Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 7

Очевидно, что никакого деформирования не происходит, если фундаментальные матрицы отсчетной и актуальной конфигураций совпадают (С, = д, ). Поэтому естественно принять в качестве компонент тензора деформации к; полуразность компонент этих фундаментальных матриц: о = -Фо — до). (4.1) Мерьг деформации Но соотношения (4.2) можно записать в виде дй е; = .Е, — —.. г — г д~г (4.5) Тогда из (4.4) имеем уу — ег '~~ — Ег .

Ц 1(- дй - дй дй дй'~ 2 ~ ' д~-г ~ д~' д~' д~~( (4.?) Разложим вектор перемещения (1.1б) по векторам базиса в отсчетной и актуальной конфигурациях: й = и'ег = ~' Ег (4.8) Дифференцируя (4.8) по координате ~~, получим г г д~з = ~,-и'ег = ~?,Г'Е;.. Подставляя (4.9) в (4.4) и (4.7), имеем его = — (иу,г+ иг,у + ггпу,ги.;) = — (~7~(г+ ~г)~ — Бк~г(7~~). (4.10) В зависимости от выбора базиса на основе (4.10) и (4.9) можно построить различные тензоры. Тензор у=с, е'Зе~ (4.1 1) называется тензором деформации Лагранжа, а тензор з = е,,Е'ЗЕг — тензором деформации Эйлера.

Тензор о о е'З вЂ”,. = ~7Зй= ~7й д~' (4.13) называется тензором дисторсии (или градиентом вектора перемещения) отсчетной конфигурации, а тензор Е' З, = ~7 З й = ~7й (4.14) — тензором дисторсии актуальной конфигурации. (4.9) (4.12) г Б.В. Победри, Д.В. Георгиевский дй - дй - дй дй д~' ~ д~.г ' д~' д~.г и из (4.1) и (4.6) получим другое выражение для компонент деформации: 50 Лекция 4 Рассмотрим тензор Г, также являющийся мерой деформации.

В литературе его называют аффинором или градиентом деформации: о о о Р = ~7 З г:— ~7г = е' З ~7;г = е' З, = е' З Е,. (4.15) — г д~-г г' На основании тензора (4.15) введем обратный градиент деформации Е Г = ~З'"о в = ~'"о=ЕгЗ~гго=Е'З .

=Е'Зег (4.16) г — д~г -г. Тензоры (4,15) и (4.16) взаимообратны. Действительно, Е Е ' = е'ЗЕ; Е' Зе; = е'Зе, =1. (4.17) Построим тензор Е~, транспонированный к Г: о о о о Г~ = 'г7 З г" = г"З ~7 = (7т): — г"'~7 =.Е; З е', (4.18) и тензор Г ~, транспонированный к Е т — + — 1 Е = ~Зго — = АЗ: — ~го=~о~7=еЗЕ (419) Заметим, что тензоры дисторсии (4.13), (4.14) связаны с градиентом деформации следующим образом: о о о ~ З й— : ~й = е ' З ~7,й = е ' З вЂ”. = дс' = е' З (Е, — е,) = à — 1, (4.20) 7Зй= 7й — Е З "гй — Е З вЂ” Е ЗЖ ег) — Х г — д~г (4.21) (4.23) С помощью градиентов деформации построим следующие симметричные тензоры [59~: а) Правый тензор Коши — Грина С С=К Е~=е'ЗЕ, .Е Зе~=С;е'Зег.

(422) б) Левый тензор Коши — Грина В В = Г . Е = Е, З е'. е~ З Е = о'~Е; З Е . в) Правый тензор Альманси А А=Е Е ~=Е'Зег е ЗЕ~ =ог.,Е'ЗЕ~. (4.24) Меры деформации г) Левый тензор А льманси ЛХ М=Р ~ Р '=е,ЗЕ' ЫЗе,=С~е;Зе.. (425) Ясно, что тензоры Р, С, В, А, ЛХ могут служить мерами деформаиии. Из определений (5.18) — (5.21) легко заключить, что С и М взаимообратны, так же как и В и А: С М = М С = Х В А = А В = Х. (4.26) (4.28) ') Здесь Г не обязательно градиент деформации (4.15). Умножив обе части равенства (4.1) на е' З е~ либо на .Е' З Ы, с учетом (4.22), (4.24) получим выражения тензоров деформации (4.11), (4.12) в виде у = — (С вЂ” Х), э = — (Х вЂ” А).

1 1 (4.27) Пользуясь введенными обозначениями, тензоры деформации Лагранжа и Эйлера (4.27) можно выразить через тензоры дисторсии следующим образом: о о, о о у = — ~7й+ (~7й)~ + ~й (~7й) ~ 2~ э = — (Чй+ (~7й) — ~7й ('7й) . (4.29) Докажем далее важную в теории деформаций теорему о полярном разложении тензора второго ранга. Ниже в ее доказательстве под Р и С подразумеваются тензоры, не обязательно совпадающие с (4.15) и (4.22).

Теорема о полярном разложении. Произвольный тензор второго ранга Р можно однозначно представить в виде ') Р=Д У=1 Д, (4.30) где Д вЂ” ортогональный тензор, т. е. Я~ = Я ', а Ц и Ъ'— симметричные положительно определенные тензоры второго ранга, имеющие одинаковые собственные значения. Для доказательства образуем симметричный тензор С = = Р Рг (С~ = (Р Г~) = (Гт) Р~ = С). С помощью преобразования Р для каждого ненулевого вектора а построим вектор 6:6=а Р=Рт а.Тогдаа С а: — а Р Р~ а=6 6=~62> > О, т.е.

тензор С положительно определен. Деки,ия 4 Из его симметрии и положительной определенности следует, что в некоторой системе координат его компоненты образуют диагональную матрицу. Обозначим собственные значения этой матрицы через Л2, Л2, Л2. Тогда в этой же системе координат некоторый тензор Ъ' имеет компонентами диагональную матрицу с элементами Л1 > О, Л2 > 0 и Лз > О, так что С=Ъ' Ъ'. (4.31) Итак, Л2 0 0 0 0 [С] = 0 Л2 О, [Ъ'] = 0 Л2 0 . (4.32) О О Л2 0 0 Лз Докажем, что тензор Ъ' — искомый тензор представления (4.30). Действительно из (4.32) следует, что он симметричен и положительно определен.

Осталось показать, что тензор Я = Ъ"-' Е (4.33) является ортогональным, т.е. его компоненты в каждой системе координат суть ортогональные матрицы. В самом деле, Ю Дт=(Ъ-1 Е (Рт Ъ-т)=Ъ-1 С Ъ-'Г= — Ъ вЂ” т 7" так как Ъ' = (Ъ' ') = Ъ' Построим симметричный положительно определенный тензор Г: (4.34) с помощью симметричного, положительно определенного тензора Ъ". Очевидно, что из определения (4.34) следует (4.30). Таким образом, представление (4.30) доказано. Для доказательства единственности этого разложения заметим, что из вида [С] (4.32) следует много других тензоров Ъ", например, — л, о о [ъ']= о — л, о о о — л Но все такие тензоры, в отличие от [Ъ'] (4.32), не будут положительно определенными.

Покажем, что тензоры Ъ' и Г имеют одинаковые собственные значения. Пусть Л вЂ” одно из собственных значений Ъ' и ему Мерьг деформации соответствует собственный вектор й, т. е. Ъ' й = Лй, а Г= й. д, илий=1 дт =д 1.Тогда ц 1=(д' Ъ д).г=д' (Ъ (д.ц) =д'.(Лд 1) =Лг. б = а Е = а~е е' З Е, = а~ ЦЕ; = а~Е~, (4.35) т.е. у векторов а и 6, использовавшихся в доказательстве теоремы, одинаковые компоненты в базисах е, и Е,. Так как д = Ъ" ' Е, то согласно (4.34) Г=Г'"' Ъ-' Ъ Ъ-' Е=Г" Ъ-' Е= =.Е; З е' (Ъ" ')~~е~ Зе1 е.г З Е = (Ъ' 'ф~ЬЯЕ,ЗЕ, = (Ъ' ')"Е,ЗЕд. (4.3б) Таким образом, базисом левого тензора растяжения Ъ' являет- ся диада отсчетной конфигурации, а правого тензора растяже- НИЯ 1'..г' — ДИаДа аКтУаЛЬНОй КОНфИГУРаЦИИ: Ъ' = Ъ;.е' З е",~, Ц = У'~Е; З Е .

(4.37) В самом деле, по определению (4.31) Ъ'2 =Е.Е~ =в"'ЗЕ, Е ЗЕ1 = С, е'Зе1, (4.38) Г2 — Рт . Е = Е, З 7г . еэ З Е = дг.гЕ, З Е,. (4.39) Кроме того, из (4.33) легко видеть, что д = (11 '),де"' З Е1 = (Ъ' ')'~е", З Е,, (4.40) где (Ъ' ~)г~ и (с1 '), — компоненты тензоров Ъ' ' и сг обратных тензорам Ъ' и Ц соответственно: у — 1 (~,т — 1) Ег З Е' Ъг.— 1 (Ът — 1)г1 - З- (4.41) Если в качестве Г выбрать градиент деформации (4.15), то тензором С будет правый тензор Коши — Грина (4.22), а д, Ъ' и Ц будут называться тензором вращения, левым и правым тенаорами растяжения соответственно. Кроме того, Мерь~ деформации след А. А и кубический дел А: 1г А = д'~А,, = д, А'~ = А;', де1А = А'~~д = А, ! д (4.49) 1гА = 1г(А~А~~е'Зе~) = А~А', Из (4.49) имеем инварианты правого тензора Коши — Грина С=С, е'Зе~: 1г С = Сцд'~, 1г С2 = Сд,С щ'~д~~, дел С = — .

д Кроме того, из (4.22) следует, что (4.50) (4.51) де1 Г = с1е1 Ъ" = де1 Г = Обозначим собственные значения С, как и в (4.32), через Л2, Л2 и Л2, тогда 1гС=Л, +Л2+Лз, 1гС = Л, +Л2+Лз, г1е1С= Л,Л2Лз. Ь = ~о = Е' З ~7,ю = Е' З вЂ”. = Е' З Д~г Д~г р -г =Е'З вЂ” —. =УЗ ' =Е'ЗЕ;. (4.54) Д~ Д~г ф Найдем разложение тензора Л, называемого градиентом скорости, по диадному базису .Е' З Е~: Л = ~7;Ъ' Е' З Е' = Ц~;Е' З Е'. (4.55) Заметим далее, что Р Е=е'ЗЕ, Е~ЗЕ' =е'ЗЕ;=(е'ЗЕ)'=Е' (456) в силу равенства нулю векторов (е')' в отсчетной конфигурации. Соотношение (4.56) говорит о том, что дифференцирование (4.52) Очевидно, что любая функция инвариантов (4.52) также будет инвариантом тензора С, например: — ~(йг С) — 1г С ~ = Л1Л2 + Л2Лз + ЛзЛ1, (4 53) — ~ — (1г С) + 3 1г С 1г С2 + 6 г1е1 С1 = Лб + Лб + Лб = 1г Сз.

Применим к вектору скорости о = ю'е; = РЕ; оператор набла '7: Лекция 4 по времени градиента деформации равносильно умножению его справа на градиент скорости. Как и любой тензор второго ранга, тензор Х может быть представлен в виде суммы симметричной и антисимметричной частей: Х, = О+ В О = — (Х, + ХТ) В = — (Х, — Х,~) (4.57) где — ЗЕг 1т У З~Р (4.58) В= В,,Е'ЗЕ~ .0 = .О,,;Е' З Е~, (4.59) называются соответственно тензором.

скоростей деформаций и спин-тензором. О компонентах с;;, о, и ы; тензоров Х,, В и В в прямоугольной декартовой системе координат с базисом к; уже шла речь в лекции 2. Антисимметричному тензору В естественным образом ставится в соответствие вектор вихря ~с еч~К Е~ = е'~~Я,Ъ' Е~ = — го1 о, (4.60) 2~(С 2~/С введенный в (2.29). Умножая скалярно все части равенства (4.60) на Е', а затем на ~/Се„~, Е~ З.Е, выразим В через ~с: В= ~ Сеп~т~с Е'ЗЕ, В~ = ~С~у~и' (461) Проверим, является ли тензор скоростей деформаций В полной производной по времени от тензора Лагранжа у или тензора Эйлера э.

Производная по времени от компонент тензора деформации дает компоненты тензора скоростей деформации. Действительно, продифференцируем по времени обе части (4.1) и получим — С' — (Е' . Е. + Е.. Е')— 2 д~' ~ ' д~~ + Е 1'~~Я~) = — транспонирование тензора Х, а (Е 1/- ЕЙ+ 1 — (Ъ' ~, + Ъ',~,) = О,,, (4.62) 58 Лекиия 4 Используя (4.61), получим йт В = ~/С(д~'Е~) . (а; р,,ы~Е'8Е~) = = ~/Се, ~ьРгК,'Й =2 х йт. (4.72) Подставляя (4.72) в (4.71), находим, что о = 'ео + Ы х дт" + дгас1 Ф.