз), что а = дгас1 р. Поле р носит название скалярного потенциала а. Векторное поле а(х1, х2, хз) называется соленоидальным, если существует такое векторное поле ф~(х1, х2, хз), что а, = го1ф.

(2.25) -Ф Поле ф носит название векторного потенциала а ') . Дифференциальные операторы йча и го1 а называются дивергенцией и ротором векторного поля а, а оператор дгаг1р— ') Справедлива теорема Гельмгольца: всякое векторное поле а(х,г) может быть однозначно (с точностью до функции времени) представлено в виде: и = дгаг1 у+ го1 ~~. в) Смешанное произведение трех векторов. (а х Ь) с = (Ь х д~ а = (с х а) . Ь = е, г,а,б сц.