Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если, например, о1 = ст2 ф сиз, то на любой площадке, содержащей третью главную ось, касательное напряжение нулевое. Если же ~т1 = о2 = оз, то тензор напряжений в данной точке явлется шаровым и т(~1 = 0 на любой площадке, проходящей через эту точку. Направим в некоторой точке О векторы Ц ортонормированного базиса вдоль главных осей. В этом базисе 3 Р;, = 2» Б;6, 18.121 а — 1 и согласно (8.3) компоненты вектора Я(~) имеют вид Я( ) = Л' . (8.13) Рис.
30 Построим бесконечно малый октаэдр с центром в точке О (рис. 30) такой, чтобы нормали к каждой из восьми его граней имели компонентами числа ~:1/ъ'3. Грани построенного октаэдра равнонаклонены к главным осям и называются октаэдрическими площадками. Вычислим на них нормальное о("'1 и касательное т('") напряжения. Согласно (8.13) и определениям (8.5) )тапряженное состояние е точке и (8.6) имеем (окт) у(окт)2 ( + + ) с~=! (8.14) 1окт) — 12, — 312, (8.15) ~/2 3 1 3 Я)2+ Я22+ Х32 = 1.
(8.1?) Составим функцию Лагранжа ~(Х1, Ь2, Хз) = (т( )) — Л(КК вЂ” 1) (8.18) с неопределенным множителем Л и, используя (8.16), запишем необходимые условия экстремума: = 2ст Л1 — 4ст„К, (о) Ц + о.2 Х2 + о.ЗЛА )— — 2ЛХ = О, (8.19) дг' дЛ ~т11Л1г = О~ где а = 1,2,3. Система четырех уравнений (8.19) удовлетворяется в нижеперечисленных случаях.
так как Х~""~ = ~1/~/3. Величина о. называется средним напряжением. Как видно из (8.14) и (8.15), нормальное и касательное напряжения на октаэдрических площадках выражаются через инварианты (8.11) и, следовательно, сами являются инвариантами, Их можно выбирать в качестве линейного и квадратичного инвариантов тензора напряжений. Поставим теперь вопрос: на каких площадках в данной точке касательное напряжение достигает своего максимального значения? Очевидно, что на этих же площадках достигает максимума и квадрат касательного напряжения.
Исследование удобно проводить в главных осях, поэтому с учетом (8.13) формулу (8.6) можно записать следующим образом: 3 3 2 1 (ш|)2 ~е(ш)~2 1 (м)Р ~ ~чи а=-1 ст=1 Кроме того, компоненты единичного вектора нормали Х1, Х2, Хз связаны условием Напряженное состояние е точке 95 Подставим в (8,16) компоненты Х1 = О, 1Ч2 = Хз = 1/~/2 и получим: (т(~1)) = (о2 — оз)2/4, или, в силу предположения (8.21): т(~) = (о2 — оз)/2 = т23. Аналогично найдем касательные напряжения на площадках из двух других пар: о1 о2 (72 — о 3 о1 оз Т12 =, т23 =, т1з = . (8.23) 2 ' 2 ' 2 о1 оз (Х) 713 = 2 — — Ттах ° (8.24) Она равна сумме двух других максимальных касательных напря- жений: (8.25) т13 = 7 12 + т23. Итак, напряжение т„„, в данной точке реализуется на пло- (Х) щадках, делящих пополам прямые двугранные углы между первой и третьей координатными (главными) площадками.
Заметим, что касательное напряжение на октаэдрических площадках Т1"') согласно (8.15) и (8.23) выражается через максимальные касательные напряжения следующим образом: 12 + 23 + 13' 3 (8.2б) Для геометрической интерпретации пространственного напряженного состояния в точке используют плоскую диаграмму, приведенную на рис. 32, а. По оси абсцисс отложены главные напряжения о.1, ст2, о.з и на трех образовавшихся отрезках, как на диаметрах, построены так называемые круги Мора.
В силу (8.23) очевидно, что радиусами этих кругов будут величины т12, т23, тгз (ординаты верхних точек кругов). Если два из трех главных напряжений совпадают, то три круга Мора вырождаются в один (рис. 32, б), и геометрическая интерпретация по-прежнему будет справедлива.
Если же все главные напряжения равны друг другу, Предоставляем читателю самостоятельно показать, что если все главные напряжения различны, то на указанных парах биссекторных площадок касательные напряжения действительно достигают своих локальных экстремальных, а именно максимальных, значений Т12, т23, т13, определяемых (8.23). Они носят название максимальных касательных напряжений. В силу предположения (8.21) наибольшим среди них (глобальным максимумом величины т(~)) является величина 96 Лекция 8 т12 = т22 т22 т12 Т1 2 0'2 О1 =О2 О1 =О2 =О2 О2 О! Рис. 32 т. е. тензор напряжений Коши в данной точке шаровой, то круги Мора вырождаются в одну точку на оси абсцисс (рис. 32, в). Обратимся теперь к плоскости, определяемой первым и вторым главными направлениями тензора напряжений в некоторой точке, т.е.
к третьей главной площадке. Оси (Ох!) и (Ох2) направим вдоль главных направлений. Выберем в данной плоскости некоторый единичный вектор Х и ортогональный ему единичный вектор Т (рис. 33): Х = 1Ч~Иг, Х! = сово, Х2 = япо, (8.27) Т = Т!К~, Т! = — япо, Т2 = соко. (8.28) Найдем нормальное и касательное напряжения на площадке с нормалью Х. Так как оси (Ох!) и (Ох2) главные, то (") =У 1 Я=,Х,'+,Х,'= ,2 ° 2 1т! + О2 о! О2 = О ! СОЬ О + О2 ЯП О = 2 2 + сов 2о. (8.29) Согласно (8.1б) и (8.21) т( о! О2 = ~(о.! — о.2) япосово = яп2о . (8.30) 2 Заметим, что в силу (8.13) и (8.30) т( ) = ~сг! ~Г!Т!+о2~1~2Т2~ = Ф ) .Т.
(8.31) Из выражения (8.30) для т(~) следует уже известный из этой лекции факт: максимальное касательное напряжение, равное (о! — о2)/2, или т!2, реализуется на площадках, для которых яп2о = ~1, или о = к/2 ~ л/4. Эти пло!цадки являются биссекторными по отношению к главным. Напряженное состояние е точке 97 Пусть теперь ось (Охз) остается главным направлением тензора напряжений, а в плоскости (Ох1х2) (на третьей главной площадке) возьмем систему координат, повернутую относительно главных осей на угол а (рис. 33), так что Г'1 = ~Г, Б' = Т.
(8.32) В новой (штрихованной) системе координат Х = ЦИ7, Х1' = 1, Х2 — — О, (8.33) Т = Т~Ц, Т1' — — О, Т' = 1, (8.34) Рис. ЗЗ -ь т.е. площадка с нормалью Х, на которой действует вектор Я(~), является координатной, а именно ортогональной оси (Ох',). Пользуясь формулой (8.4), отражающей физический смысл -Ф компонент тензора Р = Р,' И; 'З й', а также соотношениями (8.29) — (8.32), можно записать Р,', = З,"' = У") Ю', = У ) Х = .(") = + сов 2о, (8.35) 2 Из условия инвариантности Р11 + .~ 22 о! + б72 и (8.35) получим выражение для Р': (8.38) Обратим теперь соотношения (8,35), (8.36) и (8.38), выразив величины о, сг1 и сг2 через компоненты Р': а = — агс1д 1 2Р12 (8.39) 22 11 (8.37) ! ! ~1;2 Р11 + Р22 ~ 2 (8.40) Таким образом, если в данной точке в некоторой системе координат известны компоненты Р77 тензора напряжений Коши Р, то по формулам (8.39), (8.40) в этой точке можно вычислить главные напряжения и ориентацию главных площадок по отношению к координатным.
7 Б.Е. Победри, Д.В. Георгиевский 98 Леки,ия 8 т ~- +~ (8.41) а в силу (5.22) (8.42) Поэтому для малых деформаций есть смысл говорить просто о тензоре напряжений ~т: Р = ~г = К = ст. (8.43) На рис. 34 изображен круг 7! гг Мора, соответствующий главным Р1г Л~г М1 напряжениям о.1 и о2. Откладывая произвольный угол 2а, ! ! ! отметим точки ЛХ1 и ЛХ2, при! 2а надлежащие кругу. Тогда компоненты тензора Р в системе коорРис. 34 динат, повернутой относительно главных осей на угол о, геометрически представляют собой указанные на рисунке абсциссы и ординаты точек М1 и М2. В заключение лекции заметим, что в случае малых деформаций тензоры напряжений Коши Р, Пиолы гг и Кирхгофа К, связанные соотношениями (7.30), (7.32), совпадают.
Действительно, в силу (4.20) и (5.10) Е=Х+е+й, ЛЕКЦИЯ 9 ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТЕЙ Изученные в предыдущих лекциях основные постулаты уже позволяют рассмотреть некоторые простейшие модели механики сплошной среды. Напомним, что одно скалярное уравнение неразрывности (6. 10) др ~Й +рйчо = 0 (9.1) и одно векторное уравнение движения (6.58) р '=С7Р+Ф иг (9.2) представляют собой незамкнутую систему четырех уравнений относительно десяти неизвестных функций координат и времени. Этими неизвестными являются: плотность р, три компоненты вектора скорости о и шесть независимых компонент симметричного тензора напряжений Коши Р (согласно (6.54) Р = Р'~Е,). Симметрия его обеспечивается равенствами (7.7), являющимися следствиями закона об изменении момента количества движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
