Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 8

(4.73) Формула (4.73) носит название теоремы Коши — Гельмгольиа. Она представляет собой обобщение формулы Эйлера для выражения скорости абсолютно твердого тела на сплошную среду, в которой происходит деформирование. Заметим, что формула (4.73) отличается от формулы Эйлера не только наличием градиента функции Ф (4.б8), но и тем, что она справедлива только в бесконечно малой окрестности точки, имеющей скорость о~. ЛЕКЦИЯ 5 МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ Деформации называются малыми, если перемещения малы: ~й~ << 1, где 1 — диаметр рассматриваемого тела, и все компоненты тензора дисторсии по модулю много меньше единицы: ~~7й << 1. (5.1) Согласно (4.20) и (4.17) в этом случае имеем ~7й = Х вЂ” (Х + ~7й) = 1 — (1 — Чй+ (~7й)2 —...) = ~7й, (5.2) так как слагаемые порядка (~7й), п > 2, в (5.2) имеют в сио лу (5.1) более высокий порядок малости, чем ~7й.

Таким образом, тензоры дисторсии недеформированного и деформированного состояний совпадают: и;,,е З е' = Ц~2Е З Е'. (5.3) Поэтому разница между лагранжевым и эйлеровым описанием (лагранжевыми и эйлеровыми координатами) в случае малых деформаций исчезает. Тензоры Лагранжа и Эйлера (4.11), (4.12) в этом случае совпадают: о о у = э = е = е; е'З е~ = — (~7й+ (~7й) ). (54) Компоненты е, тензора малых деформаций е выражаются через перемещения следующим образом: 1 ег~ — (иг,у + ~~,г) = ~(г ~).

2 (5.5) Соотношения (5.5) называются соотношениями Коши. Вычислим для рассматриваемого случая другие меры деформаций, введенные в прошлой лекции. Согласно определениям (4.22) — (4.25) имеем о о С= Г Е = (1+~й) (У+~7й) о о = 1+ ~7й+ (~7й)~ = 1+ 2е, (5.6) 60 Лекция 5 В=Е"' Е=(1+~й) (1+~ай) = о о и 1 + (~7й)т + ~7й = 1 + 2е, (5.7) о о А=Г 1 Г ~=(1 — ~7й) (1 — ~7й)т = = 1 — ~й — (~7й) = 1 — 2е, (5.8) о о М=Г Е '=(1 — ~й) (1 — Чй) = 1 — (~7й)1 — ~7й = 1 — 2е.

(5.9) о Разложим тензор дисторсии ~7й на симметричную и анти- симметричную части: ~7й= е+ Й, (5.10) так что симметричный тензор деформаций е связан с й соотношениями (5.4), а антисимметричный тензор поворотов Й и его компоненты имеют вид Й = — (~7й — (~7й) ), Й;~ — — — (и~,г — иг. ~) = иу,,р (5.11) С тензором поворотов естественным образом свяжем вектор Ф поворотов Й: Й = еи~ЙцЕр = Р~Ч;и.Е~ = го1 й, (5.12) и аналогично (4.бО), (4.б1) найдем Й = 2~)Се„~ РТЕ' З Е (5.13) Выражения для левого и правого тензоров растяжения и тензора вращения примут вид Г = с'~' = ~Т+ 2я ю 1 ~-я (5.14) Я = Г Г= (Х вЂ” е) (Х+е+Й) =Х+Й (515) Ц = Д '. Г = (1 — Й) (1+ в+ Й) =1+в. (5.1б) Выясним геометрический смысл компонент е, тензора малых деформаций, Рассмотрим для простоты в недеформированном состоянии ортонормированный базис Й,, так что д; = 4, и д = 1.

Выберем в этом состоянии материальное волокно дг„ в направлении оси с номером а (координатное волокно): й".0~ ) — — д к, д, )О. (5.17) Если локальным базисом деформированного состояния является базис Е,, то это же координатное волокно описывается теперь Малые деформации 61 вектором ог( ) Иг~ =Их„Е. (5.18) Заметим, что согласно (4.1) в данном случае С = 1+2г и С,з = 2г,з. Найдем отношение 1 длин (3.57): = ~,'6 = ° '1 ~- 2~„= 1 -~- ~„„. (5.19) Таким образом, ~ "1- И4'! 'о (5.20) ),фо) т.е.

каждая диагональная компонента г представляет собой относительное удлинение координатного волокна, направленного по оси а. В этом состоит геометрический смысл диагональных компонент тензора малых деформаций. Вычислим теперь угол р д между координатными волокнами дг( ) и ~ФР). Из (З.бО) имеем й. ( ) й".(р) й=(~) ~АР)~ дх„Е„. дхдЕэ = 2г ~. (5.21) ~/Т ~- 2я„,,~Т + 2кд,~ Но сов~р ~ = в1п(т~/2 — ~р„,з) = л./2 — ~р ~ = ~ро — ~р„~з, ибо угол р~ между координатными волокнами Иг и ог", прямой. Итак, недиагональная компонента г,з равна половине угла скашивания т/2 — р,,з или половине разности углов между соответствующими -0) координатными волокнами (рис. 21).

В этом заключается геометрический Иг,'~' смысл компонент тензора деформаций со смешанными индексами. Наконец, найдем отношение элементарных объемов Л' и Л'о в данной Рис. 21 О 1.1.1 'о Лекция 5 точке. Согласно формуле (3.59) для изменения объемов Л~ ~Л'о = ъ'С =;/1 ~-2Я;; ю 1 ~-Яи = — 1+ В, (5.22) где 0 = еи = 1г = йчй. (5.23) Величина 0 называется дилатаиией или объемным расширением — сжатием и является первым (линейным) инвариантом тензора малых деформаций =-. Из (5.22) видно, что 0= (5.24) ~л'о т. е. 0 есть относительное изменение объема в данной точке ') .

В этом состоит геометрический смысл следа тензора деформаций. В случае малых деформаций, если не будет специальных оговорок, будем иметь дело с прямоугольной декартовой системой координат (с базисом Й,), поэтому все индексы можно писать внизу, например: Й~ = е; ~Я; . Тензор 01/3 с компонентами 0о', /3 будем называть шаровой частью тензора деформаций, а разность е — 01/3 обозначать е. Таким образом, 1 ег' = ег'+ — 0А', 3 (5.25) След тензора е равен нулю: 1 1 1ге =1ге — — 01г1 = 0 — —.30 = О. (5.26) 3 3 Такой тензор называется девиатором. Из (5.26) следует, что девиатор и шаровая часть — взаимно ортогональные тензоры (их полная свертка равна нулю). Помимо линейного инварианта — дилатации 0 — определим согласно (4.49) квадратичный 1ге2 и кубический ~е; инварианты.

Однако чаще всего в качестве квадратичного инварианта выбирается интенсивность деформаи,,ий е„) О: 1 или е = е+ — 0Х 2 2 1 1 2 1 2 еи = 1ге = ег~ег~ = ег~ 0~г~ ег~ 0~г~ 3 3 3 (5.27) ') Имеется в виду объем бесконечно малых окрестностей данной точки. Малые деформации 63 Выразим йе1е через инварианты О, е, и г(е1е тензора деформаций. Пользуясь (5.25) и (5.27), запишем ~ед = ед1 е1;е2,ез1. = = е11 е1; — — ОО1; е2, — — 062; ез~ — — Оди 1 2 = !его! 0(е!1е22+ е22езз+ еззе11 е12 3 2 1 3 1 1 + — 0 (е11 + е22+ езз) 0 !ей '! 9 27 '~ 3 2 + 0 = 1-.г,! з 2 2 Е23 Е31) + (О ег1е11) + 2 1 3 + 60еи 270 = сопй О (5.28) решение имеет вид О О иг — Е1~х~ + из ~ (5.29) где и =и. О '= '!.,= (5.3О) Предположим теперь, что разыскиваемое поле вектора перемещений й достаточно гладкое.

Тогда выполняется тождество (5.3 1) и~,,~ — иу,,~, —— О. Добавим в обе части (5.31) выражение и,, 1, — и;,р. и~,„— и1,- 1, + и, ~К вЂ” и~ ж = и,,~Ь вЂ” и1,,~. Из (5.11) имеем (5.32) 1 1 ~,11 — (иг„1 иу,г) . 2 (5.33) Таким образом, с(е1е является кубическим инвариантом тензора деформаций. Пусть известны компоненты тензора деформаций е, и требуется определить соответствующие им перемещения. В этом случае на соотношения (5.5) можно смотреть как на систему шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка относительно трех неизвестных функций и;. Естественно, система уравнений (5.5) не всегда является совместной. Заметим, что для однородного деформированного со- стояния Лекция 5 Дифференцируя равенство (5.33) по х~ и учитывая (5.32), получим 1 ~~~г,й = (~где ц,ги) = еИд' в1у',г' 2 (5.34) Продифференцируем еще раз соотношение (5.34) по х~.

(5.35) Цг,И = И,~Ч е~~,а. Левая часть (5.35) симметрична по индексам й и 1, так что ее свертка с антисимметричным по й, 1 символом Леви-Чивиты равна нулю. Поэтому срИ (е~Ц~ — еЦ,а) = О. (5.36) Умножим обе части (5.36) на ~ц, и просуммируем по г и у ~дуери (еиф еЦ,а) = 2~дцери вил — 0 (5.37) (5.38) Г~ц = егИ Цтп ЕИпЯтп уравнения совместности можно записать в виде 142~ ц=О. (5.39) Отметим, что условия совместности Сен-Венана (5.39) справедливы как для малых, так и для больших деформаций, есо ли считать е симметричной частью тензора дисторсии ~7й.

Если задано векторное поле перемещений и,, то, находя из соотношений Коши (5.5) малые деформации е~,п и подставляя их в (5.38), (5.39), придем к тождествам 1 егИ Цтп (ж~,п~т + 'ип,Ит) = О. (5.40) Поэтому соотношения (5.39) иногда называют тождестваяи Сен-Вена на. Тензор несовместности можно получить из тензора кривизны Римана 148~. Положим для актуальной конфигурации гИ ~тп д 1 (5,41) Уравнения (5.37) называются уравнениями совместности или условиями совместности Сен-Венана. Вводя симметричный тензор второго ранга ц, который называется тензором несовместности, с компонентами Малые деформации 65 При этом согласно (3.90) ВИтп = 2, '" +7, ~7~рп — — О. (5.42) ~И~ Считая деформации малыми и принимая ортогональную прямоугольную систему координат, из (3.75) получим 1 д(4п + 2з~п) д(д „+ 2з п) Д~т Д~1 д(дг + 2зг ) = ~~п,т + зтп,~ згт,п ° (5 43) Тогда из (5.41) для малых деформаций имеем Цгг = ~гИ ~~тп (~~п,тК + Зтп,ггс ~~т,пд = егИ ~~тп ~афпг,пК (5 44) Используя тождество дгг Ат дгп д~~ дкст дкгг дц 4,4п (5.45) сгИЕ~тп— из (5.38), (5.39) получим г1,~ — 0,~ + ЬЗ,~ — ~,~ ~с~ — ~~~с И + д,~ (еИ И вЂ”,ЬО) = О.

(5.46) Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор несовместности и можно представить в виде разложения на шаровую часть и девиатор: 1 о ~1 = ~1 + — ч Х (5.47) где г1 = 1г у = л;;, 1г т~ = О. Из (5.46) следует, что (5А8) гав : зи и — ЛО = О. (5.49) Легко видеть, что если справедливы уравнения совместности (5.46), то справедливо уравнение (5.49) и уравнения ~,гг + ~~г~ ~гК,Ц ~~1с,Иг' (5.50) Поэтому если выполняется хотя бы одна из групп условий (5.46) или (5.50), то справедливо условие (5.49). Другими словами, уравнения (5.46) и (5.50) эквивалентны, т.е. из справедливости одних следует справедливость других [42]. 5 Б.Е.

Победри, д.в. Георгиевский 66 Деки,ия 5 Следовательно, если выполняются условия совместности (5.46), то выполняются условия обращения в нуль всех компонент симметричного тензора второго ранга Н: Оу = ~,г~ + ~~ту едс ц е~к,кг' + ~у(еу ц — ЬО), (5.51) где ~ — произвольный симметричный тензор-константа второго ранга. Очевидно, что Н, =и, при Ц =д~, (5.52) 2 Ну — 6г ' при Ц = ~г~.