Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 11

Они могут быть получены стандартным путем: сведением всех слагаемых в (7.11) к объемным инте- Назовем,? плотностью моментов инерции. Очевидно, что для нее можно записать уравнение, аналогичное уравнению неразрывности (6.10) или (6.11): И,?, д,? ~Ю вЂ” +,Уймой= О, — + йч(.?о) = О. (7.10) д1 Поэтому для,? справедлива лемма 1. Кроме того, в такой среде должна появиться новая кинематическая характеристика, связанная с вращением микрочастиц. Назовем эту характеристику р вектором внутреннего враи1ения.

В этом случае говорят о наличии в теле моментных напряжений и постулат об изменении момента количества движения (7.2) записывается в виде Лекция 7 или (7.14) Из (7.14) видно, что в случае присутствия моментных напряжений тензор напряжений Коши Р, вообще говоря, несимметричен. Вернемся к уравнениям движения сплошной среды, записанным в векторном виде (6.58). Умножим их скалярно на дг = о Ю и проинтегрируем по Ъ'. В правой части получим Г де 1 д р .тМсй' = — М вЂ” рВ й~Ъ': — йК,, (7.15) Ж 2 Ж Величину К назовем кинетической энергией тела, занимающего объем Ъ" ~2 дт 2 1 (7.16) Второе слагаемое в левой части (6.58) приведет к следующему выражению: рЕ.

сййЪ'= рЕ йтйЪ'= бА~"). (7.17) Скалярное произведение рГ дг представляет собой элементарную работу объемной силы рЕ на перемещении Иг, поэтому величину дА1'~ естественно назвать приращением работы объемных сил. Для выражений, вообще говоря, не являющихся полными дифференциалами, в отличие от интеграла (7.15), здесь и в дальнейшем будем использовать символ д, а не И.

Преобразуем далее первое слагаемое в левой части (6.58) с помощью теоремы Остроградского — Гаусса: гралам и использованием основной леммы. Не останавливаясь на выкладках, запишем уравнение моментов в векторной форме: ,7 = ЛХ + Е, х Р' + С74', ~Й (?.13) Основные постулаты (продолжение) 85 ~(е) + ~А(г) Величину (7.18) назовем приращением работы поверхностных сил, а (7.19) — приращением работы внутренних сил ') . Таким образом, из уравнений движения (6.58) следует одно интегральное скалярное равенство (ЛС = дА(') + дА('), (7.20) где ~ 4(е) ~ 1(е) + ~ 1(е) 1 2 (7.21) Ю ) — Ро'о~~о = РоР гЛо + У ) — — ~Жо.

(7.22) Х„д ')Верхние индексы (е) и (г) у приращений дА означают соответственно: ех1егпа1 — "внешний" и ~п1егпа1 — "внутренний". есть приращение работы внешних сил. Равенство (7.20) называется теоремой живых сил. Рассмотрим теперь постулат об изменении количества движения (6.34), который сформулируем в отсчетной конфигурации. Воспользуемся равенством (6.15) для обьемных интегралов и (3.58) — для поверхностного. Тогда получим 86 Лекция 7 Введем вектор напряжений Ф") на недеформированной пло- и1адке с единичной нормалью й следующим равенством 138~: — (»1) ~(Ж) Пс~ С Х у Из (7.23) очевидно, что векторы напряжений на недеформированных координатных площадках связаны с векторами напряжений на деформированных площадках Р' соотношениями (7.23) (7.24) Подставляя теперь (7.23) в (7.22) и проводя уже знакомые преобразования интегралов, получим уравнения движения сплошной среды в отсчетной конфигурации: о, Ц~ ~?гР + РО-" = РО Ж (?.25) В статическом или квазистатическом случаях имеем уравнения равновесия в отсчетной конфигурации: '~'»Р +рОР=О (7.26) Разложим векторы напряжений Р' по векторам базиса отсчетной конфигурации: (?.27) Введем на их основе тензор напряжений Пиолы, или тензор обобщенных напряжений; т = р'~е; З е., = е, З Р'.

(7.28) Нетрудно установить связь между тензорами напряжений Пиолы ~г и Коши Р. Для этого умножим скалярно справа обе части равенства (4.19) на .Е и получим, что е =Г Е. (?.29) Тогда из (7.24) и (7.28) следует — -» ~~ — Т г ~» — Т 7г е>. З Р вЂ” -Г Е>' З Р -Г ' Р. (7.3О) Иногда наряду с тензорами 7г и Р рассматривают тензор напряжений Кирхгофа К б =Е»ЗР > (7.31) Основные постулаты (продолжение) 87 который связан с тензором Пиолы следующим образом: я' = ~г ЗР = Е 'Ег' ®Р = Е 'К, (7.32) Рассмотрим теперь формулировку закона об изменении момента количества движения в отсчетной конфигурации. Не останавливаясь подробно на выкладках, аналогичных проделанным в этой лекции ранее, преобразуем интегральное равенство (7.2) к виду Ро г х — ~Л'о = Ро(г х Е)~Л'о+ г х,~( ) ИЕ0 (733) сй ~о ~>о ~о Е,хр'=О.

(7.34) Векторное равенство (7,34) — дифференциальное следствие закона об изменении момента количества движения в отсчетной конфигурации. Из (7.34) не следует симметрия тензора Пиолы Уг. Действительно, согласно (3.41) и (1.16) -> -г — ~ -х — — с) > — — г~ Е~ х Р = ег+ . х Р = Вахе~'Р +~ге~ е~р Д~г Гд ц>, (б~~ +,о, )р~~ е (7 35) В силу (7.34) и (7.35) имеют место равенства а) М г) ~ц~р'+ ~~;~и;Р' = О, (?.36) показывающие, что тензор ~г, вообще говоря, несимметричен. Умножим теперь обе части (7.25) скалярно на вектор Иг = = юЖ. Тогда правая часть полученного равенства запишется в виде 1 РОо ' 'о с(1'0 > 2 (?.37) откуда — Р0 ~ ~~О.

— 2 2 (7.38) и после применения формулы Остроградского — Гаусса и основной леммы получим в каждой точке объема Ъ' 88 Лекция 7 Из второго слагаемого левой части получим оа1 = ~ РоГ . аГ Л'о, (е) Г (7.39) а из первого слагаемого о сН игр 'ссйо = з"(") йг сто — сй р'~е, Л'о (7.40) ~о ~о ~о Тензорное равенство .Г=е ЗЕ~=е З ~~В (7.41) говорит о том, что подынтегральное выражение в последнем слагаемом в (7.40) можно записать следующим образом: т . р е ..=т:Е'.

(7.42) С другой стороны, г~-+ - Й г~ р е —.=р е..и~,е =р и,;. Д(г (7.43) Поэтому, обозначая да() = ( ) д"ИХ (?.44) ° -Г ~~'оО = ~~~ р ~'о~,г' сЛ'оО (7.45) получим из (7.39), (?.40), (7.44), (7.45) теорему живых сил для отсчетной конфигурации: л = ~ (') + ~ ('). (7.46) ] о о (~Я~ + ~~~~) 2 (7.47) Так же как и в (4.57), тензор ~?о представляется в виде суммы своей симметричной части, тензора скоростей деформаций .О = с(, е' Зе~ с компонентами Основные постулаты (продолжение) 89 и антисимметричной части — спин-тензора Л = г, е' З е~ с компонентами о о .„= -(г;., — ~7,,). 2 2 2 3 (7.48) Наряду с (7.45) имеем еще одну форму записи величины оа,®: — Р~") 4~ с~~о — с~~ Р~" ~гц Л'о (7.49) ~о ~о причем из-за несимметричности тензора Пиолы второй интеграл в правой части (7.49), вообще говоря, не равен нулю.

ЛЕКЦИЯ 8 НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ Рассмотрим тензор напряжений Коши Р и его представление (6.55) в актуальной конфигурации. Изучение будем вести в прямоугольной декартовой системе координат с базисными векторами Ц, поэтому все индексы будем писать внизу. Согласно (6.48) вектор истинных напряжений У') =ь" ,'~, (8.1) — Ф на площадке с единичной нормалью Х (рис. 28) представляется в виде = ЦР, = ЦРуч,. (Х) (8.2) > Из (8.1) и (8.2) следует, что компоненты вектора Я(~) на любой площадке связаны с компонентами нормали к этой площадке тензорным законом: ~Я ) = Р,,Ц = Р;,Ц.

(8.3) На координатных площадках, где Х(") =Й, Х~ ) =ом, из (8.3) имеем Я~ ~ = Р,. (8.4) Таким образом, компонентам тензора напряжений Коши можно придать следующий физический смысл: величина Р, (равХ1 ная Р, в силу закона парности касательных напряжений (7.7)) в данной точке равна г-й компоненте вектора истинных напряжений, действующего на площадке, проведенной через эту точку, с нормалью в направлении оси с ортом й-. Напряженное состояние в точке полностью определяется тензором напряжений Р в этой точке 131,61~.

Компоненты Р будем называть растягивающими, а Р ~ — сдвигающими. Напряженное состояние е точке 91 Нормальным напряжением о.(~) (ЛГ) на площадке с нормалью Х назовем Й проекцию вектора истинных напряже> я (~1 ний Ф'ч) на Х (рис. 29): — — -~г — Рц Ц~г (н) (1Ч.) "(Х) - (1ч) г т (8.5) Рис. 29 Нормальное напряжение представляет собой квадратичную форму, построенную с помощью симметричной матрицы Р, на компонентах К;. Касательным напряжением т(~) на площадке с нормалью Х назовем проекцию вектора У~) на саму площадку (или на касательную к площадке плоскость). По теореме Пифагора > О. (8.6) Возвращаясь к координатным площадкам с нормалями Х(с'), из (8.4) и определений (8.5), (8.6) имеем ст =У й =Р () ()." Р2 +Р2 (8.7) т(~) = Исследуем теперь экстремальность величин о ('~) и т(~) в фиксированной точке на различных площадках.

Существуют ли площадки, на которых касательное напряжение принимает свое минимальное, т.е. нулевое, значение? На таких площадках вектор У~) должен быть параллелен нормали Х. Запишем это требование в компонентах: Р,,Ц = оХ;, или (Р; — сгб,,)Ц = О. (8 8) Система трех однородных уравнениий (8.8) будет иметь нетривиальное решение лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю.

Это равносильно тому, что сг является решением характеристического (векового) уравнения третьей степени сг~ — 11 о.~ + 12ст — УЗ = О. (8.9) Здесь 11, 12, 1з — инварианты тензора напряжений Коши Р: 11 =1гР, 12 =1гР', 1з = с1е1Р, (8.10) где Р* — алгебраическое дополнение Р. Лекиия 8 В силу симметрии тензора Р все три корня: о.1, о2, оз, уравнения (8.9), называемые главными напряжениями, действительны, а собственные направления, называемые главными направлениями, взаимно ортогональны.

Выразим инварианты (8.10) чЕрЕЗ о.1, ст2 и сР3. -~1 = о 1 + о 2 + о 3 > Г2 = о 1 >-> 2 + о 2о 3 + >-> зо 1 > Гз = о 1 о 2о 3. (8.1 1) Инварианты симметричных тензоров второго ранга уже встречались в лекции 4, где говорилось о том, что любая функция Г(11, 12, 13) также является инвариантом. Поэтому вместо 12 часто используют и другие квадратичные инварианты, напримЕр о1 + о + о , а вмЕСтО 13 — кубичЕСкиЕ 2 2 2 инварианты, например ~т1~+ о2+ оз (см. (4.53)). Итак, на трех взаимно перпендикулярных главных площадках, каждая из которых ортогональна своему главному направлению, касательные напряжения равны нулю. Такая тройка площадок существует в каждой точке среды и единственна, если ~т1 ~~ т2 ф тз ф ст1.