Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 4

(2.18) Модуль величины (2.18) представляет собой объем Ъ' параллелепипеда, "натянутого" на векторы а, Ь и с (рис. 12): Ъ' = )(а х Ь) с = ~е; ~а,б с~~ = (Е с . (2.19) Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю. Введем в рассмотрение дифференциальный оператор ~ набла. Его компонентами являются операторы частного дифференцирования: Элементь~ векторного анализа (2.27) (2.30) ~>г1 — сг~ Й~оь.

градиентом скалярного поля о. В дальнейшем выясним механический смысл введеных дифференциальных операторов, а пока определим линейный оператор второго порядка Ьр = Йч дгас1 р, (2.26) называемый оператором Лапласа скалярного поля р. Докажем, что для любых скалярного поля ~р и векторного поля а выполняются тождества а) йчго1а =О, б) го1 дгас1р— : О. Воспользуемся определениями (2.21) — (2.23). -Ф а) йч го1 а = йч (~, ьд,а Ьь) = е; ~д,дьа = О, в силу того что символ Леви-Чивиты с; ~ антисимметричен по индексам г' и й (см.

(2.13)), а смешанная производная д,дьа по г и й симметрична. Следовательно, их свертка по этим индексам равна нулю. б) го1 дгас1:р = го1 (й;д,р) = е~,ьд;дурак = О. Для того чтобы поле а было потенциально, необходимо и достаточно, чтобы го1 а = О, а для того чтобы оно было соленоидально, необходимо и достаточно, чтобы йча = — О. Если поле а одновременно потенциально и соленоидально, то его скалярный потенциал, очевидно, является гармонической функцией, т.е.

удовлетворяет уравнению Лапласа Лр=О, (2.28) и наоборот, любой гармонической функции можно поставить в соответствие векторное поле, являющееся и потенциальным, и соленоидальным 120~. Рассмотрим теперь в качестве а поле вектора скорости о(х1,х2,хз,1). Все ранее сформулированные определения и утверждения применимы теперь к о.

Скалярный и векторный потенциалы скорости будем по-прежнему обозначать ~р и соответственно. Введем также в рассмотрение вектор вихря Ы: 1 Ы = — го1о, 2 (2.29) являющийся, очевидно, соленоидальным. Векторные линии поля й(х~, х2, хз, 1) носят название вихревых линий. Если же из каждой точки замкнутого контура выпустить вихревую линию, то в пространстве образуется так называемая вихревая трубка. Свяжем с вектором вихря антисимметричный тензор вихря, или спин-тензор, и~: 26 Лекция 2 Подставляя соотношения (2.29) в (2.30), получим 1 1 ~агу = еукеитпс)ятп = (~а~~ш ~гтЦ1)А стп = 2 2 1 — 2 (~У,г ~~гд) (2.31) т.е. компоненты тензора вихря — антисимметричная часть объ- екта о~;, называемого градиентом скоростей.

Его симметрич- ную часть будем обозначать ю,~' 1 ~ту — ~~~г — ~~,т а~гу — (сг,~ + с~,г) 2 (2.32) и называть компонентами тензора скоростей деформаций. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами Ьх~, Ьх2, Ьхз, ребра которого лежат на координатных осях прямоугольной декартовой системы с ортами й, (рис. 13). Рис. 13 Объем ~5Х этого параллелепипеда равен Ьх~Ьх2Ьхз.

Бесконеч- но малый объем ЛЪ' удобно записать в виде (2.33) Л' = ах~ Их~с(хз. Объем Ъ', занимаемый сплошной средой, будем обозначать Ъ'. (2.34) Э гелгентьг векторного анализа Наряду с координатными элементами объема будем также рассматривать координатные элементы площади Л:, 136): дХ = йхнйх., (а ф,З, Д ф "г, у ф о). (2.35) Для площадки д Х (рис. 13), проходящей через точки А1, А2, Аз, с единичной внешней нормалью й можно записать ИХ = дк пА = дХ ' й, = ИМ.

г— (2.36) Следовательно, И Х = Их1с~х2 Йз + Йх2сЬз Й! + Ихздх1 Й2 = = (гтх! к'1 — Йхз Йз) х (Йх2 Й2 — Йхз Йз) = 062 х юг!, (2.37) т. е. векторный элемент площади дЕ есть векторное произведе— 1 ние образующих эту площадь векторов 062 и 061, изображенных на рис. 13. Элементарным потоком ИР поля а(х1,х2,хз) через векторный элемент площади д Х назовем скалярную величину АСТР = а ИХ = а,дХ,, или АР = а1"1ИХ, (2.38) где а1"~ = а, т. — проекция а на нормаль, или нормальная составляющая вектора а на площадке дХ.

Пусть теперь Ъ' — некоторая область в Кз с границей дГ = = Х, на которой определена внешняя единичная нормаль й (рис. 14). Пусть в Ъ' определено векторное поле а(х1,х2,хз). Рис. 14 Лекция 2 По формуле Ньютона-Лейбница для первой компоненты а1(х1, х2, хз) можно записать х1 да1 а1 = ссх1+ а1(хя), дх1 (2.39) х1о Умножим обе части (2.39) на координатный элемент площа- ди ИХ1, равный согласно (2.35) дх2дхз. х1 да1 а1ИЕ1 = с~хФхз + а1 (хгоМхФхз (2.40) дх1 х1О Проинтегрировав равенство (2.40), получим а1дХ1 = сЛ~. (2.41) Соотношение, аналогичное (2.41), справедливо и для двух дру- гих компонент а2, аз вектора а. Поэтому сР = агат' = + + сЛ'— : йъ' а сЛ'.

(2.42) (2.43) т.е. объемный интеграл от дивергенции векторного поля равен интегралу по поверхности этого объема от скалярного произведения самого поля и единичной нормали к поверхности. Левая часть (2.42) представляет собой поток Р векторного поля а через всю границу Е (рис.

15). Таким образом, дР или Йч а, = —, (2.44) сЛ" ИР = ЙчасЛ', откуда следует, что дивергенция векторного поля есть изменение потока в единице объема. В этом состоит механический смысл дифференциального оператора йч, определенного в (2.21). Подставляя из (2.38) связь дР с дЕ, окончательно получим формулу Остроградского — Гаусса: Элементь~ векторного анализа , х~., хз) Рис. 15 Из (2.42) видно, что для соленоидального векторного поля поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Отметим также, что все предыдущие рассуждения и формула Остроградского-Гаусса имеют место и для нестационарного векторного поля а(х1, х2, хз, 1) в каждый момент времени 1. Пусть теперь а является полем скоростей й(х1,х2,хз) в теле (", так что Р =— о дЕ = о(")ИЕ = й~ййЪ"— : ~7.одГ (2.45) Если й потенциально и ~р — скалярный потенциал, то, подставляя равенство о = угаду = ~7р в (2.45), получим для р первую формулу Грина: Г ИЕ = ~ дгали(р ййХ = ~ Я~р0У = Ь~ргХ.

(2.46) дп Здесь Ьф — оператор Лапласа, определенный в (2.2б). Величина дс/д1, равная скалярному произведению градиента поля с на единичный вектор ~, соответствующий некоторому направлению в пространстве, называется производной с по этому направлению. Таким образом, под знаком поверхностного интеграла в (2.4б) стоит производная о по нормали, или нормальная производная р, в точках поверхности Х (она обозначена др/дп). Представим далее скорость в виде о = ~р1 ргали( р2, или, покомпонентно: в, = р~ д,р2, и подставим в (2.45). Получим Лекиия 2 вторую формулу Грина: 'р! ~~ = (дг'р! дг'р2 + 'р! дЯг'р2) ~~ др2 дп (ргали ~р! ргас1 р2+ р!0:р2) ИЕ (2.47) Записав вторую формулу Грина для о = р2дгас1 р! и вычитая ее из (2.47), получим р!, — р2 ИЕ = (р!Ьр2 — ~р2Ь~р!) ИК (2.48) дР2 дР! дп дп (2.51) С другой стороны, на поверхности Е !!2 2 !/2 Соотношение (2.48) носит название третьей формулы Грина.

Рассмотрим в качестве примера потенциальное течение со скалярным потенциалом р = —, Я = сопзг, г = х2+х2+хз = ~/х,х,. (2.49) 4лт ' Найдем линии тока и эквипотенциальные поверхности, а также поток вектора скорости через поверхность сферы Х,: г = а.

Эквипотенииальными поверхнос- ф тями (поверхностями р = сопз1) для Ф М течения (2.49) являются концентрические сферы г = сопЫ с центром в точке О (рис. 16). Следовательно, о линиями тока будут лучи, исходящие из точки О. Действительно, найдем поле скоростей: '+ +~ др Я дг Я х, Ях, дх; 4лт2 дх, 4лт2 г 47!тз (2.50) Компоненты и, единичной внешней нормали к поверхности сферы Е, будут направляющими косинусами радиуса-вектора, т.

е. и,; = х,/а. Тогда !~х, х, О = Озпг т а— т=а "=~ 4лаз а 4л а~ Элементы векторного анализа Из сравнения (2.51) и (2.52) следует, что ~о ~ = и(") . Поэтому в любой точке ЛХ вектор скорости направлен по нормали к сфере, проходящей через точку ЛХ, т.е. к соответствующей эквипотенциальной поверхности. Линиями тока и траекториями будут лучи, выходящие из точки О. Движение со скалярным потенциалом (2.49) называется пространственным источником— стокоя. В случае Я ) О имеем источник в начале координат (скорости всех частиц согласно (2.51) направлены от центра), в случае Я ( Π— сток (скорости всех частиц направлены к центру).

Поток через поверхность сферы Е равен ~(") л: = Ю Ю Л:= ~Е 4зта2 4л а2 (2.53) где Е, = 4зга2 — площадь поверхности сферы Х,, Видно, что величина Р, равная Я, не зависит от радиуса а и характеризует течение как целое. Эта характеристика называется расходом пространственного источника — стока. Вычислим теперь оператор Лапласа потенциала р (2.49): о, Зхх 3 3 О тз г5 7.3 гз 7-3' "+ '' — + 1 х, 1 (2.54) Я О вЂ” — =О 4„,.з везде, кроме г = О.